2014 年真题

选择题

1

设 $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ ，且 $a \neq = 0$ ，则当 $n$ 充分大时有 ()

正确答案：A

根据极限的保号性推论：若 $lim_{n \to \infty} a_{n} = a \neq = 0$ ，则存在 $N > 0$ ，当 $n > N$ 时，

∣ a_{n} ∣ > λ ∣ a ∣, 0 < λ < 1

因此，正确答案为 (A)。

2

下列曲线有渐近线的是

正确答案：C

计算过程如下：

x \to \infty lim \frac{x + sin \frac{1}{x}}{x} = x \to \infty lim 1 + x \to \infty lim \frac{sin \frac{1}{x}}{x} = 1 + 0 = 1

又因为：

x \to \infty lim [x + sin \frac{1}{x} - x] = x \to \infty lim sin \frac{1}{x} = 0

所以函数 $y = x + sin \frac{1}{x}$ 存在斜渐近线 $y = x$ 。

3

设 $P (x) = a + b x + c x^{2} + d x^{3}$ ，当 $x \to 0$ 时，若 $P (x) - tan x$ 是比 $x^{3}$ 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是

正确答案：D

给定多项式 $P (x) = a + b x + c x^{2} + d x^{3}$ ，已知 $a = 0$ 。

计算极限：

x \to 0 lim \frac{P ( x ) - tan x}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{b x + c x ^{2} + d x ^{3} - tan x}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{b + 2 c x - sec ^{2} x}{3 x ^{2}} + d

由极限存在条件：

x \to 0 lim (b + 2 c x - sec^{2} x) = 0 ⟹ b = 1

进一步化简得：

= x \to 0 lim \frac{2 c}{3 x} - \frac{1}{3} + d = 0 ⟹ c = 0, d = \frac{1}{3}

4

设函数 $f (x)$ 具有二阶导数， $g (x) = f (0) (1 - x) + f (1) x$ ，则在区间 $[0, 1]$ 上

正确答案：D

令 $F (x) = g (x) - f (x) = f (0) (1 - x) + f (1) x - f (x)$ ，则 $F (0) = F (1) = 0$ 。

导数为：

F^{'} (x) = - f (0) + f (1) - f^{'} (x), F^{''} (x) = - f^{''} (x)

若 $f^{''} (x) \geq 0$ ，则 $F^{''} (x) \leq 0$ ，故 $F (x)$ 在 $[0, 1]$ 上为凸函数。

由于 $F (0) = F (1) = 0$ ，对于 $x \in [0, 1]$ ，有 $F (x) \geq 0$ ，即 $g (x) \geq f (x)$ 。

因此，本题应选 (D)。

5

行列式

0 a 0 c a 0 c 0 b 0 d 0 0 b 0 d = ?

正确答案：B

由行列式的展开定理展开第一列，

0 a 0 c a 0 c 0 b 0 d 0 0 b 0 d = - a a c 0 b d 0 00 d - c a 0 c b 0 d 0 b 0

进一步计算得到：

= - a d (a d - b c) + b c (a d - b c) = - (a d - b c)^{2}

6

设 $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 、 $α_{3}$ 均为三维向量，则对任意常数 $k$ 、 $l$ ，向量组 $α_{1} + k α_{3}$ 、 $α_{2} + l α_{3}$ 线性无关是向量 $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 、 $α_{3}$ 线性无关的 ()

正确答案：A

(α_{1} + k α_{3}, α_{2} + l α_{3}) = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) 10 k 01 l

若 $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 、 $α_{3}$ 线性无关，则：

r ((α_{1} + k α_{3}, α_{2} + l α_{3})) = r (α_{1}, α_{2}, α_{3}) 10 k 01 l = r 10 k 01 l = 2

故 $α_{1} + k α_{3}$ 与 $α_{2} + l α_{3}$ 线性无关。

举反例令 $α_{3} = 0$ ，则 $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 线性无关，但此时 $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 、 $α_{3}$ 线性相关。

综上所述，对任意常数 $k$ ，向量 $α_{1} + k α_{3}$ 与 $α_{2} + l α_{3}$ 线性无关是向量 $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 、 $α_{3}$ 线性无关的必要非充分条件。

7

设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，且 $P (B) = 0.5$ ， $P (A - B) = 0.3$ ，则 $P (B - A) =$ ()

正确答案：B

已知 $P (A - B) = 0.3$ ， $A$ 与 $B$ 独立， $P (B) = 0.5$ 。

根据概率差公式和独立性：

P (A - B) = P (A) - P (A B) = P (A) - P (A) P (B) = P (A) - 0.5 P (A) = 0.5 P (A) = 0.3

解得 $P (A) = 0.6$ 。

再计算 $P (B - A)$ ：

P (B - A) = P (B) - P (A B) = P (B) - P (A) P (B) = 0.5 - 0.5 \times 0.6 = 0.5 - 0.3 = 0.2

