2011 年真题

选择题

1

已知当 $x \to 0$ 时， $f (x) = 3 sin x - sin 3 x$ 与 $c x^{k}$ 是等价无穷小，则()

正确答案：C

本题涉及的主要知识点：

当 $x \to 0$ 时， $sin x \sim x$ 。

解题过程如下：

x \to 0 lim \frac{3 sin x - sin 3 x}{c x ^{k}} = x \to 0 lim \frac{3 sin x - sin x cos 2 x - cos x sin 2 x}{c x ^{k}} = x \to 0 lim \frac{sin x ( 3 - cos 2 x - 2 cos ^{2} x )}{c x ^{k}} = x \to 0 lim \frac{3 - cos 2 x - 2 cos ^{2} x}{c x ^{k - 1}} = x \to 0 lim \frac{3 - ( 2 cos ^{2} x - 1 ) - 2 cos ^{2} x}{c x ^{k - 1}} = x \to 0 lim \frac{4 - 4 cos ^{2} x}{c x ^{k - 1}} = x \to 0 lim \frac{4 sin ^{2} x}{c x ^{k - 1}} = x \to 0 lim \frac{4 x ^{2}}{c x ^{k - 1}} = x \to 0 lim \frac{4}{c x ^{k - 3}} = 1

由此可得：

k - 3 = 0, c = 4

故选择 (C)。

2

设函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处可导，且 $f (0) = 0$ ，则

x \to 0 lim \frac{x ^{2} f ( x ) - 2 f ( x ^{3} )}{x ^{3}} = ()

正确答案：B

本题涉及到的主要知识点：

导数的定义 $lim_{x \to 0} \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x} = f^{'} (x_{0})$ 。

在本题中，

x \to 0 lim \frac{x ^{2} f ( x ) - 2 f ( x ^{3} )}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{x ^{2} f ( x ) - x ^{2} f ( 0 ) - 2 f ( x ^{3} ) + 2 f ( 0 )}{x ^{3}} = x \to 0 lim [\frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x} - 2 \frac{f ( x ^{3} ) - f ( 0 )}{x ^{3}}] = f^{'} (0) - 2 f^{'} (0) = - f^{'} (0)

故应选(B)。

3

设 ${u_{n}}$ 是数列，则下列命题正确的是()

正确答案：A

本题涉及到的主要知识点：

级数的基本性质：若级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，按任意方式添加括号后形成的新级数仍收敛，且其和不变。

$\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n - 1} + u_{2 n})$ 是将原级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 按相邻两项添加括号得到的新级数。因此，若原级数收敛，则该级数也收敛，故(A)正确。

4

设 $I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} ln sin x d x$ ，
$J = \int_{0}^{\frac{π}{4}} ln cos x d x$ ，
$K = \int_{0}^{\frac{π}{4}} ln cot x d x$ ，

则它们的大小关系为()

正确答案：B

本题涉及到的主要知识点：

如果在区间 $[a, b]$ 上， $f (x) \leq g (x)$ ，则 $\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x$ （其中 $a < b$ ）。

在本题中，因为 $0 < x < \frac{π}{4}$ ，所以 $sin x < cos x < cot x$ 。由于 $ln$ 是单调递增函数，可以得到：

ln sin x < ln cos x < ln cot x (x \in (0, \frac{π}{4}))

因此：

\int_{0}^{\frac{π}{4}} ln sin x d x < \int_{0}^{\frac{π}{4}} ln cos x d x < \int_{0}^{\frac{π}{4}} ln cot x d x

即 $I$ 。

5

设 $A$ 为 3 阶矩阵，将 $A$ 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 $B$ ，再交换 $B$ 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记

P_{1} = 110010001, P_{2} = 100001010,

则 $A = ()$ 。

正确答案：D

本题涉及的主要知识点：

设 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，对 $A$ 施行一次初等行变换，相当于在 $A$ 的左边乘以相应的 $m$ 阶初等矩阵；对 $A$ 施行一次初等列变换，相当于在 $A$ 的右边乘以相应的 $n$ 阶初等矩阵。

由题意， $A P_{1} = B$ （对 $A$ 的第 2 列加到第 1 列，对应右乘初等矩阵 $P_{1}$ ）， $P_{2} B = E$ （对 $B$ 交换第 2 行与第 3 行，对应左乘初等矩阵 $P_{2}$ ）。

故 $B = P_{2}^{- 1} E = P_{2}$ （因 $P_{2}$ 是对换矩阵， $P_{2}^{- 1} = P_{2}$ ），因此 $A = B P_{1}^{- 1} = P_{2} P_{1}^{- 1}$ 。

