卷 2

【答案】

【解析】 由方程 $AB+E=A^2+B$ 移项得 $AB-B=A^2-E$ ，即 $B(A-E)=A^2-E$ 。因 $A^2-E=(A-E)(A+E)$ ，故有 $B(A-E)=(A-E)(A+E)$ 。计算 A−E=​00−1​010​100​​ ，其行列式为 $1\ne 0$ ，故 $A-E$ 可逆。两边右乘 $(A-E{)}^{-1}$ 得 $B=A+E$ 。代入 $A$ 得 B=​10−1​020​101​​+​100​010​001​​=​20−1​030​102​​ 。验证：计算 $AB+E$ 和 $A^2+B$ ，两者均等于 ​20−3​070​302​​ ，满足原方程。

【答案】
$2x{\int }_0^{x^2}f(t)dt$

【解析】
考虑莱布尼茨规则： $\frac{d}{dx}{\int }_{a(x)}^{b(x)}g(x,t)dt=g(x,b(x))\cdot b^{\prime }(x)-g(x,a(x))\cdot a^{\prime }(x)+{\int }_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial }{\partial x}g(x,t)dt$ 。
这里， $a(x)=0$ ， $b(x)=x^2$ ， $g(x,t)=(x^2-t)f(t)$ 。
计算得 $b^{\prime }(x)=2x$ ， $a^{\prime }(x)=0$ ， $g(x,b(x))=(x^2-x^2)f(x^2)=0$ ，因此前两项为零。
第三项中， $\frac{\partial }{\partial x}g(x,t)=2xf(t)$ ，故积分为 ${\int }_0^{x^2}2xf(t)dt=2x{\int }_0^{x^2}f(t)dt$ 。
因此，结果为 $2x{\int }_0^{x^2}f(t)dt$ 。
也可通过拆分积分验证：原积分写为 $x^2{\int }_0^{x^2}f(t)dt-{\int }_0^{x^2}tf(t)dt$ ，求导后第一项导数为 $2x{\int }_0^{x^2}f(t)dt+2x^{3}f(x^2)$ ，第二项导数为 $-2x^{3}f(x^2)$ ，相加得 $2x{\int }_0^{x^2}f(t)dt$ 。

【答案】

【解析】 给定的积分为：

首先，分析积分区域。在 $xy$ -平面上，该区域由 $y$ 从 $\frac{1}{4}$ 到 $1$ 和 $x$ 从某种下限到 $\sqrt{y}$ 组成。通过改变积分顺序，发现区域可描述为 $x$ 从 $\frac{1}{2}$ 到 $1$ ， $y$ 从 $x^2$ 到 $x$ 。因此，积分可重写为：

现在计算内层积分。令 $u=\frac{y}{x}$ ，则 $dy=xdu$ ，积分限变为：当 $y=x^2$ 时 $u=x$ ，当 $y=x$ 时 $u=1$ 。于是：

代入外层积分：

计算第一个积分：

所以 $e\times \frac{3}{8}=\frac{3e}{8}$ 。计算第二个积分：

使用分部积分法，令 $u=x$ ， $dv=e^{x}dx$ ，则 $du=dx$ ， $v=e^x$ ：

代入积分限：

因此：

最终：

这就是原积分的值。

\boxed{\dfrac{3e}{8} - \dfrac{\sqrt{e}}{2}}