2016 年真题

【答案】 6

【解析】

则

【答案】 $\sin 1-\cos 1$

【解析】
原式可写为

由定积分定义，

计算得

【答案】 $-dx+2dy$

【解析】 将 $x=0,y=1$ 代入题中所给方程, 得 $z=1$ . 方程两边同时对 $x$ 求偏导, 得 $z+(x+1)z_x=2xf(u,v)+x^2{f}_1^{\prime }\cdot (1-z_x)$

将点 $(0,1,1)$ 代入其中得 $z_x{|}_{(0,1)}=-1$ ;

方程两边同时对 $y$ 求偏导, 得 $(x+1)z_y-2y=x^2\left[f_1^{\prime }\cdot (-z_y)+f_2^{\prime }\right]$ ,

将点 $(0,1,1)$ 代入其中得 $z_y{|}_{(0,1)}=2$ ,

因此, $dz{|}_{(0,1)}=-dx+2dy$ .

【答案】 $\frac{1}{3}-\frac{2}{3e}$

【解析】

【答案】 ${\lambda }^4+{\lambda }^3+2{\lambda }^2+3\lambda +4$

【解析】 【解析】按第一列展开

【答案】 $\frac{2}{9}$

【解析】 若取球次数恰好为 4, 则前三次只能取到两种颜色的球, 第四次为第三种颜色, 则 $P=\frac{C_3^2{C}_3^1{C}_1^1{C}_2^1}{3^4}=\frac{2}{9}$ .

【答案】 \[e^{\frac{1}{3}} \]

【解析】
由泰勒展开得

故原式=

【答案】
(1) 需求函数： $Q(P)=1200-10P$
(2) 边际收益：80万元，经济意义：销售第201件商品所得收益为80万元。

【解析】

(1) 由 $\eta =-\frac{dQ/dP}{Q/P}=\frac{P}{120-P}$ 可知

解得 $Q=C(120-P)$ ，由 $Q(0)=1200$ 知 $C=10$ ，故 $Q(P)=1200-10P$ .

(2) 收益函数

故

因此当 $P=100$ 时， $Q=200$ ，此时

其经济意义为销售第 201 件商品所得收益为 80 万元。

【答案】 $f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}4x^2-2x,& 0<x<1\\ 2x,& x\ge 1\end{array}$ ，最小值为 $\frac{1}{4}$

【解析】 当 $x\ge 1$ 时， $f(x)={\int }_0^1(x^2-t^2)dt=x^2-\frac{1}{3}$ ；

当 $0<x<1$ 时， $f(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)dt+{\int }_x^1(t^2-x^2)dt=\frac{4}{3}{x}^3-x^2+\frac{1}{3}$ 。

且 ${\lim }_{x\to 1^{+}}{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}{f}^{\prime }(x)=2$ ，故 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导。

所以

故 $x\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$ ， $f^{\prime }(x)<0;x\in \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$ ， $f^{\prime }(x)>0$ 。因此 $f(x)$ 的最小值为

【答案】 $f(x)=-\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$

【解析】 令 $x-t=u$ ，则

又

故原式可化为

上式两边同时对 $x$ 求导得

可得 $f(0)=-1$ ,

上式两边再对 $x$ 求导得

即 $f^{\prime }(x)-f(x)=e^{-x}$ ,

解得

由 $f(0)=-1$ ，得 $C=-\frac{1}{2}$ ，故

【答案】 收敛域为 $[-1,1]$ ，和函数为 $S(x)=\{\begin{array}{ll}(1+x)\ln (1+x)-(1-x)\ln (1-x),& -1<x<1,\\ 2\ln 2,& x=\pm 1.\end{array}$

【解析】 由 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{(n+2)(2n+3)}{(n+1)(2n+1)}=1$ 得收敛半径 $R=1$ 。

当 $x=\pm 1$ 时，该级数收敛，故收敛域为 $[-1,1]$ 。

和函数 $S(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{(n+1)(2n+1)}{x}^{2n+2}$ 。

(1) 当 $-1<x<1$ 时，

积分得 $S^{\prime }(x)=\int \frac{2}{1-x^2}dx=\int \left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right)dx=\ln \frac{1+x}{1-x}+C_1,$

由 $S(0)=0,S^{\prime }(0)=0$ 知 $C_1=C_2=0,$ 故 $S(x)=(1+x)\ln (1+x)-(1-x)\ln (1-x).$

(2) 当 $x=\pm 1$ 时，

故 $S(x)=\{\begin{array}{ll}(1+x)\ln (1+x)-(1-x)\ln (1-x),& -1<x<1,\\ 2\ln 2,& x=\pm 1.\end{array}$

【答案】
(1) $a=0$
(2) 方程组 $A^{T}A\mathbf{x}=A^T\beta$ 的通解为 x=k​0−11​​+​1−20​​ ，其中 $k$ 为任意常数。

【解析】
(1) (A,β)=​11a+1​101​1−aaa+1​012a−2​​→​100​010​a1−2aa(2−a)​1−1a−2​​ ,

因为方程组 $Ax=\beta$ 无解，则 $r(A)\ne r(A,\beta )$ ，故 $a=0$ 。

(2) 由(1)知，

故方程组 $Ax=\beta$ 的通解为 x=k​0−11​​+​1−20​​ （ $k$ 为任意常数）。

【答案】
(1)

(2)

【解析】
(1) 由

可知 $A$ 的特征值为

将 $A$ 对角化，

当 ${\lambda }_1=0$ 时，由 $(OE-A)X=0$ 得特征向量 X1​=​322​​ ；