卷 1

【答案】
$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+2y=0$

【解析】
给定通解 $y=e^x(c_1\sin x+c_2\cos x)$ ，可知该二阶常系数线性齐次微分方程的特征根为 $r=1\pm i$ 。特征方程为 $(r-(1+i))(r-(1-i))=0$ ，即 $(r-1{)}^2+1=0$ ，展开得 $r^2-2r+2=0$ 。因此，对应的微分方程为 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+2y=0$ 。

【答案】 $\frac{2}{3}$

【解析】 给定 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ，需计算 $÷(\nabla r)$ 在点 $(1,-2,2)$ 的值。首先，计算梯度 $\nabla r$ ：

然后计算散度：

对每一项求偏导：

求和得：

由于 $x^2+y^2+z^2=r^2$ ，代入得：

在点 $(1,-2,2)$ 处，计算 $r=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{9}=3$ ，因此：

【答案】

【解析】 原积分为 ${\int }_{-1}^0\mathrm{d}y{\int }_2^{1-y}f(x,y)\mathrm{d}x$ 。积分区域由 $y=-1$ ， $y=0$ ， $x=2$ ，和 $x=1-y$ 围成。对于 $y\in [-1,0]$ ， $x$ 从 $1-y$ 到 $2$ （由于原积分中 $x$ 从 $2$ 到 $1-y$ ，但上下限反转，因此实际区域为 $x$ 从 $1-y$ 到 $2$ ）。

交换积分次序后，先积分 $y$ 后积分 $x$ 。确定 $x$ 的范围：当 $y=-1$ 时， $x=2$ ；当 $y=0$ 时， $x=1$ 。因此 $x$ 从 $1$ 到 $2$ 。对于固定 $x\in [1,2]$ ， $y$ 的范围由 $x=1-y$ 和 $y=0$ 决定，即 $y$ 从 $1-x$ 到 $0$ 。

因此，交换次序后的积分为 ${\int }_1^2\mathrm{d}x{\int }_{1-x}^{0}f(x,y)\mathrm{d}y$ 。

【答案】

【解析】
已知矩阵 $A$ 满足 $A^2+A-4E=0$ ，即

考虑矩阵 $(A-E)(A+2E)$ ，计算得

代入已知条件 $A^2+A=4E$ ，得

因此，

即

故

【答案】 $\frac{1}{2}$

【解析】 切比雪夫不等式指出，对于随机变量 $X$ ，若其期望为 $E(X)$ ，方差为 ${\sigma }^2$ ，则对任意 $k>0$ ，有：

现已知方差 ${\sigma }^2=2$ ，取 $k=2$ ，代入不等式可得：

因此，所求概率上界为 $\frac{1}{2}$ 。

【答案】

【解析】 考虑积分 $I=\int \frac{\arctan e^x}{e^{2x}}dx$ 。令 $u=e^x$ ，则 $du=e^{x}dx$ ，即 $dx=\frac{du}{u}$ 。代入得：

使用分部积分法，令 $p=\arctan u$ ， $dq=u^{-3}du$ ，则 $dp=\frac{1}{1+u^2}du$ ， $q=-\frac{1}{2}{u}^{-2}$ 。于是：

计算积分 $\int \frac{u^{-2}}{1+u^2}du=\int \frac{1}{u^2(1+u^2)}du$ 。进行部分分式分解：

所以：

代回得：

将 $u=e^x$ 代回，得到：

此为最终结果。

【答案】 $51$

【解析】 给定函数 $\phi (x)=f(x,f(x,x))$ ，需要求 $\frac{d}{dx}{\phi }^3(x){|}_{x=1}$ 。首先，计算 $\frac{d}{dx}{\phi }^3(x)=3[\phi (x){]}^2{\phi }^{\prime }(x)$ ，因此需要求 $\phi (1)$ 和 ${\phi }^{\prime }(1)$ 。

由已知条件， $f(1,1)=1$ ，所以 $\phi (1)=f(1,f(1,1))=f(1,1)=1$ 。

接下来，求 ${\phi }^{\prime }(x)$ 。令 $u=x$ ， $v=f(x,x)$ ，则 $\phi (x)=f(u,v)$ 。由链式法则：

其中 $\frac{du}{dx}=1$ ，而 $\frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}f(x,x)=\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x,x)}+\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{(x,x)}$ 。

在 $x=1$ 时，点 $(u,v)=(1,f(1,1))=(1,1)$ ，因此：

且

所以：

代入：

因此，结果为 51。

【答案】

【解析】 给定函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1+x^2}{x}\arctan x,& x\ne 0;\\ 1,& x=0.\end{array}$ 将其展开为 $x$ 的幂级数。

