卷 4

【答案】

【解析】 首先，简化函数表达式：

然后，对 $y$ 求导：

其中：

所以：

合并后两项：

因此：

代入 $x=1$ ：

【答案】

【解析】 给定矩阵 A=​010​−100​00−1​​ ，且 $B=P^{-1}AP$ ，其中 $P$ 为三阶可逆矩阵。需要计算 $B^{2004}-2A^2$ 。

首先，计算 $A^{2004}$ 。矩阵 $A$ 为分块对角矩阵，可写为：

其中 $A_1=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ ， $A_2=\left(\begin{array}{c}-1\end{array}\right)$ 。则 $A^k=\left(\begin{array}{cc}{A}_1^k& 0\\ 0& A_2^k\end{array}\right)$ 对于任意正整数 $k$ 。

计算 $A_1^{2004}$ ：

• $A_1^2=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-I_2$ 。
• $A_1^4=(A_1^2{)}^2=(-I_2{)}^2=I_2$ 。
• 由于 $2004=4\times 501$ ，所以 $A_1^{2004}=I_2$ 。

计算 $A_2^{2004}$ ：

• $A_2=-1$ ，所以 $A_2^{2004}=(-1{)}^{2004}=1$ 。

因此，

接下来，计算 $B^{2004}$ ： 由于 $B=P^{-1}AP$ ，则 $B^{2004}=P^{-1}{A}^{2004}P=P^{-1}{I}_{3}P=I_3$ 。

然后，计算 $A^2$ ：

其中 $A_1^2=-I_2$ ， $A_2^2=(-1{)}^2=1$ ，所以

最后，计算 $B^{2004}-2A^2$ ：

故答案为 ​300​030​00−1​​ 。

【答案】 $(1,0,0{)}^T$

【解析】
设 $A$ 为 $3\times 3$ 实正交矩阵，且 $a_{11}=1$ 。由于正交矩阵的行向量组是标准正交组，第一行向量的模长为 $1$ ，即

代入 $a_{11}=1$ ，得

因此 $a_{12}=0$ ， $a_{13}=0$ ，即 $A$ 的第一行为 $(1,0,0)$ 。

同理，正交矩阵的列向量组也是标准正交组。第一列向量为 $(a_{11},a_{21},a_{31}{)}^{\mathrm{T}}$ ，其模长为 $1$ ，且与其他列向量正交。由第一行为 $(1,0,0)$ 可知，第一列向量与第一行向量点积为 $1$ ，结合正交性，可得 $a_{21}=0$ ， $a_{31}=0$ ，因此第一列向量为 $(1,0,0{)}^{\mathrm{T}}$ 。

线性方程组 $Ax=b$ 的解为 $x=A^{-1}b$ 。由于 $A$ 是正交矩阵， $A^{-1}=A^{\mathrm{T}}$ ，故

计算 $A^{\mathrm{T}}b$ ，即 $A^{\mathrm{T}}$ 的第一列与 $b$ 的点积，因 $b=(1,0,0{)}^{\mathrm{T}}$ ，故

因此，方程组 $Ax=b$ 的解为 $(1,0,0{)}^{\mathrm{T}}$ 。

【答案】
一阶微分方程为： $y^{\prime }+2y=x^2{e}^{-2x}$
通解为： $y(x)=e^{-2x}\left(\frac{x^3}{3}+C\right)$ ，其中 $C$ 为任意常数。

【解析】
给定 $y(x)=e^{-2x}f(x,x)$ ，对 $y(x)$ 求导：

其中 $\frac{d}{dx}{e}^{-2x}=-2e^{-2x}$ ，且

由条件 $f_u^{\prime }(u,v)+f_v^{\prime }(u,v)=uv$ ，代入 $u=x$ , $v=x$ 得：

因此，

整理得一阶微分方程：

该方程为一阶线性微分方程，标准形式为 $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$ ，其中 $P(x)=2$ , $Q(x)=x^2{e}^{-2x}$ 。
求解通解：

计算 $\int P(x)dx=\int 2dx=2x$ ，所以 $e^{\int P(x)dx}=e^{2x}$ ，
则：

因此，

即为通解。

【答案】
(1) $S(t)=1-2t{e}^{-2t}$
(2) $S(t)$ 的最小值为 $1-\frac{1}{e}$

【解析】
首先，计算夹在 $x$ 轴与曲线 $y=F(x)$ 之间的总面积 $S$ 。由于 $F(x)$ 是偶函数，且

计算得

所以 $S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ 。

对于 $t>0$ ，矩形面积 $S_1(t)$ 为

因此

接下来，求 $S(t)$ 的最小值。令 $g(t)=1-2t{e}^{-2t}$ ，则求 $g(t)$ 的最小值等价于求 $h(t)=2t{e}^{-2t}$ 的最大值。对 $h(t)$ 求导：

