卷 3

【答案】
$\frac{1}{e}$

【解析】
曲线 $f(x)=x^n$ 在点 $(1,1)$ 处的切线斜率为 $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$ ，在 $x=1$ 处斜率为 $n$ 。切线方程为 $y-1=n(x-1)$ 。
切线与 $x$ 轴交于 $({\xi }_n,0)$ ，代入得 $0-1=n({\xi }_n-1)$ ，解得 ${\xi }_n=1-\frac{1}{n}$ 。
则 $f({\xi }_n)={\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n$ 。
求极限

【答案】
$-\frac{\ln x}{x}+C$

【解析】
考虑积分 $\int \frac{\ln x-1}{x^2}dx$ 。使用分部积分法，设 $u=\ln x-1$ ， $dv=\frac{1}{x^2}dx$ ，则 $du=\frac{1}{x}dx$ ， $v=-\frac{1}{x}$ 。代入分部积分公式：

其中 $\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C$ ，所以：

因此，积分结果为 $-\frac{\ln x}{x}+C$ 。
验证：对 $-\frac{\ln x}{x}$ 求导，

与原被积函数一致。

【答案】
$y_t=A\cdot (-5{)}^t+\frac{5}{12}t-\frac{5}{72}$

【解析】
给定差分方程 $2y_{t+1}+10y_t-5t=0$ ，可化为标准形式

齐次方程

的解为

其中 $A$ 为常数。

非齐次项为 $\frac{5}{2}t$ ，设特解形式为

代入方程：

代入得

比较系数：

特解为

通解为齐次解与特解之和：

【答案】

【解析】 应填

由于 $|A|=-2\ne 0$ ，所以 $A$ 可逆。在 $A^{\ast }BA=2BA-8E$ 两边左乘 $A$ ，右乘 $A^{-1}$ ，利用公式 $A{A}^{\ast }=|A|E,A{A}^{-1}=E$ ，得到 $|A|B=2AB-8E$ 。

$|A|=-2$ 代入上式，整理得

【答案】 $a=\frac{1}{20}$ , $b=\frac{1}{100}$ , 自由度为 2

【解析】 由于 $X_1,X_2,X_3,X_4$ 相互独立，均服从 $N(0,2^2)$ ，所以由数学期望和方差的性质，得

所以 $X_1-2X_2\sim N(0,20)$ ，同理 $3X_3-4X_4\sim N(0,100)$ 。又因为 $X_1-2X_2$ 与 $3X_3-4X_4$ 相互独立，且

由 ${\chi }^2$ 分布的定义，当 $a=\frac{1}{20},b=\frac{1}{100}$ 时，

即当 $a=\frac{1}{20},b=\frac{1}{100}$ 时， $X$ 服从 ${\chi }^2$ 分布，其自由度为 2。实际上，当 $a=0,b=\frac{1}{100}$ 时， $X\sim {\chi }^2(1)$ ；当 $a=\frac{1}{20},b=0$ 时， $X\sim {\chi }^2(1)$ ，也是正确的。

【答案】

【解析】 设 $z=(x^2+y^2)e^{-\arctan \frac{y}{x}}$ 。首先求全微分 $\mathrm{d}z$ ，需计算一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 。

令 $u=\arctan \frac{y}{x}$ ，则 $z=(x^2+y^2)e^{-u}$ 。
计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$ :

其中 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\arctan \frac{y}{x}=\frac{1}{1+(y/x{)}^2}\cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)=-\frac{y}{x^2+y^2}$ ，
代入得：

计算 $\frac{\partial z}{\partial y}$ :

其中 $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\arctan \frac{y}{x}=\frac{1}{1+(y/x{)}^2}\cdot \frac{1}{x}=\frac{x}{x^2+y^2}$ ，
代入得：

因此，全微分为：

接下来求混合偏导数 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$ ，即对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 求关于 $y$ 的偏导：

应用乘积法则：

代入 $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{x}{x^2+y^2}$ ：

化简分子：

因此：

【答案】

【解析】
积分区域 $D$ 由 $x^2+y^2\le x$ 定义，可改写为 $(x-\frac{1}{2}{)}^2+y^2\le \frac{1}{4}$ ，即圆心在 $(\frac{1}{2},0)$ 、半径为 $\frac{1}{2}$ 的圆盘。
由于被积函数 $\sqrt{x}$ 仅依赖于 $x$ ，且区域关于 $x$ 轴对称，积分可化为：

内层积分对 $y$ 进行：

因此积分变为：

令 $u=1-x$ ，则 $du=-dx$ ，积分限变为 $u$ 从 $1$ 到 $0$ ：

计算积分：

所以：

原积分为：

故结果为 $\frac{8}{15}$ 。

【答案】
窖藏 $t=\frac{1}{25r^2}$ 年售出可使总收入的现值最大。当 $r=0.06$ 时， $t=\frac{100}{9}$ 年。

【解析】
由连续复利公式知，这批酒在窖藏 $t$ 年末售出总收入 $R$ 的现值为 $A(t)=R{e}^{-rt}$ ，而由题设， $t$ 年末的总收入 $R=R_0{e}^{\frac{2}{5}\sqrt{t}}$ ，从而 $A(t)=R{e}^{-rt}=R_0{e}^{\frac{2}{5}\sqrt{t}-rt}$ 。令

得惟一驻点 $t=t_0=\frac{1}{25r^2}$ 。又因为

从而

根据极值的第二充分条件知 $t=t_0$ 是 $A(t)$ 的极大值点。又因驻点惟一，所以也是最大值点。故窖藏 $t=\frac{1}{25r^2}$ 年出售，总收入的现值最大。当 $r=0.06$ 时， $t=\frac{100}{9}\approx 11$ (年)。

【答案】
存在ξ, η∈(a,b)使得所述等式成立。

【解析】
由于函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f^{\prime }(x)\ne 0$ ，根据拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得

考虑函数 $g(x)=e^x$ ，它在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $g^{\prime }(x)=e^x\ne 0$ 。由柯西中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$ 使得

将拉格朗日中值定理的结果代入上式，得

整理得

因此，存在 $\xi ,\eta \in (a,b)$ 使得所述等式成立。

【答案】 $\frac{4}{3}$

【解析】 (Ⅰ) 由 $y=n{x}^2+\frac{1}{n}$ 与 $y=(n+1)x^2+\frac{1}{n+1}$ 得 $a_n=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}$ 。因图形关于 $y$ 轴对称，所以，所求图形的面积为

(Ⅱ) 由 (I) 的结果知

根据级数和的定义有

【答案】

【解析】
由题设及旋转体体积公式得

两边对 $t$ 求导，化成微分方程