2018 年真题

【答案】 $y=4x-3$

【解析】 给定函数：

定义域： $\{x\mid x>0\}$

导数：

二阶导数：

令 $y^{\prime \prime }=0$ ，解得 $x_0=\pm 1$ 。由于定义域限制 $x>0$ ，故 $x_0=1$ 。

拐点： $(1,1)$

切线斜率： $y^{\prime }(x_0)=4$

切线方程：

【答案】 $e^x\arccos e^x-\sqrt{1-e^{2x}}+C$

【解析】 要求解积分 $\int e^x\arcsin \sqrt{1-e^{2x}}dx$ ，我们逐步进行：

首先，进行变量替换：

令 $t=e^x$ ，则积分变为：

接下来，进行另一个变量替换 $t=\cos u$ ：

最后，代回原始变量：

解为：

【答案】 $y=C_1+C_2{2}^x-5$

【解析】 ${\Delta }^2{y}_x-y_x=5$ 可以转化为差分方程：

特征方程为：

解得特征根为 $r_1=0$ 和 $r_2=2$ 。

齐次形式的通解为：

由于非齐次项 $f(x)=5$ ，设特解为常数 $y=a$ ，代入原方程得：

综上，通解为：

【答案】 $2e$

【解析】
给定方程：

当 $\Delta x\to 0$ 时取极限：

由此得到微分方程：

其通解为：

代入初始条件 $C=f(0)=2$ ：

最终计算 $x=1$ 处的函数值：

【答案】 2

【解析】
(Aα1​,Aα2​,Aα3​)=A(α1​,α2​,α3​)=(α1​,α2​,α3​)​211​012​0−11​​

${\mathbf{\alpha }}_1$ 、 ${\mathbf{\alpha }}_2$ 、 ${\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关，令 $P=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$ ，则

A 与 B 相似，特征值相等。

【答案】 $\frac{1}{3}$

【解析】 概率计算可分解如下：

简化分子与分母：

代入给定概率进一步简化：

【答案】 a=1, b=1

【解析】 方法1：

方法2：

【答案】 $\frac{\sqrt{3}\pi }{32}-\frac{\sqrt{3}}{16}$

【解析】

【答案】
三段铁丝的长度分别为 $\frac{2\pi }{\pi +4+3\sqrt{3}}$ m、 $\frac{6\sqrt{3}}{\pi +4+3\sqrt{3}}$ m、 $\frac{8}{\pi +4+3\sqrt{3}}$ m 时，所得图形的面积总和最小，最小值为 $\frac{1}{\pi +4+3\sqrt{3}}$ m²。

【解析】
已知条件：

• 铁丝总长度： $2\text{m}$
• 三段长度分别为 $x$ 、 $y$ 、 $z$ ，满足：
  $x+y+z=2$
• 弯成的图形及其面积：
  • 圆：周长 $x$ ，面积 $A_{\text{圆}}=\pi r^2$ ，其中 $r=\frac{x}{2\pi }$
    $A_{\text{圆}}=\pi {\left(\frac{x}{2\pi }\right)}^2=\frac{x^2}{4\pi }$
  • 正三角形：周长 $y$ ，边长 $a=\frac{y}{3}$ ，面积 $A_{\text{正三角形}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$
    $A_{\text{正三角形}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(\frac{y}{3}\right)}^2=\frac{\sqrt{3}{y}^2}{36}$
  • 正方形：周长 $z$ ，边长 $b=\frac{z}{4}$ ，面积 $A_{\text{正方形}}=b^2$
    $A_{\text{正方形}}={\left(\frac{z}{4}\right)}^2=\frac{z^2}{16}$

目标：
求总面积 $S$ 的最小值：

约束条件为 $x+y+z=2$ 。

假设圆的半径为 $x$ ，正方形边长为 $y$ ，正三角形边长为 $z$ ，则有

令

由极值条件得到方程组：

解得最优解为

最小面积为

【答案】

【解析】
由泰勒展开可知：

因此

【答案】 0

【解析】
由 $x_n{e}^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1$ 得 $x_{n+1}=\ln \frac{e^{x_n}-1}{x_n}$ 。

单调性：令 $g(x)=e^x-1-x{e}^x$ ，则 $g^{\prime }(x)=-x{e}^x<0$ （ $x>0$ ），故 $g(x)$ 单调递减。

有界性：由 $e^x-1>x$ （ $x>0$ ）知 $\frac{e^{x_n}-1}{x_n}>1$ ，故 $x_{n+1}=\ln \frac{e^{x_n}-1}{x_n}>0$ ，数列有下界。

根据单调有界定理， ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$ 存在，设为 $a$ ，则 $a{e}^a=e^a-1$ ，解得 $a=0$ 。

综上，数列收敛且 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=0$ 。

【答案】

1. 当 $a\ne 2$ 时， $f(\mathbf{x})=0$ 的解为 $\mathbf{x}=0$ ；当 $a=2$ 时，解为 x=k​−2−11​​ ，其中 $k$ 为任意常数。
2. 当 $a\ne 2$ 时， $f(\mathbf{x})$ 的规范形为 $y_1^2+y_2^2+y_3^2$ ；当 $a=2$ 时，规范形为 $y_1^2+y_2^2$ 。