2009 年真题

选择题

1

函数 $f (x) = \frac{x - x ^{3}}{s i n π x}$ 的可去间断点的个数为

正确答案：C

当 $x$ 取任何整数时， $f (x)$ 均无意义。因此， $f (x)$ 的间断点有无穷多个。

可去间断点为极限存在的点，所以需要求解 $x - x^{3} = 0$ 的解。因此，可去间断点为 3 个，即 $0$ 、 $\pm 1$ 。

2

当 $x \to 0$ 时， $f (x) = x - sin a x$ 与 $g (x) = x^{2} ln (1 - b x)$ 是等价无穷小，则

正确答案：A

设 $f (x) = x - sin a x$ 和 $g (x) = x^{2} ln (1 - b x)$ 为等价无穷小，则有 $lim_{x \to 0} \frac{f ( x )}{g ( x )} = 1$ 。

利用泰勒展开：

sin a x = a x - \frac{( a x ) ^{3}}{6} + o (x^{3})

因此：

f (x) = x - (a x - \frac{a ^{3} x ^{3}}{6}) + o (x^{3}) = (1 - a) x + \frac{a ^{3} x ^{3}}{6} + o (x^{3})

对于 $ln (1 - b x)$ 的展开：

ln (1 - b x) \sim - b x - \frac{( b x ) ^{2}}{2} - \frac{( b x ) ^{3}}{3} + o (x^{3})

因此：

g (x) = x^{2} (- b x) + o (x^{3}) = - b x^{3} + o (x^{3})

要使极限成立：

x \to 0 lim \frac{( 1 - a ) x + \frac{a ^{3} x ^{3}}{6}}{- b x ^{3}} = 1

需满足分子分母最低阶项次数相同且系数相等，故：

1 - a = 0 \Rightarrow a = 1

此时分子为：

\frac{1}{6} x^{3} + o (x^{3})

分母为：

- b x^{3} + o (x^{3})

因此：

\frac{\frac{1}{6}}{- b} = 1 \Rightarrow b = - \frac{1}{6}

3

使不等式 $\int_{1}^{x} \frac{s i n t}{t} d t > ln x$ 成立的 $x$ 的范围是

正确答案：A

原问题可转化为求函数 $f (x)$ 的取值范围：

f (x) = \int_{1}^{x} \frac{sin t}{t} d t - ln x = \int_{1}^{x} \frac{sin t - 1}{t} d t = - \int_{x}^{1} \frac{1 - sin t}{t} d t > 0

由于 $\frac{1 - s i n t}{t} > 0$ （因为 $t > 0$ 且 $sin t < 1$ 对所有 $t \neq = \frac{π}{2} + 2 kπ$ 成立），当 $x \in (0, 1)$ 时，积分上限 $1 > x$ ，此时被积函数 $\frac{1 - s i n t}{t} > 0$ ，因此积分值为正，即 $f (x) > 0$ 。

综上，正确答案为 (A)。

4

设函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- 1, 3]$ 上的图形为（图形描述略），则函数 $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ 的图形为

正确答案：D

由定积分的几何意义， $F (x)$ 表示 $f (t)$ 从 0 到 $x$ 与 $t$ 轴围成的面积代数和。分析各区间特征：

① 当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) \leq 0$ ，故 $F (x)$ 单调递减且 $F (x) \leq 0$ 。

② 当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) \geq 0$ ，故 $F (x)$ 单调递增。

③ 当 $x \in [2, 3]$ 时， $f (x) = 0$ ，故 $F (x)$ 为常函数。

④ 当 $x \in [- 1, 0]$ 时， $f (x)$ 为线性函数且 $f (x) \leq 0$ ，故 $F (x)$ 为线性递增函数（因积分是累加负面积，斜率为负但 $x$ 从 -1 到 0 时积分值增大）。

