卷 5

【答案】
2

【解析】
首先，计算左边的极限：

其次，计算右边的积分：

使用分部积分法，设 $u=t$ , $dv=e^{t}dt$ ，则 $du=dt$ , $v=e^t$ ，可得：

因此，

计算极限：

因为指数衰减 $e^t$ 主导线性增长 $t-1$ 。所以，

由题设，左右两边相等：

假设 $e^a\ne 0$ ，两边除以 $e^a$ 得：

解得 $a=2$ .

【答案】 $\frac{1}{6}$

【解析】 随机变量 $X$ 的方差计算公式为 $DX=E[X^2]-(EX{)}^2$ 。首先计算期望 $EX$ ：

计算第一个积分：

计算第二个积分：

因此， $EX=-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=0$ 。

由于 $EX=0$ ，方差简化为 $DX=E[X^2]$ 。计算 $E[X^2]$ ：

计算第一个积分：

计算第二个积分：

因此， $E[X^2]=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$ ，故 $DX=\frac{1}{6}$ 。

【答案】

【解析】 为了求解不定积分 $\int (\arcsin x{)}^{2}dx$ ，使用代换法。令 $t=\arcsin x$ ，则 $x=\sin t$ ，且 $dx=\cos tdt$ 。代入积分得：

接下来，计算 $\int t^2\cos tdt$ ，使用分部积分法。令 $u=t^2$ ， $dv=\cos tdt$ ，则 $du=2tdt$ ， $v=\sin t$ 。于是：

再计算 $\int t\sin tdt$ ，再次使用分部积分。令 $u=t$ ， $dv=\sin tdt$ ，则 $du=dt$ ， $v=-\cos t$ 。于是：

代入回原式：

将 $t=\arcsin x$ 代回，注意 $\sin t=x$ ， $\cos t=\sqrt{1-x^2}$ ，得：

验证求导后等于原函数，确认结果正确。

【答案】 见解析

【解析】
考虑函数 $g(x)=xf(x)$ 。由于 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，因此 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。根据拉格朗日中值定理，存在一点 $\xi \in (a,b)$ ，使得

计算 $g(b)-g(a)=bf(b)-af(a)$ ，且 $g^{\prime }(x)=f(x)+x{f}^{\prime }(x)$ ，所以

因此，原等式成立。

【答案】 函数在点 $(2,1)$ 处取得极大值 $4$ ，在点 $(4,2)$ 处取得最小值 $-64$ 。最大值是 $4$ ，最小值是 $-64$ 。

【解析】 函数 $z=f(x,y)=x^{2}y(4-x-y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，因此存在最大值和最小值。区域 $D$ 是由直线 $x+y=6$ 、 $x$ 轴和 $y$ 轴所围成的三角形区域，其中 $x\ge 0$ ， $y\ge 0$ ，且 $x+y\le 6$ 。

步骤 1：求内部临界点
计算一阶偏导数：

令 $f_x=0$ 和 $f_y=0$ ，在内部点（ $x>0,y>0$ ）上，由 $f_y=0$ 得 $4-x-2y=0$ ，即 $x+2y=4$ ；由 $f_x=0$ 得 $8-3x-2y=0$ 。解方程组：

相减得 $2x=4$ ，即 $x=2$ ，代入得 $y=1$ 。临界点为 $(2,1)$ ，函数值 $f(2,1)=4$ 。

步骤 2：检查边界

1. 当 $x=0$ 或 $y=0$ 时， $f(x,y)=0$ 。
2. 当 $x+y=6$ 时，令 $y=6-x$ ，代入函数得： $f(x,6-x)=-2x^2(6-x).$ 定义 $g(x)=-2x^2(6-x)$ ，其中 $x\in [0,6]$ 。求导： $g^{\prime }(x)=-24x+6x^2=6x(x-4).$ 令 $g^{\prime }(x)=0$ ，得 $x=0$ 或 $x=4$ 。计算函数值：

