2013 年真题

【答案】 -2

【解析】 由条件可知 $f(1)=0$ ， $f^{\prime }(1)=1$ 。所以

【答案】 $2-2\ln 2$

【解析】 设函数 $z=z(x,y)$ 是由方程 $(z+y{)}^x=xy$ 确定，求 ${\frac{\partial z}{\partial x}|}_{(1,2)}$

设 $F(x,y,z)=(z+y{)}^x-xy$ ，则

当 $x=1$ ， $y=2$ 时，代入方程得 $(z+2{)}^1=1\times 2$ ，即 $z=0$ ，所以

【答案】 \(\ln 2 \)

【解析】

其中 $-{\frac{\ln x}{1+x}|}_1^{+\infty }=0-\left(-\frac{\ln 1}{2}\right)=0$ 。

接下来计算剩余积分：

综上，原积分结果为：

【答案】

【解析】
方程的特征方程为 ${\lambda }^2-\lambda +\frac{1}{4}=0$ ，即 $(2\lambda -1{)}^2=0$ 。解得两个相等实根 ${\lambda }_1={\lambda }_2=\frac{1}{2}$ ，因此方程的通解为

其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数。

【答案】 -1

【解析】 由条件 $A_{ij}+a_{ij}=0$ （ $i,j=1,2,3$ ）可知 $A^{\ast T}=-A$ ，其中 $A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随矩阵。两边取行列式得 $|A^{\ast T}|=|-A|$ ，即 $|A^{\ast }|=(-1{)}^3|A|=-|A|$ 。

又因为 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}=|A{|}^2$ （ $n=3$ ），所以 $|A{|}^2=-|A|$ ，即 $|A|(|A|+1)=0$ ，解得 $|A|=0$ 或 $|A|=-1$ 。

若 $|A|=0$ ，则 $r(A)<3$ 。由 $A^{\ast T}=-A$ 可知 $r(A^{\ast })=r(A)$ ，但 $r(A)<3$ 时 $r(A^{\ast })\le 1$ 。而 $A$ 为非零矩阵，若 $r(A)=1$ ，则 $r(A^{\ast })=1$ ，此时 $A^{\ast T}=-A$ 成立；若 $r(A)=0$ ，则 $A=O$ ，与非零矩阵矛盾。

再考虑特征值。假设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值， $\mathbf{\alpha }$ 是对应的特征向量，则 $A\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }$ 。两边左乘 $A^{\ast }$ 得

即

由 $A^{\ast T}=-A$ 得 $A^{\ast }=-A^T$ ，所以

即

因为 $\mathbf{\alpha }\ne 0$ ，所以 $|A|+{\lambda }^2=0$ 。若 $|A|=0$ ，则 $\lambda =0$ ，即 $A$ 的特征值全为 0，那么 $A^{\ast }=O$ ，从而 $A=O$ ，矛盾。故 $|A|=-1$ 。

【答案】 $2e^2$

【解析】

令 $t=x-2$ ，则 $x=t+2$ ，于是

其中第一项为 $E(T)=0$ （ $T\sim N(0,1)$ ），第二项为 $2\times 1=2$ ，因此

【答案】 $a=7,n=2$

【解析】 当 $x\to 0$ 时，

因此，

由于 $1-\cos x\cos 2x\cos 3x$ 与 $a{x}^n$ 是等价无穷小，所以 $a=7$ ， $n=2$ 。

【答案】 7

【解析】 由微元法可知

由条件 $10V_x=V_y$ ，知 $a=7$ 。

【答案】 $\frac{416}{3}$

【解析】

【答案】

1. 该产品的边际利润为 $y^{\prime }=40-\frac{Q}{500}$ .
2. 当 $P=50$ 时，边际利润为 20，经济意义：当 $P=50$ 时，销量每增加1件，利润增加20元。
3. 使得利润最大的定价 $P$ 为 40.

【解析】
(1) 设利润为 $y$ ，则利润函数为：

边际利润为：

(2) 当 $P=50$ 时，销量为：

此时边际利润为：

经济意义：当 $P=50$ 时，销量每增加1件，利润增加20元。

(3) 令边际利润为零：

对应的价格为：

【答案】 见解析

【解析】 (1) 由 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=2$ ，所以存在 $X>0$ ，当 $x>X$ 时，有 $\frac{3}{2}<f(x)<\frac{5}{2}$ 。又因为 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续，所以 $f(x)$ 在 $[0,X]$ 上连续。

由介值定理，存在 $a\in (0,X)$ ，使得 $f(a)=1$ 。

(2) 函数 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上可导，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,a)$ 使得

【答案】 当 $a=-1$ 且 $b=0$ 时，所有矩阵 $C$ 为

其中 $C_1$ 、 $C_2$ 为任意常数。

【解析】
设 $C=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ x_3& x_4\end{array}\right)$ ，由 $AC-CA=B$ 可化为：

对增广矩阵进行初等行变换：

当 $a=-1$ ， $b=0$ 时，线性方程组有解。此时增广矩阵进一步化简为：

通解为：

即矩阵 $C$ 为：

其中 $C_1$ 、 $C_2$ 为任意常数。

【答案】

1. 二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\top }+\mathbf{\beta }{\mathbf{\beta }}^{\top }$ 。
2. $f$ 在正交变换下的标准形为 $2y_1^2+y_2^2$ 。

【解析】
(1)