首先，对于 $x\ne 0$ ，有：

利用 $\arctan x$ 的麦克劳林级数：

代入得：

因此，

将第二个级数改写为：

于是，

简化括号内表达式：

因此，

这就是 $f(x)$ 的幂级数展开。

现在求级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{1-4n^2}$ 的和。注意到：

在 $f(x)$ 的展开式中，令 $x=1$ ，有：

同时由级数展开：

所以，

即：

因此：

于是，

【答案】 $-24$

【解析】 使用斯托克斯定理将曲线积分转化为曲面积分。给定向量场 $\mathbf{F}=(P,Q,R)=(y^2-z^2,2z^2-x^2,3x^2-y^2)$ ，计算旋度：

曲线 $L$ 是平面 $x+y+z=2$ 与柱面 $|x|+|y|=1$ 的交线，选取曲面 $S$ 为平面 $x+y+z=2$ 上被 $L$ 包围的部分。参数化曲面为 $z=2-x-y$ ，其中 $(x,y)$ 在区域 $D:|x|+|y|\le 1$ 上。曲面向量元为 $d\mathbf{S}=(1,1,1)dxdy$ ，方向与从 $z$ 轴正向看逆时针方向一致。

曲面积分为：

计算点积：

代入 $z=2-x-y$ ：

因此，积分化为：

区域 $D$ 是菱形 $|x|+|y|\le 1$ ，关于 $x$ 轴和 $y$ 对称。函数 $-2x$ 和 $2y$ 是奇函数，积分值为零。常数项 $-12$ 的积分为：

故曲线积分 $I=-24$ 。

\boxed{-24}

【答案】
(1) 对于任意 $x\ne 0$ 在 $(-1,1)$ 内，存在唯一的 $\theta (x)\in (0,1)$ 使得 $f(x)=f(0)+x{f}^{\prime }(\theta (x)x)$ 成立。
(2) ${\lim }_{x\to 0}\theta (x)=\frac{1}{2}$ 。

【解析】
(1) 由拉格朗日中值定理，对于 $x\ne 0$ 在 $(-1,1)$ 内，存在 $c$ 在 $0$ 与 $x$ 之间使得 $f(x)-f(0)=f^{\prime }(c)x$ 。令 $c=\theta (x)x$ ，则 $\theta (x)=c/x$ 。当 $x>0$ 时， $c\in (0,x)$ ，故 $\theta (x)\in (0,1)$ ；当 $x<0$ 时， $c\in (x,0)$ ，故 $\theta (x)\in (0,1)$ 。因此存在 $\theta (x)\in (0,1)$ 满足等式。
为证唯一性，考虑 $f^{\prime \prime }(x)\ne 0$ 且连续，故 $f^{\prime \prime }(x)$ 恒正或恒负，从而 $f^{\prime }(x)$ 严格单调。对于固定 $x$ ，函数 $h(\theta )=f^{\prime }(\theta x)$ 是严格单调的，因此方程 $h(\theta )=\frac{f(x)-f(0)}{x}$ 有唯一解 $\theta \in (0,1)$ 。故 $\theta (x)$ 唯一。

(2) 由泰勒展开，在 $x=0$ 处有：

又由给定等式：

对 $f^{\prime }(\theta x)$ 在 $0$ 处展开：

代入得：

比较两式：

即：

整理得：

由于 $f^{\prime \prime }(0)\ne 0$ ，两边除以 $f^{\prime \prime }(0)x^2$ ：

故 ${\lim }_{x\to 0}\theta (x)=\frac{1}{2}$ 。

【答案】 $100$

【解析】
雪堆的形状由方程 $z=h(t)-\frac{2(x^2+y^2)}{h(t)}$ 描述，这是一个旋转抛物面。首先，计算体积 $V$ 和侧面积 $S$ 作为 $h(t)$ 的函数。

体积 $V$ 通过积分求得：
在高度 $z$ 处的截面半径满足 $r^2=\frac{h}{2}(h-z)$ ，因此

侧面积 $S$ 通过旋转曲面积分求得：
由曲线 $z=h-\frac{2r^2}{h}$ ，其中 $r$ 从 $0$ 到 $\frac{h}{\sqrt{2}}$ ，

令 $u=\frac{4r}{h}$ ，则 $dr=\frac{h}{4}du$ ，积分限变为 $u=0$ 到 $u=2\sqrt{2}$ ，

计算积分：令 $v=1+u^2$ ，则 $dv=2udu$ ，

因此，

已知体积减少速率与侧面积成正比，比例系数 $0.9$ ，即

代入 $V$ 和 $S$ ：

求导得：

两边除以 $\pi h^2$ （假设 $h\ne 0$ )：

计算右边：