2019 年真题

【答案】 $e^{-1}$

【解析】
原式可表示为：

进一步化简为：

【答案】 $(\pi ,-2)$

【解析】
导数和二阶导数计算如下：

令 $y^{\prime \prime }=0$ ，解得 $x=0$ 或 $x=\pi$ 。

当 $x>\pi$ 时， $y^{\prime \prime }>0$ ；当 $x<\pi$ 时， $y^{\prime \prime }<0$ 。因此，点 $(\pi ,-2)$ 为拐点。

【答案】 $\frac{1-2\sqrt{2}}{18}$

【解析】

【答案】 $\frac{2}{5}$

【解析】
解析
当 $P_B=20$ 时，需求函数为：

需求价格弹性公式为：

当 $P_A=10$ 时，弹性值为：

【答案】 a = 1

【解析】
对于线性方程组 $\mathbf{AX}=\mathbf{b}$ 有无穷多解的情况，需要满足秩条件：

因此，行列式必须为零：

解得：

进一步验证：

• 当 $a=1$ 时， $R(\mathbf{A},\mathbf{b})=R(\mathbf{A})=2$ ，满足条件。
• 当 $a=-1$ 时， $R(\mathbf{A},\mathbf{b})>R(\mathbf{A})$ ，不满足条件。

综上，唯一解为：

【答案】 $\frac{2}{3}$

【解析】
概率密度函数为：

期望值计算：

累积分布函数：

求解概率：

【答案】
$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{2x}(2\ln x+2),& x>0\\ e^x(1+x),& x<0\end{array}$ 且 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极大值，极大值为 $f(0)=1$ 。

【解析】
当 $x>0$ 时，导数为：

当 $x<0$ 时，导数为：

左导数和右导数的计算如下：

综上，导函数为：

在 $x=0$ 附近的分析：

• 当 $x>0$ 时， $f^{\prime }(x)<0$ ， $f(x)$ 单调递减；
• 当 $x<0$ 时， $f^{\prime }(x)>0$ ， $f(x)$ 单调递增。

因此， $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极大值，极大值为 $f(0)=1$ 。

【答案】 $1-3f_{11}^{\prime \prime }-f_{22}^{\prime \prime }$

【解析】 给定函数关系式：

计算一阶偏导数：

计算二阶偏导数：

最终组合结果：

【答案】

1. $y(x)=\sqrt{x}{e}^{\frac{x^2}{2}}$
2. 平面区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转成的旋转体积为 $\frac{\pi }{2}\left(e^4-e\right)$

【解析】
(1) 解微分方程：

化简得：

由初始条件 $y(e)=\sqrt{e}$ 可得 $C=0$ ，故解为：

(2) 计算旋转体体积：

【答案】 $A=\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\pi }-1}$

【解析】
所求面积为：

计算过程如下：

最终结果为：

【答案】
(1) 见解析
(2) 当 $n$ 为偶数时， ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\pi }{2}$ ；当 $n$ 为奇数时， ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{2}{\pi }$

【解析】
(1) 令 $x=\sin t$ ，则

由奇偶性分析可得 $\frac{a_{n+1}}{a_n}<1$ ，故 $\{a_n\}$ 单调递减。且对奇数或偶数 $n$ 均有

(2) 按奇偶性讨论极限：

• 若 $n$ 为偶数，

  $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\pi }{2}$$

• 若 $n$ 为奇数，
  

  $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{2}{\pi }$$

【答案】
$a=1$ ，且 ${\mathbf{\beta }}_3=(-k-1){\mathbf{\alpha }}_1+k{\mathbf{\alpha }}_2+2{\mathbf{\alpha }}_3$ ，其中 $k$ 为任意实数。

【解析】

所以 $a=1$ 。

所以 β3​=k​−110​​+​−102​​,k∈R 。

因此， ${\mathbf{\beta }}_3=(-k-1){\mathbf{\alpha }}_1+k{\mathbf{\alpha }}_2+2{\mathbf{\alpha }}_3,k\in \mathbb{R}$ 。

【答案】 （1） $x=3$ , $y=-2$ ； （2） P=​−120​−110​−124​​ 。

【解析】 （1） 由 $A\sim B$ 可得：

解得 $x=3$ ， $y=-2$ 。

（2） 由 $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|=0$ 得 $A$ 和 $B$ 的特征值为 ${\lambda }_1=2$ ， ${\lambda }_2=-1$ ， ${\lambda }_3=-2$ 。

对于 ${\lambda }_1=2$ ，解 $(2E-A)\mathbf{x}=0$ 和 $(2E-B)\mathbf{x}=0$ ，得到 $A$ 和 $B$ 的线性无关特征向量分别为：

对于 ${\lambda }_2=-1$ ，解 $(-E-A)\mathbf{x}=0$ 和 $(-E-B)\mathbf{x}=0$ ，得到：

对于 ${\lambda }_3=-2$ ，解 $(-2E-A)\mathbf{x}=0$ 和 $(-2E-B)\mathbf{x}=0$ ，得到：

设 $P_1=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$ ， $P_2=({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)$ ，则：

从而 $P_2{P}_1^{-1}A{P}_1{P}_2^{-1}=B$ 。

令 $P=P_1{P}_2^{-1}$ ，即：