卷 3

【答案】 $2$

【解析】
考虑极限 ${\lim }_{x\to \infty }x\sin \frac{2x}{x^2+1}$ 。
当 $x\to \infty$ 时， $\frac{2x}{x^2+1}\to 0$ ，因此可利用等价无穷小替换 $\sin u\sim u$ （当 $u\to 0$ ），即 $\sin \frac{2x}{x^2+1}\sim \frac{2x}{x^2+1}$ 。
于是原极限化为

分子分母同除以 $x^2$ ，得

因此，极限值为 $2$ 。

【答案】 $y=\frac{2}{x}$

【解析】
给定微分方程 $x{y}^{\prime }+y=0$ ，可以写为 $x\frac{dy}{dx}+y=0$ 。
通过分离变量法，将方程整理为 $\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}$ 。
两边积分得 $\ln |y|=-\ln |x|+C$ ，其中 $C$ 为积分常数。
简化得 $\ln |y|=\ln \left|\frac{1}{x}\right|+C$ ，即 $|y|=e^C\left|\frac{1}{x}\right|$ 。
令 $K=e^C$ ，则通解为 $y=\frac{K}{x}$ 。
代入初始条件 $y(1)=2$ ，得 $2=\frac{K}{1}$ ，因此 $K=2$ 。
故特解为 $y=\frac{2}{x}$ 。

【答案】 $2edx+(e+2)dy$

【解析】
求偏导数得

于是 $z$ 的全微分为

所以 ${\mathrm{d}z|}_{(1,0)}=2e\mathrm{d}x+(e+2)\mathrm{d}y$ 。

【答案】 $\frac{1}{2}$

【解析】 给定行向量组：

线性相关，且 $a\ne 1$ 。由于向量个数等于维数，线性相关等价于由这些向量作为行构成的矩阵的行列式为零。

构造矩阵：

计算行列式 $\det (A)$ 。

首先进行行变换：

• $R_2\leftarrow R_2-R_1$ ，得： ​2034​1023​1a−112​1a−1a1​​ 由于 $a\ne 1$ ，可从第二行提取公因子 $a-1$ ： det(A)=(a−1)⋅det​2034​1023​1112​11a1​​ 记上述矩阵为 $A^{\prime }$ ，计算 $\det (A^{\prime })$ 。

继续行变换：

• $R_3\leftarrow R_3-R_1$ ，得： ​2014​1013​1102​11a−11​​
• $R_4\leftarrow R_4-2R_1$ ，得： ​2010​1011​1100​11a−1−1​​ 按第三列展开行列式。第三列元素为：
• $a_{13}=1$ ，余子式 $C_{13}$ ；
• $a_{23}=1$ ，余子式 $C_{23}$ ；
• $a_{33}=0$ ， $a_{43}=0$ 。

计算 $C_{13}$ （删除第一行、第三列）：

计算 $C_{23}$ （删除第二行、第三列）：

所以：

于是：

令 $\det (A)=0$ ，得 $(a-1)(2a-1)=0$ 。由 $a\ne 1$ ，得 $a=\frac{1}{2}$ 。

因此，答案为 $\boxed{\frac{1}{2}}$ 。

【答案】 $0.4,0.1$

【解析】
由概率分布的性质，所有概率之和为1，即：

解得：

事件 $\{X=0\}$ 的概率为：

事件 $\{X+Y=1\}$ 的概率为：

事件 $\{X=0\}$ 与 $\{X+Y=1\}$ 的交集为 $\{X=0,Y=1\}$ ，其概率为 $a$ 。由独立性条件：

即：

代入 $a+b=0.5$ ：

解得：

代入 $a+b=0.5$ ：

验证： $P(X=0)=0.4+0.4=0.8$ ， $P(X+Y=1)=0.4+0.1=0.5$ ， $P(\{X=0\}\cap \{X+Y=1\})=0.4$ ，且 $0.8\times 0.5=0.4$ ，满足独立性条件。

【答案】 $\frac{3}{2}$

【解析】 考虑极限 ${\lim }_{x\to 0}\left(\frac{1+x}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right)$ 。直接代入 $x=0$ 会得到未定式，因此采用洛必达法则或泰勒展开求解。

方法一：泰勒展开
首先，将 $e^{-x}$ 展开为泰勒级数： $e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+O(x^4)$ ，则 $1-e^{-x}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}-O(x^4)$ 。
于是，

令 $g(x)=\frac{1}{1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}-O(x^3)}$ ，其泰勒展开为：

因此，

原表达式为：

当 $x\to 0$ 时，极限为 $\frac{3}{2}$ .

方法二：洛必达法则
将表达式通分：

当 $x\to 0$ 时，分子和分母均趋于 0，应用洛必达法则。
分子导数： $-e^{-x}+1+2x$ ，分母导数： $1-e^{-x}+x{e}^{-x}$ 。
在 $x=0$ 处，分子导数为 0，分母导数为 0，仍需洛必达法则。
二阶分子导数： $e^{-x}+2$ ，二阶分母导数： $2e^{-x}-x{e}^{-x}$ 。
在 $x=0$ 处，二阶分子导数为 3，二阶分母导数为 2，因此极限为 $\frac{3}{2}$ 。

两种方法均得极限为 $\frac{3}{2}$ .

【答案】

【解析】 设 $g(x,y)=f\left(\frac{y}{x}\right)+yf\left(\frac{x}{y}\right)$ ，其中 $f(u)$ 具有二阶连续导数。

首先，求一阶偏导数：

然后，求二阶偏导数：

所以，

所以，

因此，

故结果为 $\frac{2y}{x}{f}^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)$ .

【答案】

【解析】
将幂级数分为两部分：

先求级数 $S_2(x)$ ：

再求级数 $S_1(x)$ ：由于

因此由微积分基本公式得

又由于 $S_1(0)=0$ ，故