卷 2

【答案】

【解析】 积分区域 $D$ 由 $0\le y\le x$ 和 $x^2+y^2\le 2x$ 定义。将圆方程 $x^2+y^2\le 2x$ 化为标准形式： $(x-1{)}^2+y^2\le 1$ ，这是一个圆心在 $(1,0)$ 、半径为 1 的圆。由于被积函数 $\sqrt{x^2+y^2}$ 和区域特性，使用极坐标变换：令 $x=r\cos \theta$ ， $y=r\sin \theta$ ，则 $\sqrt{x^2+y^2}=r$ ，面积元素为 $rdrd\theta$ 。

区域 $D$ 在极坐标下的条件：由 $0\le y\le x$ 得 $0\le \theta \le \pi /4$ ，由圆方程得 $r\le 2\cos \theta$ 。因此，积分变为：

先计算内积分：

代入外积分：

计算 ${\int }_0^{\pi /4}{\cos }^3\theta d\theta$ ：

令 $u=\sin \theta$ ，则 $du=\cos \theta d\theta$ ，有：

代入上下限：

因此，

故积分为 $\frac{10\sqrt{2}}{9}$ 。

【答案】 基础解系为：

【解析】 给定齐次线性方程组：

写出系数矩阵：

对矩阵进行行化简：

1. 第二行减去第一行： $R_2\leftarrow R_2-R_1$ ，得： ​100​100​0−11​001​1−11​​
2. 第二行乘以 -1： $R_2\leftarrow -R_2$ ，得： ​100​100​011​001​111​​
3. 第三行减去第二行： $R_3\leftarrow R_3-R_2$ ，得： ​100​100​010​001​110​​ 得到行阶梯形矩阵。秩为 3，变量个数为 5，故解空间维数为 2。从行阶梯形矩阵得方程： $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_5=0,\\ x_3+x_5=0,\\ x_4=0\end{array}$ 令自由变量 $x_2=a$ , $x_5=b$ （ $a,b$ 为任意实数），则： $x_1=-a-b,x_3=-b,x_4=0$ 解向量为： ​x1​x2​x3​x4​x5​​​=a​−11000​​+b​−10−101​​ 因此，基础解系为： ξ1​=​−11000​​,ξ2​=​−10−101​​ 验证可知，这两个向量线性无关且满足原方程组。