卷 3

填空题

1～6小题，每小题4分，共24分

1

若 $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{e ^{x} - a} (cos x - b) = 5$ ，则 $a =$ ______， $b =$ ______．

2

函数 $f (u, v)$ 由关系式 $f [xg (y), y] = x + g (y)$ 确定，其中函数 $g (y)$ 可微，且 $g (y) \neq = 0$ ，则 $\frac{\partial ^{2} f}{\partial u \partial v} =$ ______．

高等数学多元函数微分学偏导数的概念与计算

3

设 $f (x) = {x e^{x^{2}}, - 1, - \frac{1}{2} \leq x < \frac{1}{2}, x \geq \frac{1}{2},$ ，则 $\int_{\frac{1}{2}}^{2} f (x - 1) d x =$ ．．

高等数学一元函数积分学定积分的计算

4

二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2})^{2} + (x_{2} - x_{3})^{2} + (x_{3} + x_{1})^{2}$ 的秩为 ______．

线性代数二次型

5

同试卷 1 第 6 题

6

设总体 $X$ 服从正态分布 $N (μ_{1}, σ^{2})$ ，总体 $Y$ 服从正态分布 $N (μ_{2}, σ^{2})$ ， $X_{1}, X_{2}, \dots X_{n_{1}}$ 和 $Y_{1}, Y_{2}, \dots Y_{n_{2}}$ 分别是来自总体 $X$ 和 $Y$ 的简单随机样本，则

E [\frac{\sum _{i = 1}^{n_{1}} ( X _{i} - X ) ^{2} + \sum _{j = 1}^{n_{2}} ( Y _{j} - Y ) ^{2}}{n _{1} + n _{2} - 2}] =

概率论与数理统计参数估计与假设检验估计量的无偏性

选择题

7～14小题，每小题4分，共32分

7

函数 $f (x) = \frac{∣ x ∣ s i n ( x - 2 )}{x ( x - 1 ) ( x - 2 ) ^{2}}$ 在下列哪个区间内有界

高等数学函数、极限、连续函数的连续性

正确答案：A

【解析】
如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，且极限 $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ 与 $lim_{x \to b^{-}} f (x)$ 存在，则函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内有界。因为

x \to - 1^{+} lim f (x) = x \to - 1^{+} lim \frac{- x sin ( x - 2 )}{x ( x - 1 ) ( x - 2 ) ^{2}} = - \frac{sin 3}{18},

x \to 0^{-} lim f (x) = x \to 0^{-} lim \frac{- x sin ( x - 2 )}{x ( x - 1 ) ( x - 2 ) ^{2}} = - \frac{sin 2}{4},

x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{+} lim \frac{x sin ( x - 2 )}{x ( x - 1 ) ( x - 2 ) ^{2}} = \frac{sin 2}{4},

x \to 1 lim f (x) = x \to 1 lim \frac{x sin ( x - 2 )}{x ( x - 1 ) ( x - 2 ) ^{2}} = \infty,

x \to 2 lim f (x) = x \to 2 lim \frac{x sin ( x - 2 )}{x ( x - 1 ) ( x - 2 ) ^{2}} = \infty

所以函数 $f (x)$ 在 $(- 1, 0)$ 内有界，故选 (A)。

8

设 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内有定义，且 $lim_{x \to \infty} f (x) = a$ , $g (x) = {f (\frac{1}{x}), 0, x \neq = 0; x = 0.$ 则

高等数学函数、极限、连续函数的连续性

正确答案：D

【解析】
由题意可知， $lim_{x \to \infty} f (x) = a$ 通常是指 $x \to + \infty$ 时的极限。
当 $x \to 0^{+}$ 时， $\frac{1}{x} \to + \infty$ ，因此

x \to 0^{+} lim g (x) = x \to 0^{+} lim f (\frac{1}{x}) = a .

当 $x \to 0^{-}$ 时， $\frac{1}{x} \to - \infty$ ，但题目并未给出 $f (x)$ 在 $x \to - \infty$ 时的极限，所以 $lim_{x \to 0^{-}} g (x)$ 可能不存在，也可能存在但不等于 $a$ 。

函数值 $g (0) = 0$ 。

若 $a \neq = 0$ ，则右极限 $a \neq = 0$ ，与 $g (0) = 0$ 不相等，因此 $g (x)$ 在 $x = 0$ 处不连续。
若 $a = 0$ ，则右极限为 0，但左极限取决于 $f (x)$ 在 $- \infty$ 处的行为，此时 $g (x)$ 可能连续，也可能不连续。

综上， $g (x)$ 在点 $x = 0$ 处的连续性与 $a$ 的取值有关。选项 A、B、C 均不一定成立，故正确答案为 D。

9

同试卷 2 第 8 题

10

设有下列命题：

① 若 $\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n - 1} + u_{2 n})$ 收敛，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 收敛．

