卷 5

【答案】
$\frac{1}{\sqrt{2}}$

【解析】
考虑前 $n$ 个自然数的和公式： $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ ，以及前 $n-1$ 个自然数的和： $1+2+\cdots +(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}$ 。
原极限化为：

提取公因子 $\sqrt{\frac{n}{2}}$ ：

对 $\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$ 有理化：

代入得：

分子分母同除以 $\sqrt{n}$ ：

当 $n\to \infty$ 时， $\frac{1}{n}\to 0$ ，故 $\sqrt{1+\frac{1}{n}}\to 1$ 和 $\sqrt{1-\frac{1}{n}}\to 1$ ，分母趋近于 $2$ 。
因此极限为：

【答案】 $\frac{3\pi }{2}$

【解析】 设 $u=\frac{3x-2}{3x+2}$ ，则 $y=f(u)$ 。由链式法则，有：

其中 $f^{\prime }(x)=\arcsin x^2$ ，所以 $f^{\prime }(u)=\arcsin (u^2)$ 。

计算 $\frac{du}{dx}$ ：

因此：

在 $x=0$ 处：

所以：

【答案】

【解析】
令 $t=\sqrt{1-x}$ ，则 $t^2=1-x$ ，即 $x=1-t^2$ ，从而 $dx=-2tdt$ 。
代入积分：

已知 $\int \frac{dt}{1+t^2}=\arctan t+C$ ，所以：

代回 $t=\sqrt{1-x}$ ，得：

验证：对结果求导，可得原被积函数，故正确。

【答案】 $\frac{1}{5}$

【解析】 设事件 $A$ 为至少有一件不合格品，事件 $B$ 为两件都是不合格品。需要求条件概率 $P(B|A)$ 。
根据条件概率公式，

由于 $B$ 是 $A$ 的子集，有 $P(B\cap A)=P(B)$ ，
因此

从 10 件产品中任取两件，总组合数为

$P(B)$ 为两件都是不合格品的概率，不合格品有 4 件，故

$P(A)$ 为至少有一件不合格品的概率，可通过 1 减去没有不合格品的概率计算。没有不合格品的概率即两件都是合格品，合格品有 6 件，故

因此

代入得

或者直接计算：已知至少有一件不合格品的组合数为 $45-15=30$ ，其中两件都是不合格品的组合数为 6，故概率为

因此，所求概率为

【答案】
(1) 应生产1000件产品。
(2) 应生产6000件产品。

【解析】
(1) 平均成本为

对 $AC$ 求导得

令 $A{C}^{\prime }(x)=0$ ，有

解得 $x^2=25000\times 40=1000000$ ，故 $x=1000$ 。二阶导数

因此 $x=1000$ 时平均成本最小。

(2) 利润函数为

对 $P$ 求导得

令 $P^{\prime }(x)=0$ ，有

解得 $x=6000$ 。二阶导数

因此 $x=6000$ 时利润最大。

【答案】
对于任意 $x>0$ ，有 $\frac{1}{p}{x}^p+\frac{1}{q}\ge x$ 。

【解析】
考虑函数 $f(x)=\frac{1}{p}{x}^p+\frac{1}{q}-x$ ，其中 $x>0$ 。
对函数求导得

令 $f^{\prime }(x)=0$ ，得

解得 $x=1$ 。
二阶导数为

由于 $p>1$ ，有 $p-1>0$ ，且对于 $x>0$ ，有 $x^{p-2}>0$ ，因此 $f^{\prime \prime }(x)>0$ ，故 $x=1$ 是全局最小值点。
计算函数在 $x=1$ 处的取值：

由已知条件 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，得

因此，对于所有 $x>0$ ，有 $f(x)\ge f(1)=0$ ，即

【答案】
函数 $y=(x+6)e^{\frac{1}{x}}$ 的图形具有以下特征：

• 定义域： $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$
• 垂直渐近线： $x=0$
• 斜渐近线： $y=x+7$ （当 $x\to +\infty$ 和 $x\to -\infty$ ）
• 局部极大值点： $x=-2$ ， $y=4e^{-\frac{1}{2}}\approx 2.426$
• 局部极小值点： $x=3$ ， $y=9e^{\frac{1}{3}}\approx 12.56$
• 拐点： $x=-\frac{6}{13}\approx -0.4615$ ， $y=\frac{72}{13}{e}^{-\frac{13}{6}}\approx 0.634$
• 函数在 $(-\infty ,-2)$ 递增，在 $(-2,0)$ 递减，在 $(0,3)$ 递减，在 $(3,+\infty )$ 递增
• 函数在 $(-\infty ,-\frac{6}{13})$ 凹向下，在 $(-\frac{6}{13},0)$ 和 $(0,+\infty )$ 凹向上

【解析】
为了绘制函数 $y=(x+6)e^{\frac{1}{x}}$ 的图形，首先分析其定义域。函数在 $x=0$ 处未定义，因此定义域为 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ 。

求一阶导数以确定单调性和极值点。
设 $u=x+6$ ， $v=e^{\frac{1}{x}}$ ，则 $u^{\prime }=1$ ， $v^{\prime }=-\frac{1}{x^2}{e}^{\frac{1}{x}}$ 。
由乘积法则， $y^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }=e^{\frac{1}{x}}+(x+6)\left(-\frac{1}{x^2}{e}^{\frac{1}{x}}\right)=e^{\frac{1}{x}}\left(1-\frac{x+6}{x^2}\right)$ 。
简化得 $y^{\prime }=e^{\frac{1}{x}}\frac{x^2-x-6}{x^2}$ 。
令 $y^{\prime }=0$ ，由于 $e^{\frac{1}{x}}>0$ 且 $x^2>0$ （ $x\ne 0$ ），解 $x^2-x-6=0$ ，得 $x=-2$ 或 $x=3$ 。这些是临界点。