故选 (D)。

6

设 $A$ 为 $4 \times 3$ 矩阵， $η_{1}$ 、 $η_{2}$ 、 $η_{3}$ 是非齐次线性方程组 $A x = β$ 的 3 个线性无关的解， $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 为任意常数，则 $A x = β$ 的通解为 ()

正确答案：C

本题涉及的主要知识点：

如果 $ξ_{1}$ 和 $ξ_{2}$ 是 $A x = b$ 的两个解，则 $ξ_{1} - ξ_{2}$ 是 $A x = 0$ 的解。
若n元线性方程组 $A x = b$ 有解，设 $ξ_{0}$ 是其特解， $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{t}$ 是对应齐次方程组 $A x = 0$ 的基础解系，则通解为：
$ξ_{0} + k_{1} η_{1} + k_{2} η_{2} + \dots + k_{t} η_{t}$

在本题中， $η_{1}, η_{2}, η_{3}$ 线性无关，故 $η_{2} - η_{1}$ 和 $η_{3} - η_{1}$ 是 $A x = 0$ 的两个线性无关的解。

由 $3 - r (A) \geq 2$ 得 $r (A) \leq 1$ ，又 $r (A) \geq 1$ ，故 $r (A) = 1$ 。齐次方程基础解系含 $3 - 1 = 2$ 个解向量，因此通解需包含2个自由参数。

$\frac{η _{2} + η _{3}}{2}$ 是特解（因为 $A \frac{η _{2} + η _{3}}{2} = β$ ），故通解为：

\frac{η _{2} + η _{3}}{2} + k_{1} (η_{2} - η_{1}) + k_{2} (η_{3} - η_{1})

因此，正确答案是(C)。

7

设 $F_{1} (x)$ ， $F_{2} (x)$ 为两个分布函数，其相应的概率密度 $f_{1} (x)$ 与 $f_{2} (x)$ 是连续函数，则必为概率密度的是 ()

正确答案：D

本题涉及到的主要知识点：

连续型随机变量的概率密度 $f (x)$ 需满足以下条件：

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1$
$f (x) \geq 0$

在本题中，对于选项(D)：

\int_{- \infty}^{+ \infty} [f_{1} (x) F_{2} (x) + f_{2} (x) F_{1} (x)] d x

= \int_{- \infty}^{+ \infty} F_{2} (x) d F_{1} (x) + \int_{- \infty}^{+ \infty} F_{1} (x) d F_{2} (x) = F_{1} (x) F_{2} (x)_{- \infty}^{+ \infty} - \int_{- \infty}^{+ \infty} F_{1} (x) d F_{2} (x) + \int_{- \infty}^{+ \infty} F_{1} (x) d F_{2} (x) = 1 \times 1 - 0 + 0 = 1

此外，由于概率密度和分布函数均非负，即：

f_{1} (x) F_{2} (x) + f_{2} (x) F_{1} (x) \geq 0

因此，(D)满足概率密度的定义，选(D)。

8

设总体 $X$ 服从参数为 $λ (λ > 0)$ 的泊松分布， $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n \geq 2)$ 为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量

T_{1} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

和

T_{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n - 1 X_{i} + \frac{1}{n} X_{n}

有()

正确答案：D

本题涉及到的主要知识点：

(1) 泊松分布 $X \sim P (λ)$ 的数学期望 $E (X) = λ$ ，方差 $D (X) = λ$ ；

(2) 期望与方差的性质：

$E (c X) = c E (X)$
$E (X + Y) = E (X) + E (Y)$
$D (c X) = c^{2} D (X)$
$D (X + Y) = D (X) + D (Y)$ （X与Y独立）

在本题中，

E (T_{1}) = E (\frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}) = \frac{1}{n} \cdot nλ = λ,

E (T_{2}) = E (\frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n - 1 X_{i} + \frac{1}{n} X_{n}) = \frac{1}{n - 1} \cdot (n - 1) λ + \frac{1}{n} λ = λ + \frac{λ}{n} = λ (1 + \frac{1}{n}),

故 $E (T_{1})$

D (T_{1}) = D (\frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}) = \frac{1}{n ^{2}} \cdot nλ = \frac{λ}{n},

D (T_{2}) = D (\frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n - 1 X_{i} + \frac{1}{n} X_{n}) = \frac{1}{( n - 1 ) ^{2}} \cdot (n - 1) λ + \frac{1}{n ^{2}} λ = \frac{λ}{n - 1} + \frac{λ}{n ^{2}} > \frac{λ}{n} = D (T_{1}),

