卷 3

【答案】

【解析】 给定 $y=f(\ln x)\cdot e^{f(x)}$ ，其中 $f$ 可微。

设

则

由乘积法则，

计算 $\frac{du}{dx}$ ：

计算 $\frac{dv}{dx}$ ：

代入乘积法则：

因此，

【答案】
$\frac{\pi }{4-\pi }$

【解析】
设 $I={\int }_0^{1}f(x)dx$ ，则原方程化为：

对两边从 0 到 1 积分：

计算第一个积分：

计算第二个积分：

代入得：

整理方程：

解得：

因此， ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{\pi }{4-\pi }$ 。

【答案】
$y_t=C+(t-2)2^t$

【解析】
给定差分方程 $y_{t+1}-y_t=t{2}^t$ ，首先求解齐次方程 $y_{t+1}-y_t=0$ 。
齐次方程的特征方程为 $r-1=0$ ，解得 $r=1$ ，因此齐次解为 $y_h=C$ ，其中 $C$ 为常数。

接下来，求非齐次方程的特解。非齐次项为 $t{2}^t$ ，假设特解形式为 $y_p=(At+B)2^t$ 。代入原方程：

则

令其等于 $t{2}^t$ ，得

比较系数：

• $A=1$ ，
• $2A+B=0$ 。

解得 $B=-2$ 。
因此特解为 $y_p=(t-2)2^t$ 。

通解为齐次解与特解之和：

【答案】 $-\sqrt{2}<t<\sqrt{2}$

【解析】 二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2+t{x}_2{x}_3$ 的矩阵为：

二次型正定的充要条件是矩阵 $A$ 的所有顺序主子式大于零。
一阶主子式： $2>0$ 。
二阶主子式： $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=2\times 1-1\times 1=1>0$ 。
三阶主子式： $\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1& \frac{t}{2}\\ 0& \frac{t}{2}& 1\end{array}\right|=2\times \left|\begin{array}{cc}1& \frac{t}{2}\\ \frac{t}{2}& 1\end{array}\right|-1\times \left|\begin{array}{cc}1& \frac{t}{2}\\ 0& 1\end{array}\right|=2\left(1-\frac{t^2}{4}\right)-1=1-\frac{t^2}{2}$ 。
要求 $1-\frac{t^2}{2}>0$ ，即 $t^2<2$ ，所以 $-\sqrt{2}<t<\sqrt{2}$ 。
因此， $t$ 的取值范围是 $-\sqrt{2}<t<\sqrt{2}$ 。

【答案】 t分布；9

【解析】 由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立且均服从 $N(0,3^2)$ ，则 $X_i\sim N(0,9)$ ， $Y_i\sim N(0,9)$ 。

分子 $S_X={\sum }_{i=1}^9{X}_i$ 服从正态分布， $S_X\sim N(0,9\times 9)=N(0,81)$ ，标准化后 $\frac{S_X}{9}\sim N(0,1)$ 。

分母涉及 $Y_i$ 的平方和：令 $Z_i=\frac{Y_i}{3}\sim N(0,1)$ ，则

故

因此

统计量

由于分子 $\frac{S_X}{9}\sim N(0,1)$ 与分母中的 ${\chi }^2(9)$ 相互独立，故 $U\sim t(9)$ ，即服从自由度为 9 的 t 分布。

【答案】 见解析

【解析】
因为 $\ln Q(x)=\ln A-\frac{1}{x}\ln [\delta K^{-x}+(1-\delta )L^{-x}]$ ，而且

所以

【答案】

【解析】
由于 $u=f(x,y,z)$ 且 $y=y(x)$ 和 $z=z(x)$ 是由方程 $e^{xy}-y=0$ 和 $e^x-xz=0$ 所确定的函数，根据链式法则，有：