⑤ $F (x)$ 连续。

结合选项，(D) 符合上述特征。

5

设 $A, B$ 均为 2 阶矩阵， $A^{*}, B^{*}$ 分别为 $A, B$ 的伴随矩阵，若 $∣ A ∣ = 2, ∣ B ∣ = 3$ ，则分块矩阵

(0 B A 0)

的伴随矩阵为

正确答案：B

对于分块矩阵 $C = (0 B A 0)$ ，其行列式为：

∣ C ∣ = (- 1)^{2 \times 2} ∣ A ∣∣ B ∣ = 2 \times 3 = 6

伴随矩阵 $C^{*}$ 满足 $C^{*} = ∣ C ∣ C^{- 1}$ ，而根据分块矩阵逆的性质：

C^{- 1} = (0 A^{- 1} B^{- 1} 0)

又因为：

A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} A^{*} = \frac{1}{2} A^{*}, B^{- 1} = \frac{1}{∣ B ∣} B^{*} = \frac{1}{3} B^{*}

所以：

C^{*} = 6 (0 \frac{1}{2} A^{*} \frac{1}{3} B^{*} 0) = (0 3 A^{*} 2 B^{*} 0)

因此，正确答案为 (B)。

6

设 $P$ 为 3 阶矩阵， $P^{T} A P = 100010002$ 。若 $P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ ， $Q = (α_{1} + α_{2}, α_{2}, α_{3})$ ，则 $Q^{T} A Q$ 为

正确答案：A

由 $Q = P 110010001$ ，记 $E = 110010001$ ，则：

Q^{T} A Q = (PE)^{T} A (PE) = E^{T} (P^{T} A P) E

代入 $P^{T} A P = diag (1, 1, 2)$ ，计算 $E^{T} diag (1, 1, 2) E$ ：

E^{T} = 100110001, E^{T} diag (1, 1, 2) = 100110002

进一步计算：

100110002 E = 1 \times 1 + 1 \times 1 0 \times 1 + 1 \times 1 0 1 \times 0 + 1 \times 1 0 \times 0 + 1 \times 1 0 + 2 \times 0 00 0 \times 0 + 2 \times 1 0 = 210110002

故选 (A)。

7

设事件 $A$ 与事件 $B$ 互不相容，则

正确答案：D

因为 $A, B$ 互不相容，所以 $P (A B) = 0$ 。

(A)
$P (\overline{A} \overline{B}) = P (\overline{A \cup B}) = 1 - P (A \cup B)$ 。
但 $P (A \cup B)$ 不一定为1，故(A)错误。

(B)
当 $P (A), P (B)$ 不为0时，独立事件满足 $P (A B) = P (A) P (B)$ 。
但互不相容事件未必独立，故(B)错误。

(C)
仅当 $A, B$ 为对立事件时， $P (A) = 1 - P (B)$ 。
但互不相容未必对立，故(C)错误。

(D)
$P (\overline{A} \cup \overline{B}) = P (\overline{A B}) = 1 - P (A B) = 1 - 0 = 1$ ，
故(D)正确。

8

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X$ 服从标准正态分布 $N (0, 1)$ ， $Y$ 的概率分布为 $P {Y = 0} = P {Y = 1} = \frac{1}{2}$ 。记 $F_{Z} (z)$ 为随机变量 $Z = X Y$ 的分布函数，则函数 $F_{Z} (z)$ 的间断点个数为

正确答案：B

由全概率公式，

F_{Z} (z) = P (X Y \leq z) = P (Y = 0) P (X \cdot 0 \leq z) + P (Y = 1) P (X \leq z) = \frac{1}{2} [P (0 \leq z) + Φ (z)]

其中 $Φ (z)$ 为标准正态分布函数。

当 $z < 0$ 时， $P (0 \leq z) = 0$ ，故

F_{Z} (z) = \frac{1}{2} Φ (z)

当 $z \geq 0$ 时， $P (0 \leq z) = 1$ ，故

F_{Z} (z) = \frac{1}{2} (1 + Φ (z))

在 $z = 0$ 处，左极限为

z \to 0^{-} lim F_{Z} (z) = \frac{1}{2} Φ (0) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