令 $h^{\prime }(t)=0$ ，得 $t=\frac{1}{2}$ 。当 $t<\frac{1}{2}$ 时， $h^{\prime }(t)>0$ ; 当 $t>\frac{1}{2}$ 时， $h^{\prime }(t)<0$ ，所以 $h(t)$ 在 $t=\frac{1}{2}$ 处取得最大值。最大值为

因此 $S(t)$ 的最小值为

【答案】
(1) 当 $\lambda \ne \frac{1}{2}$ 时，方程组的全部解为：

当 $\lambda =\frac{1}{2}$ 时，方程组的全部解为：

(2) 当 $\lambda \ne \frac{1}{2}$ 时，满足 $x_2=x_3$ 的全部解为：

当 $\lambda =\frac{1}{2}$ 时，满足 $x_2=x_3$ 的全部解为：

【解析】
已知 $(1,-1,1,-1{)}^T$ 是方程组的一个解，代入方程组得 $\mu =\lambda$ 。因此方程组化为：

特解为 $X_p=(1,-1,1,-1{)}^T$ 。

考虑齐次方程组：

对系数矩阵进行行变换：

对于 (1)，分情况讨论：

• 当 $\lambda \ne \frac{1}{2}$ 时，从第二行得 $x_2+x_3=0$ ，代入第三行得 $x_4=2x_2$ ，代入第一行得 $x_1=-2x_2$ 。令 $x_2=k$ ，则齐次解为 $X_h=k(-2,1,-1,2{)}^T$ ，基础解系含一个向量。全部解为 $X=X_p+X_h$ 。
• 当 $\lambda =\frac{1}{2}$ 时，系数矩阵行简化后为： ​100​010​−130​0.510​​ 得 $x_1=x_3-0.5x_4$ ， $x_2=-3x_3-x_4$ 。令 $x_3=c_1$ ， $x_4=2c_2$ ，则齐次解为 $X_h=c_1(1,-3,1,0{)}^T+c_2(-1,-2,0,2{)}^T$ ，基础解系含两个向量。全部解为 $X=X_p+X_h$ 。

对于 (2)，要求 $x_2=x_3$ ：

• 当 $\lambda \ne \frac{1}{2}$ 时，解为 $X=(1,-1,1,-1{)}^T+k(-2,1,-1,2{)}^T$ ，分量满足 $-1+k=1-k$ ，得 $k=1$ ，代入得解。
• 当 $\lambda =\frac{1}{2}$ 时，解为 $X=(1,-1,1,-1{)}^T+c_1(1,-3,1,0{)}^T+c_2(-1,-2,0,2{)}^T$ ，分量满足 $-1-3c_1-2c_2=1+c_1$ ，得 $c_2=-1-2c_1$ ，代入得解，其中 $c_1$ 为任意常数。

【答案】
(1) 另一特征值为 $0$ ，对应的特征向量为 $(1,-1,-1{)}^T$ （或任何非零倍数）。
(2) 矩阵 A=​422​24−2​2−24​​ .

【解析】
(1) 由于 $A$ 是实对称矩阵且秩为 $2$ ，故行列式为 $0$ ，因此另一特征值必为 $0$ 。设特征值 $0$ 对应的特征向量为 $\beta =(x,y,z{)}^T$ ，由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，故 $\beta$ 与特征值 $6$ 的特征向量 ${\alpha }_1=(1,1,0{)}^T$ 和 ${\alpha }_2=(2,1,1{)}^T$ 正交，即 $\beta \cdot {\alpha }_1=0$ 和 $\beta \cdot {\alpha }_2=0$ ：

由 $x+y=0$ 得 $y=-x$ ，代入第二式得 $2x-x+z=0$ ，即 $x+z=0$ ，故 $z=-x$ 。因此 $\beta =(x,-x,-x{)}^T=x(1,-1,-1{)}^T$ ，取 $x=1$ 得特征向量 $(1,-1,-1{)}^T$ .

(2) 为求矩阵 $A$ ，采用对角化方法。取特征向量矩阵 P=​110​211​1−1−1​​ ，对角矩阵 D=​600​060​000​​ ，则 $A=PD{P}^{-1}$ . 计算 $P^{-1}$ 得：

先计算 $D{P}^{-1}$ ：

然后计算 $A=P(D{P}^{-1})$ ：

验证可知 $A$ 满足条件：秩为 $2$ ，特征值为 $6,6,0$ ，且给定向量均为特征值 $6$ 的特征向量。

【答案】
(1) 随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度为： $f_{X,Y}(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& 0<y<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$
(2) $Y$ 的概率密度为： $f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}-\ln y,& 0<y<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$
(3) 概率 $P\{X+Y>1\}=1-\ln 2$