卷 1

【答案】
$\frac{1}{2}\sqrt{e}$

【解析】
考虑积分 ${\int }_1^2\frac{1}{x^3}{e}^{\frac{1}{x}}dx$ 。令 $u=\frac{1}{x}$ ，则 $du=-\frac{1}{x^2}dx$ 。当 $x=1$ 时， $u=1$ ；当 $x=2$ 时， $u=\frac{1}{2}$ 。
被积函数可写为：

因此，积分变为：

计算 $\int u{e}^{u}du$ 使用分部积分法：
令 $f=u$ ， $g^{\prime }=e^u$ ，则 $f^{\prime }=1$ ， $g=e^u$ ，

代入上下限：

故原积分的值为 $\frac{1}{2}\sqrt{e}$ 。

【答案】

其中偏导数 $\frac{\partial f}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial v}$ 在点 $(u,v)=(x^y,y^x)$ 处取值。

【解析】 给定 $z=f(x^y,y^x)$ ，其中 $f(u,v)$ 是二元可微函数。令 $u=x^y$ 和 $v=y^x$ ，则 $z=f(u,v)$ 。使用链式法则求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ：

计算 $\frac{\partial u}{\partial x}$ ：由于 $u=x^y$ ，且 $y$ 视为常数，有 $\frac{\partial u}{\partial x}=y{x}^{y-1}$ 。 计算 $\frac{\partial v}{\partial x}$ ：由于 $v=y^x$ ，且 $y$ 视为常数，有 $\frac{\partial v}{\partial x}=y^x\ln y$ 。 代入链式法则公式，得到：

其中 $\frac{\partial f}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial v}$ 在点 $(u,v)=(x^y,y^x)$ 处计算。

【答案】
$y=C_1{e}^{3x}+C_2{e}^x-2e^{2x}$

【解析】
给定二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+3y=2e^{2x}$ ，首先求解齐次方程 $y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+3y=0$ 。
特征方程为 $r^2-4r+3=0$ ，解得 $r_1=3$ ， $r_2=1$ ，因此齐次通解为 $y_h=C_1{e}^{3x}+C_2{e}^x$ 。
由于非齐次项为 $2e^{2x}$ ，且 $2$ 不是特征根，设特解形式为 $y_p=A{e}^{2x}$ 。
代入原方程：
$y_p^{\prime }=2A{e}^{2x}$ ， $y_p^{\prime \prime }=4A{e}^{2x}$ ，
则 $y_p^{\prime \prime }-4y_p^{\prime }+3y_p=4A{e}^{2x}-8A{e}^{2x}+3A{e}^{2x}=-A{e}^{2x}$ 。
令其等于 $2e^{2x}$ ，得 $-A=2$ ，即 $A=-2$ ，故特解为 $y_p=-2e^{2x}$ 。
因此，通解为齐次通解与特解之和： $y=y_h+y_p=C_1{e}^{3x}+C_2{e}^x-2e^{2x}$ 。

【答案】

【解析】 首先，计算曲面积分 $\iint (x+|y|)\mathrm{d}S$ ，其中曲面 $\Sigma :|x|+|y|+|z|=1$ 。
由于曲面关于 $yz$ 平面对称，且 $x$ 是奇函数，因此 $\iint x\mathrm{d}S=0$ 。
于是，积分简化为 $\iint |y|\mathrm{d}S$ 。
接下来，计算 $\iint |y|\mathrm{d}S$ 。
由曲面的对称性，有 $\iint |x|\mathrm{d}S=\iint |y|\mathrm{d}S=\iint |z|\mathrm{d}S$ 。
在曲面上， $|x|+|y|+|z|=1$ ，因此

其中 $A$ 是曲面的表面积。
曲面 $\Sigma$ 是一个正八面体，由 8 个等边三角形面组成，每个三角形的边长为 $\sqrt{2}$ ，面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，故总表面积 $A=8\times \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ 。
于是，

因此，

【答案】 $1$

【解析】
矩阵 A=​0000​1000​0100​0010​​ 是一个移位矩阵。计算 $A^3$ ：
首先， A2=A×A=​0000​0000​1000​0100​​ 。
然后， A3=A2×A=​0000​0000​0000​1000​​ 。
矩阵 $A^3$ 只有第一行非零，且该行为 $(0,0,0,1)$ ，因此行秩为1；同样，只有第四列非零，列秩也为1。故 $A^3$ 的秩为1。