需要求 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{dz}{dx}$ 。

对于方程 $e^{xy}-y=0$ ，定义 $F(x,y)=e^{xy}-y$ ，利用隐函数求导法则：

计算偏导数：

代入得：

由方程 $e^{xy}-y=0$ 得 $e^{xy}=y$ ，代入上式：

对于方程 $e^x-xz=0$ ，定义 $G(x,z)=e^x-xz$ ，利用隐函数求导法则：

计算偏导数：

代入得：

由方程 $e^x-xz=0$ 得 $e^x=xz$ ，代入上式：

将 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{dz}{dx}$ 代入链式法则公式，即得所求。

【答案】
(1) 销售量 $x=10-\frac{5}{2}t$
(2) $t=2$

【解析】
(1) 商家的利润函数为 $\pi =(7-0.2x)x-(3x+1)-tx$ 。简化得

这是一个二次函数，开口向下，最大值在顶点处。顶点坐标 $x=-\frac{b}{2a}$ ，其中 $a=-0.2$ , $b=4-t$ ，计算得

因此，商家获最大利润时的销售量为 $x=10-\frac{5}{2}t$ 。

(2) 政府税收总额 $T=t\times x=t\left(10-\frac{5}{2}t\right)=10t-\frac{5}{2}{t}^2$ 。这是一个关于 $t$ 的二次函数，开口向下，最大值在顶点处。顶点坐标 $t=-\frac{b}{2a}$ ，其中 $a=-\frac{5}{2}$ , $b=10$ ，计算得

因此，当 $t=2$ 时，政府税收总额最大。

【答案】 见解析

【解析】
显然 $x>0$ 时， $F(x)$ 连续，又由洛必达法则知

所以 $F(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续。当 $x\in (0,+\infty )$ 时，由于

可见 $F(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调不减。

【答案】
(1) $\overline{O{P}_n}=\frac{1}{2^{n-1}}$
(2) 级数 $\overline{Q_1{P}_1}+\overline{Q_2{P}_2}+\cdots +\overline{Q_n{P}_n}+\cdots$ 的和为 $\frac{4}{3}$

【解析】
先作草图如下：

由 $y=x^2$ ，得 $y^{\prime }=2x$ 。对于任意 $a$ （ $0<a\le 1$ ），抛物线 $y=x^2$ 在点 $(a,a^2)$ 处的切线方程为 $y-a^2=2a(x-a)$ 。且该切线与 $x$ 轴的交点为 $\left(\frac{a}{2},0\right)$ ，故由 $\overline{O{P}_1}=1$ 可见

(II) 由于

利用几何级数求和公式即得

【答案】

【解析】 给定函数 $f(t)$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续，且满足方程：

首先，将积分转换为极坐标。令 $x=r\cos \theta$ ， $y=r\sin \theta$ ，则 $dxdy=rdrd\theta$ ，积分区域为 $r\le 2t$ ， $\theta \in [0,2\pi ]$ 。被积函数为 $f\left(\frac{r}{2}\right)$ ，因此：

令 $u=\frac{r}{2}$ ，则 $r=2u$ ， $dr=2du$ ，积分限变为 $u\in [0,t]$ ：

原方程化为：

令 $F(t)={\int }_0^{t}f(u)udu$ ，则 $F^{\prime }(t)=f(t)t$ 。对原方程两边求导：

整理得一阶线性微分方程：

积分因子为 $\mu (t)=e^{\int -8\pi tdt}=e^{-4\pi t^2}$ 。两边乘以积分因子：

左边为 $\frac{d}{dt}\left(f(t)e^{-4\pi t^2}\right)$ ，故：

积分得：

即：

由初始条件 $f(0)=1$ ，代入得：

所以 $C=1$ ，因此：

验证可知满足原方程。

【答案】 (1)

(2) 矩阵 $Q$ 可逆的充分必要条件是 ${\alpha }^T{A}^{-1}\alpha \ne b$ 。

【解析】 (1) 计算 $PQ$ ：
设

则