2020 年真题

【答案】 $dz{|}_{(0,\pi )}=(\pi -1)dx-dy$

【解析】 计算 $z$ 在点 $(0,\pi )$ 处关于 $x$ 的偏导数：

计算 $z$ 在点 $(0,\pi )$ 处关于 $y$ 的偏导数：

因此， $z$ 在点 $(0,\pi )$ 处的全微分为：

【答案】 $y=x-1$

【解析】 方程两边对 $x$ 求导得：

代入 $x=0$ ， $y=-1$ ，得到：

因此，切线方程为：

【答案】 8

【解析】
由需求函数 $Q(P)=\frac{800}{p+3}-2$ ，可得反需求函数：

利润函数为：

化简后得到：

求导并令导数为零：

解得最优产量：

验证二阶导数：

因此，当 $Q=8$ 时，利润 $L(Q)$ 达到最大值。

【答案】 $V_y=\pi \ln 2-\frac{\pi }{3}$

【解析】
旋转体体积计算如下：

【答案】 $a^4-4a^2$

【解析】

【答案】 $\frac{8}{7}$

【解析】 随机变量 $X$ 的概率分布为

$Y$ 表示 $X$ 被 $3$ 除的余数，则

计算各概率如下：

期望值为：

【答案】 $a=1$ , $b=-\frac{1}{2}e$

【解析】 由等价无穷小的定义可知

进一步推导可得

则若使该极限存在必有 $a+1=2$ ，即 $a=1$ 。可得 $b=-\frac{1}{2}e$ 。

【答案】 函数在点 $\left(\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)$ 处取得极小值 $-\frac{1}{216}$ 。

【解析】
由方程组

计算可得两组解：

进一步计算二阶偏导数：

1. 在点 $(0,0)$ 处

判别式：

因此， $(0,0)$ 不是极值点。

2. 在点 $\left(\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)$ 处

判别式：

因此， $\left(\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)$ 是极小值点，极小值为：

【答案】
（I） $f(x)=e^{-x}\cos 2x$
（II） ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=\frac{1}{5(e^{\pi }-1)}$

【解析】
（I）微分方程

的特征方程为

解得

通解为

由初始条件 $f(0)=1$ 和 $f^{\prime }(0)=-1$ ，得

故特解为

（II）定义

设

利用分部积分：

由于 $e^{-x}\sin 2x\to 0$ （当 $x\to +\infty$ ），且 $\sin 2n\pi =0$ ，第一项为 0，于是

再次分部积分：

第一项在 $x\to +\infty$ 时为 0，在 $x=n\pi$ 处为 $-e^{-n\pi }\cos 2n\pi =-e^{-n\pi }$ ，所以

移项得

因此

最终

【答案】 $\frac{3{\pi }^2}{128}$

【解析】 令 ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy=A$ ，则

于是

计算得

故

接下来计算

转换为极坐标

【答案】 见解析

【解析】
(I) 设 $x=x_0$ 时 $|f(x_0)|=M$ ，由拉格朗日定理：

若 $x_0\in (0,1]$ ，取 $\xi ={\xi }_1$ ，有：

若 $x_0\in (1,2)$ ，取 $\xi ={\xi }_2$ ，有：

(II) 由积分性质可得：

因此，不等式组：

同时成立。

若 $x_0\ne 1$ ，显然 $M=0$ ；若 $x_0=1$ ，则：

当且仅当在区间 $(0,1)$ 和 $(1,2)$ 上 $|f^{\prime }(x)|=M$ 成立。假设 $M\ne 0$ ：

• 若 $f^{\prime }(x)\equiv \pm M$ ，与 $f(0)=f(2)=0$ 矛盾；
• 若 $f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}\pm M& 0<x<1\\ \mp M& 1<x<2\end{array}$ ，则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处不可导，与已知矛盾。

故 $M=0$ 。

【答案】
(I) $a=4$ ， $b=1$
(II) $Q=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ -3& -4\end{array}\right)$

【解析】
(I) 记

其中 $Q$ 是正交矩阵，满足 $Q^{T}AQ=B$ 。由于 $A$ 与 $B$ 相似，它们有相同的特征值。

计算 $A$ 的特征多项式：

得到特征值为 ${\lambda }_1=0$ 和 ${\lambda }_2=5$ 。

计算 $B$ 的特征多项式：

由于 $B$ 的特征值也为 ${\lambda }_1=0$ 和 ${\lambda }_2=5$ ，可得方程组：

结合条件 $a\ge b$ ，解得 $a=4$ ， $b=1$ 。

(II) 对于矩阵 $A$ ：

• 当 ${\lambda }_1=0$ 时， $(0E-A)\mathbf{x}=0$ 的基础解系为 ${\mathbf{\alpha }}_1=(2,1{)}^T$ 。
• 当 ${\lambda }_2=5$ 时， $(5E-A)\mathbf{x}=0$ 的基础解系为 ${\mathbf{\alpha }}_2=(1,-2{)}^T$ 。