右极限为

z \to 0^{+} lim F_{Z} (z) = \frac{1}{2} (1 + Φ (0)) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}

左右极限存在但不相等，故 $z = 0$ 为唯一间断点，选(B)。

填空题

9

（填空题）

x \to 0 lim \frac{e - e ^{c o s x}}{3 1 + x ^{2} - 1} =

10

（填空题）设 $z = (x + e^{y})^{x}$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}_{(1, 0)} =$

11

（填空题）幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e ^{n} - ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} x^{n}$ 的收敛半径为

12

（填空题）设某产品的需求函数为 $Q = Q (P)$ ，其对应价格 $P$ 的弹性 $ξ_{P} = 0.2$ ，则当需求量为 $10000$ 件时，价格增加 $1$ 元会使产品收益增加

13

（填空题）设 $α = (1, 1, 1)^{⊤}$ ， $β = (1, 0, k)^{⊤}$ ，若 $α β^{⊤}$ 的特征值为 $3, 0, 0$ ，则 $k =$ ______

14

（填空题）设 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 为来自二项分布总体 $B (n, p)$ 的简单随机样本， $\overline{X}$ 和 $S^{2}$ 分别为样本均值和样本方差，记统计量 $T = \overline{X} - S^{2}$ ，则 $E (T) =$ __________

解答题

15

（本题满分9分）

求二元函数 $f (x, y) = x^{2} (2 + y^{2}) + y ln y$ 的极值。

16

（本题满分10分）

计算不定积分 $\int ln (1 + \frac{1 + x}{x}) d x (x > 0)$

17

（本题满分10分）

计算二重积分

\iint_{D} (x - y) d x d y

其中积分区域 $D$ 定义为

D = {(x, y) ∣ (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} \leq 2, y \geq x}

18

（本题满分11分）

(I)
证明拉格朗日中值定理：
若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可导，则 $\exists ξ \in (a, b)$ ，使得

f (b) - f (a) = f^{'} (ξ) (b - a)

(II)
证明：
若函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处连续，在 $(0, σ)$ （ $σ > 0$ ）内可导，且

x \to 0^{+} lim f^{'} (x) = A

则 $f_{+}^{'} (0)$ 存在，且

f_{+}^{'} (0) = A

19

（满分 10 分）

设曲线 $y = f (x)$ ，其中 $f (x)$ 是可导函数，且 $f (x) > 0$ 。已知曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = 0$ 、 $x = 1$ 及 $x = t$ （ $t > 1$ ）所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 $π t$ 倍。求该曲线的方程。

20

（本题满分 11 分）

(I)

求满足

$A ξ_{2} = ξ_{1}$ ，
$A^{2} ξ_{3} = ξ_{1}$

的所有向量 $ξ_{2}$ 、 $ξ_{3}$ ，其中

A = 1 - 1 0 - 1 1 - 4 - 1 1 - 2, ξ_{1} = - 1 1 - 2

(II)

对 (I) 中的任意向量 $ξ_{2}$ 、 $ξ_{3}$ ，证明 $ξ_{1}$ 、 $ξ_{2}$ 、 $ξ_{3}$ 线性无关。

21

（本题满分 11 分）

设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = a x_{1}^{2} + a x_{2}^{2} + (a - 1) x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{3} - 2 x_{2} x_{3}

(I) 求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值。

(II) 若二次型 $f$ 的规范形为 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ ，求 $a$ 的值。

22

（本题满分 11 分）

设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为

f (x, y) = {e^{- x} 0 0 < y < x, 其他 .

(I) 求条件概率密度 $f_{Y ∣ X} (y ∣ x)$ 。

(II) 求条件概率 $P [X \leq 1∣ Y \leq 1]$ 。

23

（本题满分 11 分）

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回地从袋中取两次，每次取一个。以 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。

(I) 求 $P [X = 1 ∣ Z = 0]$ ；

(II) 求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布。