应选 B。

8

设 $X_{1}$ 、 $X_{2}$ 、 $X_{3}$ 为来自正态总体 $N (0, σ^{2})$ 的简单随机样本，则统计量

S = \frac{X _{1} - X _{2}}{2 ∣ X _{3} ∣}

服从的分布为 ()

正确答案：C

$X_{1}$ 、 $X_{2}$ 、 $X_{3}$ 来自总体 $X \sim N (0, σ^{2})$ ，则 $X_{1} - X_{2}$ 与 $∣ X_{3} ∣$ 独立。

X_{1} - X_{2} \sim N (0, 2 σ^{2})

则

\frac{X _{1} - X _{2}}{2 σ} \sim N (0, 1)

同样，

\frac{X _{3}}{σ} \sim N (0, 1)

因此，

\frac{X _{3}^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (1)

利用分布的典型模式得到：

\frac{\frac{X _{1} - X _{2}}{2 σ}}{\frac{X _{3}^{2}}{σ ^{2}} /1} \sim t (1)

即

\frac{X _{1} - X _{2}}{2 ∣ X _{3} ∣} \sim t (1)

填空题

9

（填空题）设某商品的需求函数为 $Q = 40 - 2 p$ （ $p$ 为商品的价格），则该商品的边际收益为

10

（填空题）设 $D$ 是由曲线 $x y + 1 = 0$ 与直线 $y + x = 0$ 及 $y = 2$ 围成的有界区域，则 $D$ 的面积为

11

（填空题）设 $\int_{0}^{a} x e^{2 x} d x = \frac{1}{4}$ ，则 $a =$

12

（填空题）二次积分

\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{1} (\frac{e ^{x^{2}}}{x} - e^{y^{2}}) d x =

13

（填空题）设二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 2 a x_{1} x_{3} + 4 x_{2} x_{3}$ 的负惯性指数是 1，则 $a$ 的取值范围为

14

（填空题）设总体 $X$ 的概率密度为

f (x, θ) = {\frac{2 x}{3 θ ^{2}}, 0, θ < x < 2 θ 其他

$X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的样本，且满足

E (c i = 1 \sum n X_{i}^{2}) = θ^{2}

则 $c =$

解答题

15

（本题满分 10 分）

求极限

x \to + \infty lim \frac{\int _{1}^{x} [ t ^{2} ( e ^{\frac{2}{t}} - 1 ) - t ] d t}{x ^{2} ln ( 1 + \frac{1}{x} )}

16

（本题满分 10 分）

计算区域 $D = {(x, y) ∣ 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0}$ 上的二重积分

\iint_{D} \frac{x sin ( π x ^{2} + y ^{2} )}{x + y} d σ

17

（本题满分 10 分）

设函数 $f (u)$ 具有连续导数，且 $z = f (e^{x} cos y)$ 满足方程：

cos y \frac{\partial z}{\partial x} - sin y \frac{\partial z}{\partial y} = (4 z + e^{x} cos y) e^{x}

已知初始条件为 $f (0) = 0$ 和 $f^{'} (0) = 0$ ，求 $f (u)$ 的表达式。

18

（本题满分 10 分）

求幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) (n + 3) x^{n}$ 的收敛域及和函数。

19

（本题满分 10 分）

设函数 $f (x)$ , $g (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f (x)$ 单调增加， $0 \leq g (x) \leq 1$ ，证明：

(I) $0 \leq \int_{a}^{x} g (t) d t \leq x - a$ ， $x \in [a, b]$ ；

(II) $\int_{a}^{a + \int_{a}^{b} g (t) d t} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x$ 。

20

（本题满分 11 分）

设矩阵 $A = 101 - 2 12 3 - 1 0 - 4 1 - 3$ ， $E$ 为三阶单位阵。

(I) 求方程组 $Ax = 0$ 的一个基础解系；

(II) 求满足 $AB = E$ 的所有矩阵 $B$ 。

21

（本题满分 11 分）

证明 $n$ 阶矩阵

A = 11 ⋮ 1 11 ⋮ 1 \dots \dots ⋱ \dots 11 ⋮ 1

与

B = 00 ⋮ 0 \dots \dots ⋮ \dots 00 ⋱ 0 12 ⋮ n

相似。

22

（本题满分 11 分）

设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P {X = 1} = P {X = 2} = \frac{1}{2}$ ，在给定 $X = i$ 的条件下，随机变量 $Y$ 服从均匀分布 $U (0, i)$ （ $i = 1, 2$ ）。

(I) 求 $Y$ 的分布函数 $F_{Y} (y)$ 。

(II) 求 $E Y$ 。

23

（本题满分 11 分）

设随机变量 $X$ ， $Y$ 的概率分布相同， $X$ 的概率分布为 $P {X = 0} = \frac{1}{3}$ ， $P {X = 1} = \frac{2}{3}$ ，且 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $ρ_{X Y} = \frac{1}{2}$ 。

(I) 求 $(X, Y)$ 的概率分布；

(II) 求 $P {X + Y \leq 1}$