【答案】 $\frac{3}{4}$

【解析】 在区间 $(0,1)$ 中随机取两个数 $x$ 和 $y$ ，则点 $(x,y)$ 落在单位正方形 $[0,1]\times [0,1]$ 内。总面积为1。需要求 $|x-y|<\frac{1}{2}$ 的概率，即满足条件的区域面积。

条件 $|x-y|<\frac{1}{2}$ 等价于 $-\frac{1}{2}<x-y<\frac{1}{2}$ ，即 $y-\frac{1}{2}<x<y+\frac{1}{2}$ 。在单位正方形内，该区域由两条直线 $x-y=\frac{1}{2}$ 和 $x-y=-\frac{1}{2}$ 界定。

不满足条件的区域为 $|x-y|\ge \frac{1}{2}$ ，包括两个三角形：

• 当 $x-y\ge \frac{1}{2}$ 时，区域为三角形，顶点为 $(1/2,0)$ 、 $(1,0)$ 、 $(1,1/2)$ ，面积为 $\frac{1}{8}$ 。
• 当 $x-y\le -\frac{1}{2}$ 时，区域为三角形，顶点为 $(0,1/2)$ 、 $(0,1)$ 、 $(1/2,1)$ ，面积为 $\frac{1}{8}$ 。

不满足条件的区域总面积为 $\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$ ，因此满足条件的区域面积为 $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ 。

或者，通过积分计算：对于固定 $y$ ， $x$ 的允许长度为 $\min (1,y+1/2)-\max (0,y-1/2)$ 。

• 当 $y\in [0,1/2]$ 时，长度为 $(y+1/2)-0=y+1/2$ 。
• 当 $y\in [1/2,1]$ 时，长度为 $1-(y-1/2)=3/2-y$ 。 积分得： ${\int }_0^{1/2}(y+1/2)dy=\frac{3}{8},{\int }_{1/2}^1(3/2-y)dy=\frac{3}{8},$ 总和为 $\frac{3}{4}$ 。

故概率为 $\frac{3}{4}$ 。

【答案】 最小值：0，最大值：8

【解析】 首先，求函数在区域内部的临界点。计算偏导数 $f_x=2x-2x{y}^2$ 和 $f_y=4y-2x^{2}y$ ，令其为零：

• $f_x=0$ 得 $x=0$ 或 $y^2=1$ ；
• $f_y=0$ 得 $y=0$ 或 $x^2=2$ 。 结合条件，得临界点 $(0,0)$ 、 $(\sqrt{2},1)$ 和 $(-\sqrt{2},1)$ ，函数值分别为 $0$ 、 $2$ 和 $2$ 。

其次，考虑边界。边界由 $y=0$ （ $-2\le x\le 2$ ）和半圆 $x^2+y^2=4$ （ $y\ge 0$ ）组成：

• 在 $y=0$ 上，函数化为 $f(x,0)=x^2$ ，最小值为 $0$ （在 $(0,0)$ ），最大值为 $4$ （在 $(\pm 2,0)$ ）。
• 在半圆上，代入 $x^2=4-y^2$ 得 $f(x,y)=4-3y^2+y^4$ 。令 $g(y)=y^4-3y^2+4$ （ $y\in [0,2]$ ），求导 $g^{\prime }(y)=4y^3-6y$ ，得临界点 $y=0$ 和 $y=\sqrt{3/2}$ 。函数值：在 $y=0$ 时 $f=4$ ，在 $y=\sqrt{3/2}$ 时 $f=7/4$ ，在 $y=2$ 时 $f=8$ .

比较所有点函数值：内部临界点值 $0$ 和 $2$ ，边界值 $0$ 、 $4$ 、 $7/4$ 、 $8$ ，故最小值为 $0$ ，最大值为 $8$ 。

【答案】 $\pi$

【解析】 考虑使用高斯散度定理。曲面 $\Sigma$ 是开放曲面，需添加底面 ${\Sigma }_1:z=0,x^2+\frac{y^2}{4}\le 1$ 取下侧，构成封闭曲面 $S=\Sigma \cup {\Sigma }_1$ 。设向量场 $\vec{F}=(P,Q,R)=(xz,2zy,3xy)$ ，则原积分可写为：