卷 4

【答案】 $\frac{\pi }{3}$

【解析】
设 $A={\int }_0^{1}f(x)dx$ 。由题设方程

两边在区间 $[0,1]$ 上积分得

计算积分：

代入得

解方程：

因此，

【答案】 $(-1{)}^{n-1}(n-1)$

【解析】 设 $J$ 为 $n$ 阶全 1 矩阵，则 $A=J-I$ ，其中 $I$ 是单位矩阵。
矩阵 $J$ 的特征值为 $n$ （单重）和 $0$ （ $n-1$ 重），因此 $A$ 的特征值为 $n-1$ 和 $-1$ （ $n-1$ 重）。
行列式为特征值的乘积，故

【答案】 0

【解析】
考虑事件 $E=(\bar{A}\cup B)\cap (A\cup B)\cap (\bar{A}\cup \bar{B})\cap (A\cup \bar{B})$ 。

首先，简化 $(\bar{A}\cup B)\cap (A\cup B)$ 。通过集合运算，有

类似地，简化 $(\bar{A}\cup \bar{B})\cap (A\cup \bar{B})$ ，得

因此，

即 $E$ 是不可能事件。

故 $P(E)=0$ 。

【答案】 $\frac{19}{27}$

【解析】
由 $X\sim B(2,p)$ 和 $P\{X\ge 1\}=\frac{5}{9}$ ，得

由于 $P\{X=0\}=(1-p{)}^2$ ，所以

解得 $1-p=\frac{2}{3}$ （取正值），故

对于 $Y\sim B(3,p)$ ，有

其中

因此，

【答案】 $\frac{a^2}{2}$

【解析】 考虑极限 $L={\lim }_{x\to 0}\left[\frac{a}{x}-\left(\frac{1}{x^2}-a^2\right)\ln (1+ax)\right]$ ，其中 $a\ne 0$ 。
使用泰勒展开 $\ln (1+ax)=ax-\frac{(ax{)}^2}{2}+\frac{(ax{)}^3}{3}-\frac{(ax{)}^4}{4}+\cdots$ ，代入表达式：

展开后：

原表达式为：

简化后：

当 $x\to 0$ 时，所有含 $x$ 的项趋近于零，仅剩常数项 $\frac{a^2}{2}$ 。因此极限为 $\frac{a^2}{2}$ 。

或者，令 $t=ax$ ，则当 $x\to 0$ 时 $t\to 0$ ，原式化为：

计算内极限：

利用 $\ln (1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\cdots$ ，有：

所以：

加上 $\ln (1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\cdots$ ，得：

当 $t\to 0$ 时，内极限为 $\frac{1}{2}$ ，故 $L=a^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}$ 。
两种方法均得极限为 $\frac{a^2}{2}$ 。

【答案】
商品单价为101元，最大利润额为167080元。

【解析】
利润函数为 $L=pQ-C-2Q$ ，其中 $Q=12000-80p$ ， $C=25000+50Q$ 。
代入得：

简化后：

这是一个二次函数，开口向下，最大值在顶点处。顶点坐标为 $p=-\frac{b}{2a}=-\frac{16160}{2\times (-80)}=101$ 。
代入 $p=101$ 得最大利润：

因此，商品单价为101元时，利润最大，最大利润额为167080元。

【答案】
面积 $S=2$ ，体积 $V=9\pi$ 。

【解析】
求面积 $S$ ：曲线 $y=x^2-2x$ 与 $y=0$ （即 $x$ 轴）以及直线 $x=1$ 、 $x=3$ 所围成的图形在区间 $[1,3]$ 上部分位于 $x$ 轴下方。因此，面积需取绝对值积分：

在区间 $[1,2]$ 上， $x^2-2x<0$ ，故 $|x^2-2x|=2x-x^2$ ；在区间 $[2,3]$ 上， $x^2-2x>0$ ，故 $|x^2-2x|=x^2-2x$ 。
于是：

计算第一积分：

计算第二积分：

所以：

求体积 $V$ ：该平面图形绕 $y$ 轴旋转一周，使用柱壳法，体积公式为：

同样分段计算：

计算第一积分：

计算第二积分：

所以：

【答案】 见解析

【解析】
(Ⅰ) 令 $t=-u$ ，有

即 $F(x)$ 为偶函数。

(Ⅱ) 由积分中值定理，存在 $\xi$ 介于 0 和 $x$ 之间，使得

由已知 $f(x)$ 单调不减，可见

当 $x>0$ 时， $f(\xi )-f(x)\ge 0$ ，故 $F^{\prime }(x)\ge 0$ ;
当 $x=0$ 时，显然 $F^{\prime }(x)=0$ ;
当 $x<0$ 时， $f(\xi )-f(x)\le 0$ ，故 $F^{\prime }(x)\ge 0$ 。

