2024 年真题

$f(x)$ 的所有间断点为0,1,2.且不难得到

所以 $f(x)$ 的第一类间断点只有 $x=1$ ，答案选择 C。

$f^{\prime }(x)=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2t{e}^{t^2}}{3t^2}=\frac{2e^{t^2}}{3t}$ ，当 $x\to +\infty$ 时， $t\to 1$ （由 $x=1+t^3=2+\frac{2}{x}$ ，当 $x$ 很大时， $\frac{2}{x}$ 趋近于 0，故 $t^3\approx 1$ ， $t\approx 1$ ），则 $f^{\prime }(2)=f^{\prime }(x){|}_{t=1}=\frac{2e^1}{3\times 1}=\frac{2e}{3}$ 。

选B.

令 $h(x)={\int }_0^x\sin t^{3}dt$ ，因为 $\sin (-t{)}^3=-\sin t^3$ ，所以 $h(-x)={\int }_0^{-x}\sin t^{3}dt=-{\int }_0^x\sin (-u{)}^{3}du={\int }_0^x\sin u^{3}du=h(x)$ ，故 $h(x)$ 是偶函数。则 $f(x)=h(\sin x)$ ，由于 $\sin (-x)=-\sin x$ ，但 $h$ 是偶函数，所以 $f(-x)=h(\sin (-x))=h(-\sin x)=h(\sin x)=f(x)$ ，故 $f(x)$ 为偶函数。

而奇函数的原函数若在 0 处有定义则为偶函数，偶函数的原函数为奇函数加上常数。 $g(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ ，因为 $f(x)$ 是偶函数，所以 $g(-x)={\int }_0^{-x}f(t)dt=-{\int }_0^{x}f(-u)du=-{\int }_0^{x}f(u)du=-g(x)$ ，故 $g(x)$ 为奇函数，选D.

对于A和C选项可取反例 $a_n=2^{(-1{)}^n}$ ，当 $n$ 为偶数时， $a_n=2^1=2$ ；当 $n$ 为奇数时， $a_n=2^{-1}=\frac{1}{2}$ ，数列 $\{a_n\}$ 发散。此时 $a_n+\frac{1}{a_n}$ 为 $2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ 和 $\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$ ，数列收敛，故A、C错误；对于B选项可取反例 $a_n=(-1{)}^n$ ，此时 $a_n-\frac{1}{a_n}=(-1{)}^n-(-1{)}^n=0$ ，数列收敛，故B错误；

正确答案选 D，实际上函数 $f(x)=e^x-\frac{1}{e^x}$ 是 $(-\infty ,+\infty )$ 上的单调增的连续函数，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上存在连续的反函数 $g(x)$ 。设 $b_n=e^{a_n}-\frac{1}{e^{a_n}}$ ，则 $a_n=g(b_n)$ 。如果 $\{b_n\}$ 收敛于 $b$ ，则 $a_n=g(b_n)$ 收敛于 $g(b)$ ，与 $\{a_n\}$ 发散矛盾，所以 $\{b_n\}$ 发散。

在点 $(0,0)$ 处，
$f_x^{\prime }(0,0)={\lim }_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{0-0}{x}=0$ ，
同理 $f_y^{\prime }(0,0)=0$ 。

计算可微性：

所以 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微。

而当 $xy\ne 0$ 时，
$f_x^{\prime }(x,y)=2x\sin \frac{1}{xy}-\frac{x^2+y^2}{x^{2}y}\cos \frac{1}{xy}$ 。

取路径 $y=x$ ，当 $(x,y)\to (0,0)$ 时，

其中 $\frac{2}{x}\cos \frac{1}{x^2}$ 极限不存在，故 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}{f}_x^{\prime }(x,y)$ 不存在，即偏导数不连续，选 $C$ 。

对于命题(1)，取 $f(x)=\frac{1}{1+x}$ ，则 $f^2(x)=\frac{1}{(1+x{)}^2}$ ， ${\int }_0^{+\infty }{f}^2(x)dx$ 收敛，但 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx=\ln (1+x){|}_0^{+\infty }$ 发散，所以(1)错误。

对于命题(2)，如果极限 ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^{p}f(x)$ 存在，设为 $M$ ，则存在 $X>0$ ，当 $x>X$ 时， $|x^{p}f(x)|\le |M|+1$ （利用极限的局部有界性），即 $f(x)\le \frac{|M|+1}{x^p}$ 。因为 $p>1$ ， ${\int }_X^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx$ 收敛，由比较判别法可知 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 收敛，故(2)正确。

对于命题(3)，取 $f(x)=\frac{1}{(2+x){\ln }^2(2+x)}$ ，则 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 收敛（可通过换元 $t=\ln (2+x)$ 验证），但对于任意 $p>1$ ， ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^{p}f(x)={\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^p}{(2+x){\ln }^2(2+x)}$ 。当 $x$ 很大时， $2+x\approx x$ ，则表达式近似为 $\frac{x^{p-1}}{{\ln }^{2}x}$ 。当 $p>1$ 时， $x^{p-1}$ 趋于无穷， ${\ln }^{2}x$ 增长远慢于多项式，故极限为 $+\infty$ ，不存在，所以(3)错误。

综上，正确的个数是1，选B。

【解析】由于 PTAP2=​a+2c02c​0b0​c0c​​ ，所以

代入矩阵得：

因此，正确答案为 C。

首先， $A$ 不可逆且 $A\ne O$ ，否则 $A=A^{\ast }$ 矛盾。

于是 $A{A}^{\ast }=|A|E=O$ ，即 $A^2=O$ ，所以 $r(A)+r(A)\le 4\Rightarrow r(A)\le 2$ 。

当 $r(A)=1$ 时，取 A=​0000​0000​0000​1000​​ 满足题意，选 D。