② 若 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n + 1000}$ 收敛．

③ 若 $lim_{n \to \infty} \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} > 1$ ，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 发散．

④ 若 $\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + v_{n})$ 收敛，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ ， $\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}$ 都收敛．

则以下命题中正确的是

高等数学无穷级数常数项级数敛散性的判定

正确答案：B

【解析】
对于命题①，考虑反例：设 $u_{n} = (- 1)^{n}$ ，则

n = 1 \sum \infty (u_{2 n - 1} + u_{2 n}) = n = 1 \sum \infty (- 1 + 1) = 0

收敛，但

n = 1 \sum \infty u_{n} = n = 1 \sum \infty (- 1)^{n}

发散。因此命题①错误。

对于命题②，若 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则去掉前 1000 项后的级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n + 1000}$ 也收敛，因为级数的收敛性取决于尾部，去掉有限项不改变收敛性。因此命题②正确。

对于命题③，若

n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} > 1,

则当 $n$ 足够大时， $∣ u_{n} ∣$ 不趋于零，实际上会趋于无穷，因此级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 发散。这是比值判别法的结论，命题③正确。

对于命题④，考虑反例：设 $u_{n} = n$ ， $v_{n} = - n$ ，则

n = 1 \sum \infty (u_{n} + v_{n}) = n = 1 \sum \infty 0 = 0

收敛，但 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 和 $\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}$ 均发散。因此命题④错误。

综上，正确命题为②和③，对应选项 B。

11

设 $f^{'} (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f^{'} (a) > 0, f^{'} (b) < 0$ ，则下列结论中错误的是

高等数学一元函数微分学微分中值定理

正确答案：D

【解析】
由导数的定义 $f^{'} (a) = lim_{x \to a^{+}} \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} > 0$ ，根据极限的保号性，存在 $x_{0} \in (a, b)$ 使得 $\frac{f ( x _{0} ) - f ( a )}{x _{0} - a} > 0$ ，即 $f (x_{0}) > f (a)$ ，所以选项 (A) 正确。

同理， $f^{'} (b) = lim_{x \to b^{-}} \frac{f ( b ) - f ( x )}{b - x} < 0$ ，根据极限的保号性，存在 $x_{0} \in (a, b)$ 使得 $f (x_{0}) > f (b)$ ，所以选项 (B) 正确。

由已知 $f^{'} (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f^{'} (a) > 0$ ， $f^{'} (b) < 0$ ，则由介值定理，存在 $x_{0} \in (a, b)$ ，使得 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，所以选项 (C) 正确。

令 $f (x) = 4 - x^{2}$ （ $- 1 \leq x \leq 1$ ），则 $f^{'} (- 1) = 2 > 0$ ， $f^{'} (1) = - 2 < 0$ ，但在 $[- 1, 1]$ 上 $f (x) \geq 3 > 0$ ，所以选项 (D) 是错误的。

12

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 等价，则必有

线性代数矩阵矩阵的运算与变换

正确答案：D

【解析】
矩阵 $A$ 与 $B$ 等价意味着存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$ ，使得

B = P A Q

等价矩阵具有相同的秩，但行列式不一定相同。

当 $∣ A ∣ = 0$ 时， $A$ 的秩小于 $n$ ，因此 $B$ 的秩也小于 $n$ ，从而 $∣ B ∣ = 0$ 。

选项 A 和 B 错误，因为当 $∣ A ∣ \neq = 0$ 时， $∣ B ∣$ 不一定等于 $∣ A ∣$ 或 $- ∣ A ∣$ ，可能因初等变换而改变。

选项 C 错误，因为当 $∣ A ∣ \neq = 0$ 时， $A$ 满秩， $B$ 也满秩，故 $∣ B ∣ \neq = 0$ 。

因此，正确选项是 D。

13

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*} \neq = 0,$ 若 $ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}, ξ_{4}$ 是非齐次线性方程组 $A x = b$ 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 $A x = 0$ 的基础解系

线性代数矩阵伴随矩阵与可逆矩阵

正确答案：B

【解析】
因为

r (A^{*}) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 1, n, r (A) < n - 1, r (A) = n - 1, r (A) = n,

所以由 $A^{*} \neq = 0$ ，可得 $r (A) = n - 1$ 或 $r (A) = n$ 。由 $ξ_{1}, ξ_{2}$ 是 $A x = b$ 的不同的解，得 $ξ_{1} - ξ_{2} \neq = 0$ 是 $A x = 0$ 的解，从而 $r (A) < n$ ，因此 $r (A) = n - 1$ 。故基础解系所含向量个数为 $n - (n - 1) = 1$ 。