卷 4

【答案】 $2\ln x-{\ln }^{2}x+C$

【解析】
已知 $f(x)$ 的一个原函数为 ${\ln }^{2}x$ ，则 $f(x)=\frac{d}{dx}({\ln }^{2}x)=\frac{2\ln x}{x}$ 。
需要计算 $\int x{f}^{\prime }(x)dx$ 。
使用分部积分法：令 $u=x$ ， $dv=f^{\prime }(x)dx$ ，则 $du=dx$ ， $v=f(x)$ 。
所以，

代入 $f(x)=\frac{2\ln x}{x}$ ，得

且 $\int f(x)dx={\ln }^{2}x+C$ 。
因此，

【答案】

【解析】 给定矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 3\end{array}\right)$ ，计算 $B=A^2-3A+2E$ ，其中 $E$ 为单位矩阵。

首先，求 $A$ 的特征多项式：

由凯莱-哈密顿定理， $A$ 满足其特征方程：

因此， $A^2=4A-5E$ 。
代入 $B$ ：

即 $B=A-3I$ ，其中 $I$ 为单位矩阵。
计算 $A-3I$ ：

求逆矩阵 $B^{-1}=(A-3I{)}^{-1}$ 。
对于矩阵 $\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$ ，行列式为 $(-2)(0)-(-1)(2)=2$ 。
逆矩阵公式为 $\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ ，代入 $a=-2,b=-1,c=2,d=0$ ：

因此， $B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ -1& -1\end{array}\right)$ 。

【答案】 $abc\ne 0$

【解析】
考虑向量组 ${\alpha }_1=(a,0,c)$ 、 ${\alpha }_2=(b,c,0)$ 、 ${\alpha }_3=(0,a,b)$ 的线性无关性。构造矩阵

该向量组线性无关当且仅当矩阵 $A$ 的行列式不为零。计算行列式：

因此， $\det (A)=2abc$ 。向量组线性无关的条件为 $\det (A)\ne 0$ ，即

故 $a,b,c$ 需满足关系式 $abc\ne 0$ 。

【答案】 $0$

【解析】
首先，计算随机变量 $X$ 和 $Y$ 的期望值。

$X$ 的边际分布：

故

$Y$ 的边际分布：

故

其次，计算 $E[XY]$ ：

然后，计算协方差：

由于协方差为 0，相关系数 $\rho =0$ 。

因此， $X$ 和 $Y$ 的相关系数为 0。

【答案】

【解析】
第一步：分析区域 $D$

闭区域 $D:x^2+y^2⩽y,x⩾0$ 。 将圆的方程配方：

这表示一个圆心在 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ ，半径 $R=\frac{1}{2}$ 的圆。加上条件 $x⩾0$ ，区域 $D$ 是该圆位于 $y$ 轴右侧的半圆面。

• 面积 $S_D$ ： $S_D=\frac{1}{2}\cdot \pi {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{\pi }{8}$ 。

第二步：设定常数并建立方程

设常数 $A={\iint }_{D}f\left(u,v\right)dudv$ 。 则原方程可以写作：

为了求出 $A$ ，我们对上述等式两边在区域 $D$ 上同时进行二重积分：

代入 $A$ 的定义和面积 $S_D$ ：

第三步：计算积分 $I={\iint }_D\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy$

使用极坐标变换： $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ 。 圆的边界 $x^2+y^2=y$ 变为 $r^2=r\sin \theta$ ，即 $r=\sin \theta$ 。 由于 $x⩾0$ ， $\cos \theta ⩾0$ ，且 $r⩽\sin \theta$ 蕴含 $\sin \theta ⩾0$ ，故 $\theta$ 的范围是 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 。

先计算内层关于 $r$ 的积分：

再计算外层关于 $\theta$ 的积分：

第四步：解出 $f\left(x,y\right)$

将 $I$ 的结果代入关于 $A$ 的方程：

我们需要求的是 $f\left(x,y\right)$ 中的常数项 $C=\frac{\pi }{8}A$ ：

最终结果：

【答案】
(1) 证明见解析。
(2) 当 $p=6$ 时，总收益对价格的弹性为 $\frac{7}{13}$ 。经济意义：当价格增加 1% 时，总收益增加约 0.538%，表明需求缺乏弹性，总收益与价格同方向变动但变动幅度较小。

【解析】
(1) 总收益函数 $R=p\cdot Q(p)$ ，对 $p$ 求导得：

需求弹性 $\eta >0$ ，且定义为 $\eta =-\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}p}\cdot \frac{p}{Q}$ ，因此

代入上式：

故证。

(2) 总收益对价格的弹性定义为 ${\epsilon }_{Rp}=\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}p}\cdot \frac{p}{R}$ 。由 (1) 知 $\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}p}=Q(1-\eta )$ ，且 $R=pQ$ ，所以

给定 $\eta =\frac{2p^2}{192-p^2}$ ，当 $p=6$ 时，

因此，

经济意义： ${\epsilon }_{Rp}=\frac{7}{13}$ 表示当价格增加 1% 时，总收益增加约 0.538%。由于 $\eta <1$ ，需求缺乏弹性，价格与总收益同方向变动，但总收益变动幅度小于价格变动幅度。

