2015 年真题

选择题

1

设 ${x_{n}}$ 是数列。下列命题中不正确的是( )

正确答案：D

解析

答案为 D。本题考查数列极限与子列极限的关系。

数列 $x_{n} \to a$ （当 $n \to \infty$ ）的充要条件是：对任意的子列 ${x_{n_{k}}}$ ，均有 $x_{n_{k}} \to a$ （当 $k \to \infty$ ）。因此，选项 A、B、C 均正确。

D 选项错误，因为缺少对子列 $x_{3 n + 2}$ 敛散性的讨论。故选 D。

2

设函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内连续，其 2 阶导函数 $f^{''} (x)$ 的图形如右图所示，则曲线 $y = f (x)$ 的拐点个数为（）

正确答案：C

解析

根据拐点的必要条件，拐点可能是 $f^{''} (x)$ 不存在的点或 $f^{''} (x) = 0$ 的点处产生。因此， $y = f (x)$ 有三个点可能是拐点。

根据拐点的定义，即凹凸性改变的点，二阶导函数 $f^{''} (x)$ 符号发生改变的点即为拐点。从图中可知，拐点个数为 2，故选 C。

3

设 $D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2 x, x^{2} + y^{2} \leq 2 y}$ ，函数 $f (x, y)$ 在 $D$ 上连续，则

D \iint f (x, y) d x d y = ()

正确答案：B

根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域：

D_{1} = {(r, θ) 0 \leq θ \leq \frac{π}{4}, 0 \leq r \leq 2 sin θ}

D_{2} = {(r, θ) \frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2}, 0 \leq r \leq 2 cos θ}

因此，积分表达式为：

D \iint f (x, y) d x d y = \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{2 s i n θ} f (r cos θ, r sin θ) r d r + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{2 c o s θ} f (r cos θ, r sin θ) r d r

故选 B。

4

下列级数中发散的是（）

A . n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}} B . n = 1 \sum \infty \frac{1}{n} C . n = 1 \sum \infty \frac{1}{n n} D . n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

正确答案：C

解析

A为正项级数，因为

n \to \infty lim \frac{\frac{n + 1}{3 ^{n + 1}}}{\frac{n}{3 ^{n}}} = n \to \infty lim \frac{n + 1}{3 n} = \frac{1}{3} < 1

根据正项级数的比值判别法， $n = 1 \sum \infty \frac{n}{3 ^{n}}$ 收敛。

B为正项级数，因为

\frac{1}{n} ln (1 + \frac{1}{n}) □ \frac{1}{n ^{\frac{3}{2}}}

根据 $P$ 级数收敛准则， $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n} ln (1 + \frac{1}{n})$ 收敛。

C中，

n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} + 1}{ln n} = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{ln n} + n = 1 \sum \infty \frac{1}{ln n}

根据莱布尼茨判别法， $n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{l n n}$ 收敛，而 $n = 1 \sum \infty \frac{1}{l n n}$ 发散。因此，根据级数收敛定义， $n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} + 1}{l n n}$ 发散。

D为正项级数，因为

n \to \infty lim \frac{\frac{( n + 1 )!}{( n + 1 ) ^{n + 1}}}{\frac{n !}{n ^{n}}} = n \to \infty lim \frac{( n + 1 )!}{n !} \cdot \frac{n ^{n}}{( n + 1 ) ^{n + 1}} = n \to \infty lim (\frac{n}{n + 1})^{n} = \frac{1}{e} < 1

根据正项级数的比值判别法， $n = 1 \sum \infty \frac{n !}{n ^{n}}$ 收敛。

综上，选 C。

5

设矩阵 $A = 111124 1 a a^{2}$ ， $b = 1 d d^{2}$ 。若集合 $Ω = {1, 2}$ ，则线性方程组 $A x = b$ 有无穷多解的充分必要条件为( )

正确答案：D

【解析】

增广矩阵的初等行变换过程：

(A, b) = 111124 1 a a^{2} 1 d d^{2} \to 100110 1 a - 1 (a - 1) (a - 2) 1 d - 1 (d - 1) (d - 2)

由 $r (A) = r (A, b) < 3$ ，可得 $a = 1$ 或 $a = 2$ ，同时 $d = 1$ 或 $d = 2$ 。

故选（D）。

6

设二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 在正交变换 $x = P y$ 下的标准形为 $2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$ ，其中 $P = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ 。若 $Q = (e_{1}, - e_{3}, e_{2})$ ，则 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 在正交变换 $x = Q y$ 下的标准形为( )

正确答案：A

解析

由 $x = P y$ ，故

f = x^{T} A x = y^{T} (P^{T} A P) y = 2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}

且

P^{T} A P = 200010 00 - 1

又因为

Q = P 100 00 - 1 010 = PC

故有

Q^{T} A Q = C^{T} (P^{T} A P) C = 200 0 - 1 0 001

所以

f = x^{T} A x = y^{T} (Q^{T} A Q) y = 2 y_{1}^{2} - y_{2}^{2} + y_{3}^{2}

选（A）。

7

若 $A, B$ 为任意两个随机事件，则（）

正确答案：C

【解析】由于 $A B \subset A$ ， $A B \subset B$ ，按概率的基本性质，我们有：

P (A B) \leq P (A)