• $x=0$ 时， $g(0)=0$ ；
• $x=4$ 时， $g(4)=-64$ ，对应点 $(4,2)$ ；
• $x=6$ 时， $g(6)=0$ 。

步骤 3：比较函数值

• 内部临界点： $(2,1)$ ， $f=4$ ；
• 边界点： $(0,0)$ 、 $(6,0)$ 、 $(0,6)$ 处 $f=0$ ， $(4,2)$ 处 $f=-64$ 。

因此，函数在点 $(2,1)$ 处取得最大值 $4$ ，在点 $(4,2)$ 处取得最小值 $-64$ 。

【答案】 当 $\lambda \ne 1$ 且 $\lambda \ne -2$ 时，方程组有唯一解；当 $\lambda =1$ 时，方程组有无穷多解；当 $\lambda =-2$ 时，方程组无解。
在方程组有无穷多解时（即 $\lambda =1$ ），全部解为：

【解析】 方程组的系数矩阵为 A=​λ11​1λ1​11λ​​ ，增广矩阵为 (A∣b)=​λ11​1λ1​11λ​λ−3−2−2​​ 。
计算系数矩阵的行列式：

因式分解得 $\det (A)=(\lambda -1{)}^2(\lambda +2)$ 。
当 $\det (A)\ne 0$ ，即 $\lambda \ne 1$ 且 $\lambda \ne -2$ 时，方程组有唯一解。
当 $\lambda =1$ 时，方程组变为：

即一个方程 $x_1+x_2+x_3=-2$ ，故有无穷多解。
当 $\lambda =-2$ 时，方程组变为：

从后两个方程可得 $x_2=x_3$ ，代入第二个方程得 $x_1-x_2=-2$ ，但代入第一个方程得 $x_1-x_2=\frac{5}{2}$ ，矛盾，故无解。
当 $\lambda =1$ 时，导出组（齐次方程组）为 $x_1+x_2+x_3=0$ 。基础解系包含两个线性无关的解向量，取为 ξ1​=​−110​​ 和 ξ2​=​−101​​ 。非齐次方程组的一个特解为 η∗=​−200​​ 。故全部解为特解加上导出组基础解系的线性组合。

【答案】

【解析】 由条件 $A{\alpha }_i=i{\alpha }_i$ 可知， ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 分别是矩阵 $A$ 的特征向量，对应的特征值分别为 $1,2,3$ 。构造矩阵 P=(α1​,α2​,α3​)=​122​2−21​−2−12​​ 和对角矩阵 D=​100​020​003​​ ，则 $A=PD{P}^{-1}$ 。

计算 $P$ 的行列式： $\det (P)=-27\ne 0$ ，故 $P$ 可逆。计算 $P^{-1}$ 得：

计算 $D{P}^{-1}$ ：

最后计算 $A=P\cdot (D{P}^{-1})$ ：

验证： $A{\alpha }_1={\alpha }_1$ ， $A{\alpha }_2=2{\alpha }_2$ ， $A{\alpha }_3=3{\alpha }_3$ ，满足条件。

【答案】 见解析

【解析】
设 $X$ 服从参数为 $2$ 的指数分布，其概率密度函数为 $f_X(x)=2e^{-2x}$ ， $x\ge 0$ 。考虑 $Y=1-e^{-2X}$ 。当 $X=0$ 时， $Y=0$ ；当 $X\to \infty$ 时， $Y\to 1$ ，因此 $Y$ 的取值范围为 $(0,1)$ 。

求 $Y$ 的累积分布函数 $F_Y(y)=P(Y\le y)$ 。对于 $y\in (0,1)$ ，有：

由于 $X$ 的累积分布函数为 $F_X(x)=1-e^{-2x}$ ， $x\ge 0$ ，代入得：

因此，对于 $y\in (0,1)$ ， $F_Y(y)=y$ ，这正是区间 $(0,1)$ 上均匀分布的累积分布函数。对应概率密度函数为 $f_Y(y)=1$ ， $y\in (0,1)$ 。故 $Y$ 在区间 $(0,1)$ 上服从均匀分布。