【答案】
(1) 方程组①的一个基础解系为 ${\xi }_1=(5,-3,1,0{)}^T$ ， ${\xi }_2=(-3,2,0,1{)}^T$ 。
(2) 当 $a=-1$ 时，方程组①与②有非零公共解。全部非零公共解为 $k_1(2,-1,1,1{)}^T+k_2(-1,2,4,7{)}^T$ ，其中 $k_1,k_2$ 不全为零。

【解析】
(1) 对于方程组①，系数矩阵为 $\left(\begin{array}{cccc}2& 3& -1& 0\\ 1& 2& 1& -1\end{array}\right)$ 。通过行变换化为行简化阶梯形 $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -5& 3\\ 0& 1& 3& -2\end{array}\right)$ ，对应方程
$x_1-5x_3+3x_4=0$ 和 $x_2+3x_3-2x_4=0$ 。
令自由变量 $x_3=s$ ， $x_4=t$ ，得通解
$x_1=5s-3t$ ， $x_2=-3s+2t$ ， $x_3=s$ ， $x_4=t$ ，
即基础解系为 ${\xi }_1=(5,-3,1,0{)}^T$ ， ${\xi }_2=(-3,2,0,1{)}^T$ 。

(2) 方程组②的基础解系为 ${\alpha }_1=(2,-1,a+2,1{)}^T$ ， ${\alpha }_2=(-1,2,4,a+8{)}^T$ 。
公共解需满足方程组①，代入通解 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$ 到方程组①的方程中。

方程一：
$2(2k_1-k_2)+3(-k_1+2k_2)-[(a+2)k_1+4k_2]=0$ ，
化简得 $(-a-1)k_1=0$ 。

方程二：
$(2k_1-k_2)+2(-k_1+2k_2)+[(a+2)k_1+4k_2]-[k_1+(a+8)k_2]=0$ ，
化简得 $(a+1)(k_1-k_2)=0$ 。

非零公共解要求 $k_1,k_2$ 不全为零。
若 $a+1\ne 0$ ，则从方程一得 $k_1=0$ ，从方程二得 $k_2=0$ ，无非零解。
故 $a+1=0$ ，即 $a=-1$ 。此时方程一和方程二恒成立，所有 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$ 均为公共解。

当 $a=-1$ 时， ${\alpha }_1=(2,-1,1,1{)}^T$ ， ${\alpha }_2=(-1,2,4,7{)}^T$ ，
全部非零公共解为 $k_1(2,-1,1,1{)}^T+k_2(-1,2,4,7{)}^T$ ，其中 $k_1,k_2$ 不全为零。

【答案】 可逆矩阵 P=​1−1−1​110​101​​ ，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵 ​a−200​0a+10​00a+1​​ ，行列式 $|A-E|=a^2(a-3)$ 。

【解析】
矩阵 $A$ 是实对称矩阵，因此可以对角化。先求 $A$ 的特征值。令 B=A−aI=​011​10−1​1−10​​ ，则 $A=aI+B$ 。求 $B$ 的特征值，解特征方程 $|B-\mu I|=0$ ：

解得 $\mu =1$ （二重根）和 $\mu =-2$ 。因此 $A$ 的特征值为 $\lambda =a+\mu$ ，即 ${\lambda }_1=a-2$ ， ${\lambda }_2=a+1$ ， ${\lambda }_3=a+1$ 。

求特征向量：

• 对于 ${\lambda }_1=a-2$ ，解 $(A-(a-2)I)x=0$ ，即解 ​211​12−1​1−12​​x=0 ，得特征向量 $v_1=(1,-1,-1{)}^T$ 。
• 对于 ${\lambda }_2={\lambda }_3=a+1$ ，解 $(A-(a+1)I)x=0$ ，即解 ​−111​1−1−1​1−1−1​​x=0 ，得方程 $x_1-x_2-x_3=0$ ，选取两个线性无关的特征向量 $v_2=(1,1,0{)}^T$ 和 $v_3=(1,0,1{)}^T$ 。

因此，可逆矩阵 P=(v1​,v2​,v3​)=​1−1−1​110​101​​ ，满足 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(a-2,a+1,a+1)$ 。

计算行列式 $|A-E|$ ，其中 $E$ 为单位矩阵。 A−E=​a−111​1a−1−1​1−1a−1​​ 。利用特征值， $A$ 的特征值为 $a+1,a+1,a-2$ ，故 $A-E$ 的特征值为 $a,a,a-3$ ，所以 $|A-E|=a\cdot a\cdot (a-3)=a^2(a-3)$ 。直接计算也可得相同结果。

【答案】 见解析

【解析】
1. 充分性：

若 $A$ 与 $B$ 独立，则根据独立事件的定义：

根据条件概率公式：

现在计算 $P(B|\neg A)$ ：

由于 $B=(A\cap B)\cup (B\cap \neg A)$ ，且 $A\cap B$ 与 $B\cap \neg A$ 互斥，所以：

因此：

所以， $P(B|A)=P(B)=P(B|\neg A)$ ，即：

2. 必要性：

假设 $P(B|A)=P(B|\neg A)$ ，则：

由于 $P(\neg A)=1-P(A)$ ，且 $P(B\cap \neg A)=P(B)-P(A\cap B)$ ，代入得：

交叉相乘：

展开：

消去 $-P(A)P(A\cap B)$ ：

这正是 $A$ 与 $B$ 独立的定义。

结论

综上所述， $P(B|A)=P(B|\neg A)$ 是事件 $A$ 与 $B$ 独立的充分必要条件。