总之，当 $x\in (-\infty ,+\infty )$ 时，总有 $F^{\prime }(x)\ge 0$ ，从而 $F(x)$ 单调不减。

【答案】 $\frac{3}{2}$

【解析】 三角形区域 $D$ 的顶点为 $O(0,0)$ 、 $A(1,2)$ 、 $B(2,1)$ ，其边界由直线 $OA:y=2x$ 、 $OB:y=\frac{x}{2}$ 和 $AB:y=-x+3$ 围成。将积分区域按 $x$ 方向分为两部分：

• 当 $0\le x\le 1$ 时， $y$ 的范围为 $\frac{x}{2}\le y\le 2x$ ；
• 当 $1\le x\le 2$ 时， $y$ 的范围为 $\frac{x}{2}\le y\le -x+3$ 。

则二重积分可表示为：

分别计算两个积分：

因此，

也可用质心坐标验证：三角形面积 $\frac{3}{2}$ ，质心横坐标 $\bar{x}=1$ ，故积分值为 $1\times \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$ 。

最终结果为：

【答案】
(1) $a=5$ , $b=6$
(2) 可逆矩阵 P=​101​011​−12−3​​ 。（ $P$ 的取法不唯一，只要列向量是对应特征值的线性无关特征向量即可）

【解析】
矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，则它们有相同的特征多项式。

(1) 求 $a$ , $b$ 的值

计算 $A$ 的特征多项式：

$B$ 的特征多项式为：

比较系数得：

解得 $a=5$ ， $b=6$ 。

因此， $\boxed{a=5}$ ， $\boxed{b=6}$ 。

(2) 求可逆矩阵 $P$

当 $a=5$ ， $b=6$ 时，

求 $A$ 的特征值与特征向量：

特征值 ${\lambda }_1=2$ （二重），解 $(A-2I)x=0$ ：

得基础解系：

特征值 ${\lambda }_2=6$ ，解 $(A-6I)x=0$ ：

得基础解系：

取

则 $P$ 可逆，且满足 $P^{-1}AP=B$ 。

因此，可逆矩阵 P=​101​011​−12−3​​ 。

【答案】
(1) $X$ 的分布函数为：

(2) $X$ 取负值的概率 $p=\frac{7}{16}$ 。

【解析】
(1) 由 $X$ 的绝对值不大于 1，可得：当 $x<-1$ 时， $F(x)=P\{X\le x\}=0$ ; 当 $x\ge 1$ 时， $F(x)=P\{X\le x\}=1$ 。又 $P\{X=-1\}=\frac{1}{8},P\{X=1\}=\frac{1}{4}$ ，则

由题意 $X$ 在 $(-1,1)$ 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，那么当 $X$ 的值属于 $(-1,1)$ 的条件下，事件 $\{-1<X\le x\}$ 的条件概率为：

其中 $k$ 为比例正常数。又 $P\{-1<X<1|-1<X<1\}=1$ ，而

所以 $k=1$ ，故

当 $-1<x<1$ 时， $\{-1<X\le x\}=\{-1<X\le x\}\cap \{-1<X<1\}$ ，所以

由条件概率公式，有

而

所以

故所求的 $X$ 的分布函数为

(II) $X$ 取负值的概率 $p=P\{X<0\}=F(0)-P\{X=0\}=F(0)=\frac{7}{16}$ .

【答案】
(1) $X_1$ 和 $X_2$ 的联合概率分布为：
$P(X_1=0,X_2=0)=1-\frac{1}{e}$ ，
$P(X_1=0,X_2=1)=0$ ，
$P(X_1=1,X_2=0)=\frac{1}{e}-\frac{1}{e^2}$ ，
$P(X_1=1,X_2=1)=\frac{1}{e^2}$ 。
(2) $E(X_1+X_2)=\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}$ 。

【解析】
随机变量 $Y$ 服从参数 $\lambda =1$ 的指数分布，其概率密度函数为 $f_Y(y)=e^{-y}$ ， $y\ge 0$ 。
$X_k$ 的定义为：当 $Y\le k$ 时 $X_k=0$ ，当 $Y>k$ 时 $X_k=1$ （ $k=1,2$ ）。

(1) 联合概率分布的计算基于 $Y$ 的取值范围：

• $P(X_1=0,X_2=0)=P(Y\le 1)={\int }_0^1{e}^{-y}dy=1-e^{-1}=1-\frac{1}{e}$ 。
• $P(X_1=0,X_2=1)=P(Y\le 1\text{ 且 }Y>2)=0$ ，因为事件不可能发生。
• $P(X_1=1,X_2=0)=P(1<Y\le 2)={\int }_1^2{e}^{-y}dy=e^{-1}-e^{-2}=\frac{1}{e}-\frac{1}{e^2}$ 。
• $P(X_1=1,X_2=1)=P(Y>2)={\int }_2^{\infty }{e}^{-y}dy=e^{-2}=\frac{1}{e^2}$ 。