卷 4

【答案】

【解析】
已知 $z=e^{-x}-f(x-2y)$ ，且当 $y=0$ 时， $z=x^2$ 。
代入 $y=0$ 得：

解得：

因此，

代入原式得：

对 $x$ 求偏导：

整理得：

故答案为 $\boxed{2(x-2y)+e^{-x}(e^{2y}-1)}$ 。

【答案】 -28

【解析】
根据代数余子式的定义： $A_{41}=(-1{)}^{4+1}{M}_{41}=-M_{41}$ $A_{42}=(-1{)}^{4+2}{M}_{42}=M_{42}$ $A_{43}=(-1{)}^{4+3}{M}_{43}=-M_{43}$ $A_{44}=(-1{)}^{4+4}{M}_{44}=M_{44}$

所以：

根据行列式展开定理，这个和等于将原行列式 $D$ 的第4行元素替换为 $-1,1,-1,1$ 后的行列式的值：

计算这个行列式：

将第二行乘以 $\frac{1}{2}$ ，行列式值乘以2。

继续计算：

将第四行加上第一行，第四列全为0。

按第四列展开，只剩前3×3行列式。

所以，第4行各元素余子式之和的值为 $-28$ 。

最终答案： $\boxed{-28}$

【答案】 当销售价定为 $\frac{5b+4a}{8}$ 元/件时，可获得最大利润，最大利润为 $\frac{c}{16b}(5b-4a{)}^2$ 元。

【解析】 设销售价为 $x$ 元/件，则根据市场调查，销售价每下降10%（相对于原销售价 $b$ ），销售量增加40%。因此，销售价下降百分比为 $r=\frac{b-x}{b}$ ，销售量 $q=c(1+4r)=c\cdot \frac{5b-4x}{b}$ 。

利润函数为：

这是一个关于 $x$ 的二次函数，且二次项系数为负，故存在最大值。通过求顶点坐标，可得最大利润对应的销售价：

代入利润函数，计算最大利润：

由于 $b\ge \frac{4}{3}a$ ，有 $5b-4a>0$ ，且 $x^{\ast }\le b$ 和 $x^{\ast }\ge a$ 均成立，故该解有效。

【答案】 见解析

【解析】 令 $g(x)={\mathrm{e}}^{-x^2}f(x)$ ，则 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且

由题设条件 $f(1)=3{\int }_0^{1/3}{\mathrm{e}}^{1-x^2}f(x)\mathrm{d}x$ ，两边同乘 ${\mathrm{e}}^{-1}$ 得

即

由积分中值定理，存在 $c\in [0,1/3]$ ，使得

所以

因此 $g(c)=g(1)$ 。在区间 $[c,1]$ 上应用罗尔定理，存在 $\xi \in (c,1)\subset (0,1)$ ，使得 $g^{\prime }(\xi )=0$ ，即

故 $f^{\prime }(\xi )=2\xi f(\xi )$ 。证毕。

【答案】

【解析】 设 $F(x)={\int }_1^{x}f(u)du$ ，则原方程化为：

对两边关于 $t$ 求导（视 $x$ 为常数）：

令 $t=1$ ，代入 $f(1)=\frac{5}{2}$ ：

即：

两边对 $x$ 求导：

简化得：

解得：

积分得：

代入 $f(1)=\frac{5}{2}$ ：

故：

验证：令 $F(x)={\int }_1^{x}f(u)du=\frac{5}{2}x\ln x$ ，则 $F(xt)=\frac{5}{2}xt\ln (xt)=\frac{5}{2}xt(\ln x+\ln t)$ ，且 $tF(x)+xF(t)=\frac{5}{2}xt\ln x+\frac{5}{2}xt\ln t=\frac{5}{2}xt(\ln x+\ln t)$ ，满足原方程。

【答案】 线性无关

【解析】
考虑向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r,\beta$ 的线性相关性。设存在标量 $c_1,c_2,\cdots ,c_r,c_{r+1}$ ，使得

由于 $\beta$ 是线性方程组的解向量，即对于每个 $i=1,2,\cdots ,r$ ，有 ${\alpha }_i^T\beta =0$ 。将上述方程两边与 $\beta$ 做内积（即左乘 ${\beta }^T$ ），得

由 ${\alpha }_i^T\beta =0$ 可知 ${\beta }^T{\alpha }_i=0$ ，因此

由于 $\beta$ 是非零向量， ${\beta }^T\beta =\Vert \beta {\Vert }^2\ne 0$ ，故 $c_{r+1}=0$ 。代入原方程，得

已知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性无关，因此 $c_1=c_2=\cdots =c_r=0$ 。综上，所有标量均为零，故向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r,\beta$ 线性无关。

【答案】 $\frac{1}{18}$

【解析】 随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度函数在三角形区域上为常数。三角形的顶点为 $(0,1)$ 、 $(1,0)$ 、 $(1,1)$ ，其面积为 $\frac{1}{2}$ ，因此联合概率密度函数为 $f_{X,Y}(x,y)=2$ ，其中 $0\le x\le 1$ ， $1-x\le y\le 1$ 。

需要求 $U=X+Y$ 的方差，即 $\text{Var}(U)=E[U^2]-(E[U]{)}^2$ 。首先计算 $E[U]=E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ 。

计算 $E[X]$ ：

类似地，计算 $E[Y]$ ：

所以 $E[U]=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$ .

接下来计算 $E[U^2]=E[(X+Y{)}^2]=E[X^2]+2E[XY]+E[Y^2]$ 。

计算 $E[X^2]$ ：

计算 $E[Y^2]$ ：

计算 $E[XY]$ ：

所以 $E[U^2]=\frac{1}{2}+2\times \frac{5}{12}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{10}{12}+\frac{1}{2}=\frac{11}{6}$ .

因此， $\text{Var}(U)=E[U^2]-(E[U]{)}^2=\frac{11}{6}-{\left(\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{11}{6}-\frac{16}{9}=\frac{33}{18}-\frac{32}{18}=\frac{1}{18}$ .