卷 5

【答案】
$N(0,5)$

【解析】
已知 $X\sim N(-3,1)$ 和 $Y\sim N(2,1)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。设 $Z=X-2Y+7$ 。由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立且服从正态分布，它们的线性组合 $Z$ 也服从正态分布。
计算 $Z$ 的均值：

计算 $Z$ 的方差：

因此， $Z\sim N(0,5)$ 。

【答案】 $\frac{1}{2}$

【解析】 考虑极限 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}{\int }_0^x(1+t^2)e^{t^2-x^2}dt$ 。首先，将指数部分改写为 $e^{t^2-x^2}=e^{t^2}{e}^{-x^2}$ ，于是积分变为：

因此，原极限化为：

计算积分 ${\int }_0^x(1+t^2)e^{t^2}dt$ 。利用关系：

可得：

于是：

代入积分上下限：

代回原式：

因此，极限为：

考虑极限 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}{e}^{-x^2}{\int }_0^x{e}^{t^2}dt$ 。令 $F(x)={\int }_0^x{e}^{t^2}dt$ ，则 $F^{\prime }(x)=e^{x^2}$ 。该极限为 $\frac{\infty }{\infty }$ 型，应用洛必达法则：

故：

代入得原极限为 $\frac{1}{2}$ 。

【答案】

【解析】 首先，利用三角恒等式简化被积函数。注意到 $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ ，因此 ${\sin }^{3}x=8{\sin }^3\frac{x}{2}{\cos }^3\frac{x}{2}$ 。代入原积分：

令 $u=\frac{x}{2}$ ，则 $du=\frac{1}{2}dx$ ，即 $dx=2du$ ，且 $x=2u$ 。代入积分：

现在计算 $\int u\cot u{\csc }^{2}udu$ 。注意到 $\cot u{\csc }^{2}udu=-\frac{1}{2}d({\csc }^{2}u)$ ，因此：

使用分部积分法，令 $v=u$ ， $dw=d({\csc }^{2}u)$ ，则：

所以：

代回原积分：

将 $u=\frac{x}{2}$ 代入：

因此，原积分为：

【答案】

【解析】 给定方程 $x^2+z^2=y\varphi \left(\frac{z}{y}\right)$ ，其中 $\varphi$ 为可微函数，且 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数。定义函数 $F(x,y,z)=x^2+z^2-y\varphi \left(\frac{z}{y}\right)=0$ 。根据隐函数求导法则，有：

首先，计算 $\frac{\partial F}{\partial y}$ ，其中 $x$ 和 $z$ 视为常数：

使用乘积法则：

其中：

所以：

因此：

接下来，计算 $\frac{\partial F}{\partial z}$ ，其中 $x$ 和 $y$ 视为常数：

其中：

所以：

代入隐函数求导公式：

这就是所求的偏导数。

【答案】 证明见解析。

【解析】
构造函数 $f(x)=14+x\ln (x+\sqrt{14+x^2})-\sqrt{14+x^2}$ ，
由 $f^{\prime }(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$ ，
知 $f(x)$ 有唯一的驻点 $x=0$ 。又因为 $f^{\prime \prime }(x)>0$ ，
故 $x=0$ 是极小点，也是最小值点。于是 $f(x)\ge f(0)=0$ ，结论成立。

【答案】
${\lambda }^{10}-10^{10}$

【解析】
矩阵 $A$ 是一个 $10\times 10$ 的伴随矩阵，其形式为：

对于这样的伴随矩阵，其特征多项式 $|A-\lambda E|$ 直接由最后一行元素决定。具体地，

这是因为矩阵 $A$ 对应的多项式为 ${\lambda }^{10}-10^{10}$ ，且 $|A-\lambda E|=|\lambda E-A|$ 由于 $10$ 为偶数。因此，行列式为 ${\lambda }^{10}-10^{10}$ 。

【答案】
特征值的绝对值等于1。

【解析】
设 $A$ 有特征值 $\lambda$ 及对应的特征向量 $x$ ，则

两边取转置得

于是

因此

由于 $x^{T}x\ne 0$ ，得 $|\lambda |=1$ 。

【答案】

【解析】 甲和乙独立进行两次射击，因此 $X$ 和 $Y$ 相互独立。
$X\sim \mathrm{Bin}(2,0.2)$ ， $Y\sim \mathrm{Bin}(2,0.5)$ 。

$X$ 的概率分布：

$Y$ 的概率分布：

由于 $X$ 与 $Y$ 独立，联合概率为

计算可得联合分布如上表所示。
所有概率之和为 1，符合概率分布性质。