求二阶导数以确定凹凸性和拐点。
$y^{\prime }=e^{\frac{1}{x}}\frac{x^2-x-6}{x^2}$ ，
设 $f=e^{\frac{1}{x}}$ ， $g=\frac{x^2-x-6}{x^2}$ ，
则 $f^{\prime }=-\frac{1}{x^2}{e}^{\frac{1}{x}}$ ， $g^{\prime }=\frac{1}{x^2}+\frac{12}{x^3}$ 。
由乘积法则， $y^{\prime \prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}{e}^{\frac{1}{x}}\frac{x^2-x-6}{x^2}+e^{\frac{1}{x}}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{12}{x^3}\right)$ 。
提取公因子 $e^{\frac{1}{x}}$ ，并通分得 $y^{\prime \prime }=e^{\frac{1}{x}}\frac{13x+6}{x^4}$ 。
令 $y^{\prime \prime }=0$ ，解 $13x+6=0$ ，得 $x=-\frac{6}{13}\approx -0.4615$ 。这是拐点。

分析一阶导数的符号：
$y^{\prime }=e^{\frac{1}{x}}\frac{(x-3)(x+2)}{x^2}$ 。
当 $x<-2$ 时， $y^{\prime }>0$ ，函数递增；
当 $-2<x<0$ 时， $y^{\prime }<0$ ，函数递减；
当 $0<x<3$ 时， $y^{\prime }<0$ ，函数递减；
当 $x>3$ 时， $y^{\prime }>0$ ，函数递增。
因此， $x=-2$ 是局部极大值点， $x=3$ 是局部极小值点。

分析二阶导数的符号：
$y^{\prime \prime }=e^{\frac{1}{x}}\frac{13x+6}{x^4}$ 。
当 $x<-\frac{6}{13}$ 时， $y^{\prime \prime }<0$ ，函数凹向下；
当 $-\frac{6}{13}<x<0$ 时， $y^{\prime \prime }>0$ ，函数凹向上；
当 $x>0$ 时， $y^{\prime \prime }>0$ ，函数凹向上。
因此， $x=-\frac{6}{13}$ 是拐点。

求渐近线：
垂直渐近线：当 $x\to 0^{+}$ ， $y\to +\infty$ ；当 $x\to 0^{-}$ ， $y\to 0$ 。故 $x=0$ 是垂直渐近线。
斜渐近线：计算 $m={\lim }_{x\to \infty }\frac{y}{x}={\lim }_{x\to \infty }\frac{(x+6)e^{\frac{1}{x}}}{x}=1$ ，
$b={\lim }_{x\to \infty }(y-mx)={\lim }_{x\to \infty }\left((x+6)e^{\frac{1}{x}}-x\right)=7$ 。
同理，当 $x\to -\infty$ ， $m=1$ ， $b=7$ 。故斜渐近线为 $y=x+7$ 。

计算关键点函数值：
在 $x=-2$ ， $y=4e^{-\frac{1}{2}}\approx 2.426$ ；
在 $x=3$ ， $y=9e^{\frac{1}{3}}\approx 12.56$ ；
在 $x=-\frac{6}{13}$ ， $y=\frac{72}{13}{e}^{-\frac{13}{6}}\approx 0.634$ 。

综上，结合单调性、凹凸性、渐近线和关键点，可绘制函数图形。

【答案】

【解析】 已知 A−1=​111​121​311​​ ，首先计算 $\det (A^{-1})=-2$ ，因此 $\det (A)=\frac{1}{\det (A^{-1})}=-\frac{1}{2}$ 。
由公式 $A^{\ast }=\det (A)A^{-1}$ ，可得 $(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{1}{\det (A)}A$ 。
需要求 $A=(A^{-1}{)}^{-1}$ 。通过计算 $A^{-1}$ 的逆矩阵，得到 A=​−21​021​​−110​25​−1−21​​​ 。
代入公式： (A∗)−1=−1/21​A=−2×A=​10−1​2−20​−521​​ 。
验证：计算 $A^{\ast }\cdot (A^{\ast }{)}^{-1}$ 得到单位矩阵，确认结果正确。

【答案】
$A$ 的列向量组线性无关。

【解析】
已知 $BA=E$ ，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。假设 $A$ 的列向量组线性相关，则存在非零向量 $x\in {\mathbb{R}}^n$ 使得 $Ax=0$ 。左乘 $B$ 得 $B(Ax)=B\cdot 0=0$ 。但 $B(Ax)=(BA)x=Ex=x$ ，因此 $x=0$ ，与假设矛盾。故假设不成立， $A$ 的列向量组线性无关。

【答案】
(1) $a=\frac{5}{3}$ 或 $a=\frac{7}{3}$
(2) $E\left[\frac{1}{X}\right]=\frac{1}{2}\ln 3$

【解析】
(1) 设事件 $A=\{X\le a\}$ ， $B=\{Y>a\}$ 。
由独立性及均匀分布可得：

已知 $P(A\cup B)=\frac{7}{9}$ ，代入得：

展开整理：

解二次方程：

解得 $a=\frac{7}{3}$ 或 $a=\frac{5}{3}$ ，均在 $[1,3]$ 内。

(2) 计算期望：