2012 年真题

选择题

1

曲线 $y = \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} - 1}$ 的渐近线条数为()

高等数学一元函数微分学曲线的凹凸性、拐点及渐近线

正确答案：C

$lim_{x \to 1} \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} - 1} = \infty$ ，所以 $x = 1$ 为垂直渐近线。

$lim_{x \to \infty} \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} - 1} = 1$ ，所以 $y = 1$ 为水平渐近线。

没有斜渐近线，故渐近线条数为 2，选 C。

2

设函数 $f (x) = (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 2) \dots (e^{n x} - n)$ ，其中 $n$ 为正整数，则 $f^{'} (0) =$

高等数学一元函数微分学导数与微分的计算

正确答案：C

$f^{'} (x)$ 的表达式为：

f^{'} (x) = e^{x} (e^{2 x} - 2) \dots (e^{n x} - n) + (e^{x} - 1) (2 e^{2 x}) \dots (e^{n x} - n) + \dots + (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 2) \dots (n e^{n x})

当 $x = 0$ 时，每一项的求值如下：

第一项： $e^{0} (e^{0} - 2) \dots (e^{0} - n) = 1 \times (- 1) \times (- 2) \dots \times (- (n - 1)) = (- 1)^{n - 1} (n - 1)!$
其余项：由于至少包含一个 $(e^{k x} - k)$ 因子，在 $x = 0$ 时均为 0。

因此，导数值为：

f^{'} (0) = (- 1)^{n - 1} n!

最终答案为 C。

3

设函数 $f (r^{2})$ 连续，则二次积分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{2 c o s θ}^{2} f (r^{2}) r d r = ()

高等数学多元函数积分学交换积分次序与坐标系之间的转化

正确答案：B

极坐标下积分区域转换为直角坐标 X-型区域时，有以下转换关系：

$r = 2 cos θ$ 转换为直角坐标方程 $x^{2} + y^{2} = 2 x$ ，即 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ 。
$r = 2$ 对应直角坐标方程 $x^{2} + y^{2} = 4$ 。

在第一象限内， $y$ 的范围为：

y \in [2 x - x^{2}, 4 - x^{2}]

被积函数为 $f (x^{2} + y^{2})$ ，因此排除以下选项：

含 $x^{2} + y^{2}$ 的选项 (A) 和 (C)。
含负号下限的选项 (D)。

最终选择 (B)。

4

已知级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} n sin \frac{1}{n ^{α}}$ 绝对收敛， $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2 - α}}$ 条件收敛，则 $α$ 的取值范围为()

高等数学无穷级数常数项级数敛散性的判定

正确答案：D

考察绝对收敛和条件收敛的定义及P级数的收敛性。

对于级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} n sin \frac{1}{n ^{α}}$ ，当 $n \cdot \frac{1}{n ^{α}} = \frac{1}{n ^{α - \frac{1}{2}}}$ 时，绝对收敛要求 $α - \frac{1}{2} > 1$ ，即 $α > \frac{3}{2}$ 。

对于级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2 - α}}$ ，条件收敛要求满足：

2 - α \leq 1 且 2 - α > 0

即：

1 \leq 2 - α < 1

解得 $α \leq 2$ 且 $α > 1$ 。

综合以上结果，得到 $\frac{3}{2} < α \leq 2$ ，故选(D)。

5

设 $α_{1} = 00 a_{1}$ , $α_{2} = 01 a_{2}$ , $α_{3} = 1 - 1 a_{3}$ , $α_{4} = - 1 1 a_{4}$ ，其中 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是()

线性代数向量向量组的线性相关性

正确答案：C

计算行列式：

∣ (α_{1}, α_{3}, α_{4}) ∣ = 00 a_{1} 1 - 1 a_{3} - 1 1 a_{4} = a_{1} 1 - 1 - 1 1 = 0

故 $α_{1}, α_{3}, α_{4}$ 线性相关，选 (C)。

6

设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ 是可逆矩阵，满足

P^{- 1} A P = 112,

若 $Q = (α_{1} + α_{2}, α_{2}, α_{3})$ ，则 $Q^{- 1} A Q =$

线性代数矩阵矩阵的相似与相似对角化

正确答案：B

由 $Q = P 110010001$ ，得

Q^{- 1} = 1 - 1 0 010001 P^{- 1}

则

Q^{- 1} A Q = 1 - 1 0 010001 P^{- 1} A P 110010001

代入 $P^{- 1} A P = 112$ ，得

Q^{- 1} A Q = 1 - 1 0 010001 112110010001 = 112

故选 (B)。

7

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从区间 $(0, 1)$ 上的均匀分布，则 $P {X^{2} + Y^{2} \leq 1} =$

概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布

正确答案：D

$X$ 与 $Y$ 独立且服从 $(0, 1)$ 均匀分布，联合概率密度 $f (x, y) = 1$ （ $0 < x < 1$ ， $0 < y < 1$ ）。

定义 $Z = X + Y$ ，则 $Z$ 的取值范围为 $(0, 2)$ 。对于 $0 < z < 1$ ，有：

f_{Z} (z) = \int_{0}^{z} f (x, z - x) d x = \int_{0}^{z} 1 d x = z

对于 $1 \leq z < 2$ ，有：

f_{Z} (z) = \int_{z - 1}^{1} f (x, z - x) d x = \int_{z - 1}^{1} 1 d x = 2 - z

综上， $Z$ 的概率密度函数为：

f_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ z, 2 - z, 0, 0 < z < 1 1 \leq z < 2 其他

