2022 年真题

本题主要考查无穷小量的概念。四个命题均与无穷小量等价这个概念有关。

当 $x\to 0$ 时：

• $\alpha (x)\sim \beta (x)$ 意味着 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$
• $o(\alpha (x))$ 满足 ${\lim }_{x\to 0}\frac{o(\alpha (x))}{\alpha (x)}=0$

命题①分析
若 $\alpha (x)\sim \beta (x)$ ，则 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$ ，从而：

即 ${\alpha }^2(x)\sim {\beta }^2(x)$ ，命题①是真命题。

命题②分析
由 ${\alpha }^2(x)\sim {\beta }^2(x)$ 并不能得到 $\alpha (x)\sim \beta (x)$ 。考虑 $\beta (x)=-\alpha (x)$ ，则：

即 ${\alpha }^2(x)\sim {\beta }^2(x)$ ，但：

$\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 只是同阶但并不等价的无穷小量，命题②不是真命题。

命题③分析
要说明 $\alpha (x)-\beta (x)=o(\alpha (x))$ ，只需说明：

计算得：

命题③是真命题。

命题④分析
要说明 $\alpha (x)\sim \beta (x)$ ，只需说明：

计算得：

命题④是真命题。

综上所述，应选 C。

本题主要考查数列极限的性质。

数列 $\{a_n\}$ 具有极限 1，且存在比 1 大的项 $a_1=2$ ，比 1 小的项 $a_2=\sqrt{2}-\frac{1}{2}$ 。由极限的定义可知，在 1 的附近，例如区间 $(0.99,1.01)$ 内，聚集了 $\{a_n\}$ 除有限项以外的所有项。即存在正整数 $N$ ，对 $n>N$ ， $a_n\in (0.99,1.01)$ 。

注意到 $a_1=2>1.01$ ， $a_2=\sqrt{2}-\frac{1}{2}<0.99$ ，故 $a_1$ 、 $a_2$ 为落在该区间外的有限项中的两项。 $\{a_n\}$ 的最值必在没有落入该区间内的有限项中取得。

因此， $\{a_n\}$ 必能取得最大值，也能取得最小值，且最大值不小于 $a_1$ ，最小值不大于 $a_2$ ，应选 A。

本题主要考查变限积分求偏导数。 $F(x,y)$ 是由含参变量的变限积分给出的二元函数，求它的偏导数时，可以先将参变量从被积函数中分离出去，再利用变限积分求导公式计算偏导数。

整理 $F(x,y)$ 的表达式：

分别计算偏导数：

因此：

应选C。

本题主要考查定积分比较大小。三个定积分的积分区间相同，故只需比较被积函数的大小。

通过观察可发现，要比较 $I_1$ 与 $I_2$ 的大小，只需比较 $\frac{x}{2}$ 与 $\ln (1+x)$ 的大小。令 $f(x)=\ln (1+x)-\frac{x}{2}$ ，则 $f(0)=0$ ，且导数为：

当 $x\in (0,1)$ 时， $f^{\prime }(x)>0$ ，因此 $f(x)$ 单调增加，从而 $f(x)>f(0)=0$ ，即：

进一步可得：

因此， $I_2>I_1$ 。

此外，同样的方法不难证明在 $(0,1)$ 内， $\ln (1+x)>x$ 。结合：

因此， $I_3>I_2$ 。

综上所述，应选 A。

本题主要考查矩阵相似的条件。

3阶矩阵 $A$ 的特征值为1，-1，0，这意味着 $A$ 有3个不同的特征值。因此， $A$ 相似于与它具有相同特征值的对角矩阵 $\Lambda$ 。

矩阵相似的定义如下：设 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=B$ ，则称 $B$ 是 $A$ 的相似矩阵，或者说矩阵 $A$ 与 $B$ 相似。

选项B实际上是 $A$ 与 $\Lambda$ 相似的定义，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A=P^{-1}\Lambda P$ ，这等价于 $A=P\Lambda P^{-1}$ 。因此，应选B。

本题主要考查线性方程组的解的情况。本题的方程组的系数矩阵带参数，故需要分情况讨论。注意到系数矩阵行列式与范德蒙德行列式有关。

法一：注意到行列式

当 $a\ne 1$ ， $b\ne 1$ ，且 $a\ne b$ 时， $|A|\ne 0$ ，由克拉默法则可知，此时方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有唯一解。

当 $a=1$ 时，增广矩阵

此时 $r(A,\mathbf{b})\ne r(A)$ ，方程组无解。

同理可得，当 $b=1$ 时， $r(A,\mathbf{b})\ne r(A)$ ，方程组无解。

当 $a=b$ 时，增广矩阵

此时 $r(A,\mathbf{b})\ne r(A)$ ，方程组无解。

综上所述，方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解的情况只有两种可能：有唯一解或无解，应选 D。

分析本题主要考查向量组等价。

向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1$ ， ${\mathbf{\alpha }}_2$ ， ${\mathbf{\alpha }}_3$ 与 ${\mathbf{\alpha }}_1$ ， ${\mathbf{\alpha }}_2$ ， ${\mathbf{\alpha }}_4$ 等价的充分必要条件是：

由这一条件出发，可以考虑对矩阵 $({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4)$ 作初等行变换并讨论秩来得到 $\lambda$ 的取值。

另一方面，也可以通过计算 $|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3|$ 和 $|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_4|$ 来讨论 ${\mathbf{\alpha }}_1$ ， ${\mathbf{\alpha }}_2$ ， ${\mathbf{\alpha }}_3$ 和 ${\mathbf{\alpha }}_1$ ， ${\mathbf{\alpha }}_2$ ， ${\mathbf{\alpha }}_4$ 的秩。当它们均不为0时，这两个向量组都是3维向量组的极大无关组，从而是等价的。此外，还需讨论行列式均为0时两个向量组是否等价。