且

P (A B) \leq P (B)

从而

P (A B) \leq P (A) \cdot P (B) \leq \frac{P ( A ) + P ( B )}{2}

选 (C)。

8

设总体 $X \sim B (m, θ)$ ， $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 为来自该总体的简单随机样本， $\overline{X}$ 为样本均值，则

E [i = 1 \sum n (X_{i} - \overline{X})^{2}] =

正确答案：B

解析

根据样本方差的性质：

S^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - \overline{X})^{2}

其期望满足 $E (S^{2}) = D (X)$ ，而总体方差 $D (X) = m θ (1 - θ)$ 。因此：

E [i = 1 \sum n (X_{i} - \overline{X})^{2}] = (n - 1) E (S^{2}) = m (n - 1) θ (1 - θ)

最终答案为 $B$ 。

注
$\overline{X}$ 表示样本均值。上述推导利用了样本方差的期望性质，结合总体方差求解相关期望。这一方法在数理统计中常用于参数估计和数字特征计算。

填空题

9

（填空题）

x \to 0 lim \frac{ln ( cos x )}{x ^{2}} =

10

（填空题）设函数 $f (x)$ 连续， $φ (x) = \int_{0}^{x^{2}} x f (t) d t$ 。若 $φ (1) = 1$ ， $φ^{'} (1) = 5$ ，则 $f (1) =$

11

（填空题）若函数 $z = z (x, y)$ 由方程 $e^{x + 2 y + 3 z} + x yz = 1$ 确定，则 $d z ∣_{(0, 0)} =$

12

（填空题）设函数 $y = y (x)$ 是微分方程 $y^{''} + y^{'} - 2 y = 0$ 的解，且在 $x = 0$ 处 $y (x)$ 取得极值 $3$ ，则 $y (x) =$

13

（填空题）设 $3$ 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $2$ ， $- 2$ ， $1$ ， $B = A^{2} - A + E$ ，其中 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，则行列式 $∣ B ∣ =$ ______。

14

（填空题）设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N (1, 0; 1, 1; 0)$ ，则 $P {X Y - Y < 0} =$

解答题

15

（本题满分 10 分）

设函数 $f (x) = x + a ln (1 + x) + b x sin x$ ， $g (x) = k x^{3}$ 。若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $x \to 0$ 时是等价无穷小，求 $a$ ， $b$ ， $k$ 的值。

16

（本题满分 10 分）

计算二重积分

D \iint x (x + y) d x d y,

其中积分区域 $D$ 定义为

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2, y \geq x^{2}} .

17

（本题满分10分）

为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型。设 $Q$ 为该商品的需求量， $p$ 为价格， $MC$ 为边际成本， $η$ 为需求弹性（ $η > 0$ ）。

(I) 证明定价模型为

p = \frac{MC}{1 - \frac{1}{η}} .

(II) 若该商品的成本函数为 $C (Q) = 1600 + Q^{2}$ ，需求函数为 $Q = 40 - p$ ，试由（Ⅰ）中的定价模型确定此商品的价格。

18

（本题满分10分）

设函数 $f (x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零。若对任意的 $x_{0} \in I$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线与直线 $x = x_{0}$ 及 $x$ 轴所围成区域的面积恒为 4，且 $f (0) = 2$ ，求 $f (x)$ 的表达式。

19

（本题满分10分）

(I) 设函数 $u (x)$ 、 $v (x)$ 可导，利用导数定义证明

[u (x) v (x)]^{'} = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)

(II) 设函数 $u_{1} (x)$ 、 $u_{2} (x)$ 、 $\dots$ 、 $u_{n} (x)$ 可导， $f (x) = u_{1} (x) u_{2} (x) \dots u_{n} (x)$ ，写出 $f (x)$ 的求导公式。

20

(本题满分11分)

设矩阵 $A = a 10 1 a 1 0 - 1 a$ ，且 $A^{3} = O$ 。

(Ⅰ) 求 $a$ 的值；

(Ⅱ) 若矩阵 $X$ 满足 $X - X A^{2} - A X + A X A^{2} = E$ ，其中 $E$ 为3阶单位矩阵，求 $X$ 。

21

(本题满分 11 分)

设矩阵 $A = 0 - 1 1 23 - 2 - 3 - 3 a$ 相似于矩阵 $B = 100 - 2 b 3 001$ 。

(Ⅰ) 求 $a$ 、 $b$ 的值；

(Ⅱ) 求可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{- 1} A P$ 为对角矩阵。

22

（本题满分11分）

设随机变量 $X$ 的概率密度为

f (x) = {2^{- x} ln 2, 0, x > 0, x \leq 0.

对 $X$ 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记 $Y$ 为观测次数。

(Ⅰ) 求 $Y$ 的概率分布；

(Ⅱ) 求 $E (Y)$ 。

23

（本题满分 11 分）

设总体 $X$ 的概率密度为

f (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{1 - θ}, 0, θ ⩽ x ⩽ 1, 其他,

其中 $θ$ 为未知参数。 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 为来自该总体的简单随机样本。

(Ⅰ) 求 $θ$ 的矩估计量；

(Ⅱ) 求 $θ$ 的最大似然估计量。