8

设 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 为来自总体 $N (1, σ^{2})$ $(σ > 0)$ 的简单随机样本，则统计量

\frac{X _{1} - X _{2}}{∣ X _{3} + X _{4} - 2∣}

的分布为()

概率论与数理统计数理统计的基本概念

正确答案：B

令 $U = \frac{X _{1} - X _{2}}{2 σ} \sim N (0, 1)$ ， $V = \frac{X _{3} + X _{4} - 2}{2 σ} \sim N (0, 1)$ ，且 $U$ 与 $V$ 独立。

则有：

\frac{U}{∣ V ∣/ 1} \sim t (1)

即统计量：

\frac{X _{1} - X _{2}}{∣ X _{3} + X _{4} - 2∣} = \frac{U}{∣ V ∣} \sim t (1)

故选 (B)。

填空题

9

（填空题）

x \to \frac{π}{4} lim (tan x)^{\frac{1}{c o s x - s i n x}}

高等数学函数、极限、连续函数极限的计算

10

（填空题）设函数

f (x) = {ln x, 2 x - 1, x \geq 1 x < 1

$y = f (f (x))$ ，求 $\frac{d y}{d x}_{x = 0}$ 。

高等数学一元函数微分学导数与微分的计算

11

（填空题）设 $z = f (x, y)$ 满足

x \to 0 y \to 1 lim \frac{f ( x , y ) - 2 x + y - 2}{x ^{2} + ( y - 1 ) ^{2}} = 0,

则 $d z ∣_{(0, 1)} =$

高等数学多元函数微分学全微分的概念与计算

12

（填空题）由曲线 $y = \frac{4}{x}$ 和直线 $y = x$ 及 $y = 4 x$ 在第一象限中所围图形的面积为？

高等数学一元函数积分学定积分的应用

13

（填空题）设 $A$ 为 3 阶矩阵， $∣ A ∣ = 3$ ， $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。若交换 $A$ 的第一行与第二行得到矩阵 $B$ ，则 $∣ B A^{*} ∣ =$

线性代数矩阵伴随矩阵与可逆矩阵

14

（填空题）设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为随机事件， $A$ 与 $C$ 互不相容， $P (A B) = \frac{1}{2}$ ， $P (C) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (A B ∣ \overline{C}) =$

概率论与数理统计随机事件和概率

解答题

15

（本题满分 10 分）

计算

x \to 0 lim \frac{e ^{x^{2}} - e ^{2 - 2 c o s x}}{x ^{4}}

高等数学函数、极限、连续函数极限的计算

16

（本题满分 10 分）

计算 $\iint_{D} e^{x} x y d x d y$ ，其中 $D$ 由 $y = x$ 与 $y = \frac{1}{x}$ 所围区域。

高等数学多元函数积分学重积分的计算

17

（本题满分 10 分）

某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为 $10000$ 万元，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 $x$ (件) 和 $y$ (件)，且两种产品的边际成本分别为 $20 + \frac{x}{2}$ (万元/件) 与 $6 + y$ (万元/件)。

求生产甲、乙两种产品的总成本函数 $C (x, y)$ (万元)。
当总产量为 $50$ 件时，甲、乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。
求总产量为 $50$ 件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。

高等数学多元函数微分学多元函数的极值问题

18

（本题满分 10 分）

证明：

x ln \frac{1 + x}{1 - x} + cos x \geq 1 + \frac{x ^{2}}{2}, - 1 < x < 1

高等数学一元函数微分学不等式的证明

19

（本题满分 10 分）

已知函数 $f (x)$ 满足方程 $f^{''} (x) + f^{'} (x) - 2 f (x) = 0$ 及 $f^{'} (x) + f (x) = 2 e^{x}$ 。

求表达式 $f (x)$ ；
求曲线 $y = f (x^{2}) \int_{0}^{x} f (- t^{2}) d t$ 的拐点。

高等数学常微分方程常系数非齐次线性微分方程

20

（本题满分 10 分）

设

A = 100 a a 100 0 a 10 00 a 1, b = 1 - 1 00

(I) 求 $∣ A ∣$

(II) 已知线性方程组 $A x = b$ 有无穷多解，求 $a$ ，并求 $A x = b$ 的通解。

线性代数矩阵伴随矩阵与可逆矩阵

21

（本题满分 10 分）

设矩阵 $A = λ 01 1 λ - 1 1 10 λ$ ，线性方程组 $A x = b$ 存在2个不同的解。

求 $λ$ 的值；
求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。

线性代数线性方程组

22

（本题满分 10 分）

已知随机变量 $X$ , $Y$ 以及 $X Y$ 的分布律如下表所示：

X P 0 \frac{1}{2} 1 \frac{1}{3} 2 \frac{1}{6}

Y P 0 \frac{1}{3} 1 \frac{1}{3} 2 \frac{1}{3}

X Y P 0 \frac{7}{12} 1 \frac{1}{12} 2 \frac{1}{6} 4 \frac{1}{12}

求：

$P (X = 2 Y)$
$COV (X - Y, Y)$
$ρ_{X Y}$

概率论与数理统计随机变量的数字特征协方差与相关系数

23

（本题满分 10 分）

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且均服从参数为 $1$ 的指数分布，定义 $V = min (X, Y)$ ， $U = max (X, Y)$ 。

求：

随机变量 $V$ 的概率密度；
$E (U + V)$ 。

概率论与数理统计随机变量及其分布