解

当 $\lambda =1$ 时， ${\mathbf{\alpha }}_1={\mathbf{\alpha }}_2={\mathbf{\alpha }}_3={\mathbf{\alpha }}_4=(1,1,1{)}^T$ ，故 ${\mathbf{\alpha }}_1$ ， ${\mathbf{\alpha }}_2$ ， ${\mathbf{\alpha }}_3$ 与 ${\mathbf{\alpha }}_1$ ， ${\mathbf{\alpha }}_2$ ， ${\mathbf{\alpha }}_4$ 等价。

当 $\lambda \ne 1$ 时，考虑矩阵 $A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4)$ ：

（ $r_i^{\ast }$ 表示对第 $i$ 行作初等行变换后所得新的第 $i$ 行，每作一次初等行变换，加一个*）

由 $A$ 有2阶非零子式 $\left|\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 1& \lambda \end{array}\right|$ ，故 $r(A)\ge 2$ 。另一方面，因为不存在 $\lambda$ 满足 $\lambda +2=(\lambda +1{)}^2=0$ ，所以 $r(A)=3$ 。

$r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)=3$ 当且仅当 $\lambda \ne -2$ ， $r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_4)=3$ 当且仅当 $\lambda \ne -1$ 。

因此，当 $\lambda \ne 1$ 时：

当且仅当 $\lambda \ne -2$ 且 $\lambda \ne -1$ 。

注意到 $\lambda =1$ 也包含在条件 $\lambda \ne -2$ 且 $\lambda \ne -1$ 中，故：

当且仅当 $\lambda \ne -2$ 且 $\lambda \ne -1$ 。

综上所述，应选C。

（法二）

分别计算 $|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3|$ ， $|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_4|$ 。

当 $\lambda \ne 1,-2,-1$ 时， $|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3|$ 与 $|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_4|$ 均不为0。此时， ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 和 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_4$ 均为3维列向量组的极大无关组，从而等价。

当 $\lambda =-2$ 或 $\lambda =-1$ 时， $|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3|$ 与 $|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_4|$ 中一个为0，另一个不为0，说明两向量组的秩不相等，从而不等价。

综上所述， ${\mathbf{\alpha }}_1$ ， ${\mathbf{\alpha }}_2$ ， ${\mathbf{\alpha }}_3$ 与 ${\mathbf{\alpha }}_1$ ， ${\mathbf{\alpha }}_2$ ， ${\mathbf{\alpha }}_4$ 等价当且仅当 $\lambda \ne -2$ 且 $\lambda \ne -1$ 。应选C。

分析本题主要考查方差的性质及常见分布的数字特征。

若随机变量 $Y$ 服从参数为 $n,p$ 的二项分布 $B(n,p)$ ，则 $D(Y)=np(1-p)$ 。

由于 $X\sim N(0,4)$ ， $Y\sim B(3,\frac{1}{3})$ ，故：

• $X$ 的方差 $D(X)=4$
• $Y$ 的方差 $D(Y)=3\times \frac{1}{3}\times (1-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}$

又因为 $X$ 与 $Y$ 不相关，所以协方差 $Cov(X,Y)=0$ 。

由方差的性质可得：

因此，应选 D。

分析本题主要考查随机变量序列依概率收敛的概念、辛钦大数定律以及期望的计算。

依概率收敛：设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 是一个随机变量序列， $a$ 是一个常数。若对于任意正数 $\epsilon$ ，有

则称序列 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 依概率收敛于 $a$ 。

辛钦大数定律：设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 是相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望 $E(X_k)=\mu (k=1,2,\cdots )$ 。作前 $n$ 个变量的算术平均 $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{X}_k$ ，则对于任意 $\epsilon >0$ ，有

辛钦大数定律说明，独立同分布且期望存在的随机变量序列的算术平均依概率收敛到其期望。

由于随机变量序列 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 独立同分布，故 $X_1^2,X_2^2,\cdots ,X_n^2,\cdots$ 独立同分布。根据辛钦大数定律， $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$ 依概率收敛于 $E(X_i^2)$ 。

因此，应选B。

分析本题主要考查事件的独立性与协方差的计算。

二维离散型随机变量的联合分布律设二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 所有可能取的值为 $(x_i,y_j)$ ， $i,j=1,2,\cdots$ 。记 $P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}$ ， $i,j=1,2,\cdots$ ，则由概率的定义有

我们称 $P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}$ ， $i,j=1,2,\cdots$ 为二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的分布律，或称为随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律。

要计算 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ ，需计算 $E(X)$ 、 $E(Y)$ 、 $E(XY)$ 。而计算这些期望需要知道 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律，即确定参数 $a,b$ ，这一点可以由条件"事件 $\{\max \{X,Y\}=2\}$ 与事件 $\{\min \{X,Y\}=1\}$ 相互独立"确定。

记事件 $A=\{\max \{X,Y\}=2\}$ ，事件 $B=\{\min \{X,Y\}=1\}$ 。由于事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，故 $P(AB)=P(A)P(B)$ 。

分别计算 $P(A)$ 、 $P(B)$ 、 $P(AB)$ ：

于是， $0.1=(b+0.1)\times 0.2$ ，解得 $b=0.4$ 。进一步，由联合分布律中各概率之和为1，即 $0.1+0.1+b+a+0.1+0.1=1$ 可得 $a=0.2$ 。

$XY$ 的可能取值为 $-2,-1,0,1,2$ ：

分别计算 $E(X)$ 、 $E(Y)$ 、 $E(XY)$ ：

因此，

应选 B。