2017 年真题

【答案】 $\frac{{\pi }^3}{2}$

【解析】
由对称性知

【答案】 $y=C\cdot 2^t+\frac{1}{2}t\cdot 2^t$

【解析】 齐次差分方程 $y_{t+1}-2y_t=0$ 的通解为
$y=C\cdot 2^t$ 。

设非齐次差分方程 $y_{t+1}-2y_t=2^t$ 的特解为
$y_t=at\cdot 2^t$ ，代入方程后解得
$a=\frac{1}{2}$ 。

因此，差分方程 $y_{t+1}-2y_t=2^t$ 的通解为
$y=C\cdot 2^t+\frac{1}{2}t\cdot 2^t$ 。

【答案】 $1+(1-Q)e^{-Q}$

【解析】 平均成本为 $\bar{C}(Q)=1+e^{-Q}$ ，则总成本为

边际成本为

【答案】 $f(x,y)=xy{e}^y$

【解析】 我们有以下微分形式：

因此，可以得到：

由初始条件 $f(0,0)=0$ ，解得 $C=0$ 。最终结果为：

【答案】 2

【解析】 对矩阵 $A$ 进行初等行变换：

所以矩阵 $A$ 的秩为 2。

因为 ${\mathbf{\alpha }}_1$ 、 ${\mathbf{\alpha }}_2$ 、 ${\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关，所以向量组 $A{\mathbf{\alpha }}_1$ 、 $A{\mathbf{\alpha }}_2$ 、 $A{\mathbf{\alpha }}_3$ 的秩等于矩阵 $A$ 的秩，即为 2。

【答案】 $\frac{9}{2}$

【解析】 由概率分布的性质，知 $a+b+\frac{1}{2}=1$ 。

期望值计算如下：

解得 $a=\frac{1}{4}$ ， $b=\frac{1}{4}$ 。

进一步计算二阶矩和方差：

【答案】 $\frac{2}{3}$

【解析】 令 $x-t=u$ ，则 $t=x-u$ ， $dt=-du$ 。于是积分变换为：

接下来计算极限：

由于 $e^x\to 1$ 当 $x\to 0^{+}$ ，可以简化为：

应用洛必达法则，分子和分母分别对 $x$ 求导：

【答案】 $\frac{\pi }{8}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

【解析】

【答案】 $\frac{1}{4}$

【解析】 由定积分的定义

【答案】 (0,1)

【解析】 设 $f(x)=\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}$ ，其中 $x\in (0,1)$ 。则

令 $g(x)=(1+x){\ln }^2(1+x)-x^2$ ，则 $g(0)=0$ ， $g(1)=2{\ln }^{2}2-1$ 。

由于 $g^{\prime \prime }(x)<0$ 在 $(0,1)$ 上成立，所以 $g^{\prime }(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调减少。又因为 $g^{\prime }(0)=0$ ，所以当 $x\in (0,1)$ 时， $g^{\prime }(x)<0$ 。

【答案】
(1) 见解析。
(2) $S(x)=\frac{e^{-x}}{1-x}$

【解析】
由条件 $a_{n+1}=\frac{1}{n+1}(n{a}_n+a_{n-1})$ 可得 $(n+1)a_{n+1}=n{a}_n+a_{n-1}$ 。于是得到：

进一步得到：

展开乘积关系：

因此：

递推求和：

收敛半径分析：

所以收敛半径 $R\ge 1$ 。

对于幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ ，求导得：

计算 $(1-x)S^{\prime }(x)$ ：

得到微分方程：

解此方程得：

由初始条件 $S(0)=a_0=1$ ，得 $C=1$ 。因此：

【答案】
(1) 见解析
(2) x=k​12−1​​+​111​​,k∈R

【解析】
(1) 证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 $A$ 是非零矩阵，即 $r(A)\ge 1$ 。
假若 $r(A)=1$ ，则 $r=0$ 是矩阵的二重特征值，与条件矛盾，因此 $r(A)\ge 2$ 。又因为 ${\mathbf{\alpha }}_3-{\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2=0$ ，即 ${\mathbf{\alpha }}_1$ 、 ${\mathbf{\alpha }}_2$ 、 ${\mathbf{\alpha }}_3$ 线性相关，故 $r(A)<3$ ，因此 $r(A)=2$ 。

(2) 因为 $r(A)=2$ ，所以 $A\mathbf{x}=0$ 的基础解系中只有一个线性无关的解向量。由于 ${\mathbf{\alpha }}_3-{\mathbf{\alpha }}_1+2{\mathbf{\alpha }}_2=0$ ，故

是 $A\mathbf{x}=0$ 的解。
设 $\mathbf{\beta }={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3$ ，则 $A\mathbf{x}=\mathbf{\beta }$ 有特解

因此， $A\mathbf{x}=\mathbf{\beta }$ 的通解为

【答案】
$a=2$
正交矩阵 Q=​3​1​−3​1​3​1​​−2​1​02​1​​6​1​6​2​6​1​​​

【解析】
因为二次型的标准形为 ${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2$ ，也就说明矩阵 $\mathbf{A}$ 有零特征值，所以 $|\mathbf{A}|=0$ ，故 $a=2$ 。