故选(D)。

填空题

9

（填空题）设 $f (x) = lim_{t \to 0} x (1 + 3 t)^{\frac{x}{t}}$ ，则 $f^{'} (x) =$

10

（填空题）设函数 $z = (1 + \frac{x}{y})^{y}$ ，则 $d z_{(1, 1)} =$ ___

11

（填空题）设 $tan (x + y + \frac{π}{4}) = e^{y}$ ，则在 $(0, 0)$ 处的切线方程为___

12

（填空题）曲线 $y = x^{2} - 1$ ，直线 $x = 2$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转所成的旋转体的体积为___

13

（填空题）设二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{⊤} A x$ 的秩为 1， $A$ 中各行元素之和为 3，则 $f$ 在正交变换 $x = Q y$ 下的标准形为___

14

（填空题）设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N (μ, μ; σ^{2}, σ^{2}; 0)$ ，则 $E (X Y^{2}) =$ ___

解答题

15

（本题满分 10 分）

求极限

x \to 0 lim \frac{1 + 2 sin x - x - 1}{x ln ( 1 + x )}

16

（本题满分 10 分）

已知函数 $f (u, v)$ 具有连续的二阶偏导数， $f (1, 1) = 2$ 是 $f (u, v)$ 的极值， $z = f (x + y, f (x, y))$ 。求 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}_{(1, 1)}$ 。

17

（本题满分 10 分）

求不定积分

\int \frac{arcsin x + ln x}{x} d x

18

（本题满分 10 分）

证明方程

4 arctan x - x + \frac{4 π}{3} - 3 = 0

恰有两个实根。

19

（本题满分 10 分）

设函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上具有连续导数，且满足 $f (0) = 1$ 。已知对于任意 $t \in (0, 1]$ ，有

\iint_{D_{t}} f^{'} (x + y) d x d y = \iint_{D_{t}} f (t) d x d y,

其中积分区域 $D_{t}$ 定义为

D_{t} = {(x, y) ∣ 0 \leq y \leq t - x, 0 \leq x \leq t} .

问题：求函数 $f (x)$ 的表达式。

20

（本题满分 11 分）

设向量组 $α_{1} = (1, 0, 1)^{⊤}$ ， $α_{2} = (0, 1, 1)^{⊤}$ ， $α_{3} = (1, 3, 5)^{⊤}$ 不能由向量组 $β_{1} = (1, 1, 1)^{⊤}$ ， $β_{2} = (1, 2, 3)^{⊤}$ ， $β_{3} = (3, 4, a)^{⊤}$ 线性表出。

求 $a$ 的值；
将 $β_{1}$ ， $β_{2}$ ， $β_{3}$ 用 $α_{1}$ ， $α_{2}$ ， $α_{3}$ 线性表出。

21

（本题满分 11 分）

A 10 - 1 101 = - 1 01 101

(I) 求 $A$ 的所有特征值与特征向量；

(II) 求矩阵 $A$ 。

22

（本题满分 11 分）

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的概率分布分别为

$x$	$1$
$P$	$\frac{2}{3}$

$y$	$- 1$	$0$	$1$
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

P (X^{2} = Y^{2}) = 1

(I) 求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布；

(II) 求 $Z = X Y$ 的概率分布；

(III) 求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $ρ_{X Y}$ 。

	$Y = - 1$	$Y = 0$	$Y = 1$
$X = 0$	0	$\frac{1}{3}$	0
$X = 1$	$\frac{1}{3}$	0	$\frac{1}{3}$

	$Y = - 1$	$Y = 0$	$Y = 1$	边缘概率
$X = 0$	$p_{11}$	$p_{12}$	$p_{13}$	$\frac{1}{3}$
$X = 1$	$p_{21}$	$p_{22}$	$p_{23}$	$\frac{2}{3}$
边缘概率	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

	$Y = - 1$	$Y = 0$	$Y = 1$
$X = 0$	0	$\frac{1}{3}$	0
$X = 1$	$\frac{1}{3}$	0	$\frac{1}{3}$

23

（本题满分 11 分）

设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从区域 $G$ 上的均匀分布，其中 $G$ 是由 $x - y = 0$ 、 $x + y = 2$ 与 $y = 0$ 所围成的三角形区域。

求 $X$ 的概率密度 $f_{X} (x)$ ；（5分）
求条件概率密度 $f_{X ∣ Y} (x ∣ y)$ ；（6分）