2021 年真题

因为

故当 $x\to 0$ 时， ${\int }_0^{x^2}\left(e^{t^3}-1\right)dt$ 是 $x^7$ 的高阶无穷小。

因此应选 (C)。

因 ${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x}=1=f(0)$ ，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。

又

故应选 (D)。

设圆柱体的底面半径为 $r$ ，高为 $h$ ，则圆柱体的体积 $V=\pi r^{2}h$ ，圆柱体的表面积 $S=2\pi r^2+2\pi rh$ ，从而

将 $r=10$ ， $h=5$ ， $r^{\prime }(t)=2$ ， $h^{\prime }(t)=-3$ 分别代入，解得

故应选 (C)。

因 $f(x)=ax-b\ln x$ ，故 $f^{\prime }(x)=a-\frac{b}{x}$ 。

又因 $a>0$ ，若 $b\le 0$ ，则 $f^{\prime }(x)>0$ ， $f(x)$ 严格单调递增，这与 $f(x)$ 有 $2$ 个零点矛盾，故 $b>0$ 。

$f^{\prime }(x)=a-\frac{b}{x}$ ，令 $f^{\prime }(x)=0$ ，解得 $x=\frac{b}{a}$ 。 $f^{\prime \prime }(x)=\frac{b}{x^2}>0$ ，因 $f(x)$ 有 $2$ 个零点，故

即 $b\left(1-\ln \frac{b}{a}\right)<0$ ，从而 $1-\ln \frac{b}{a}<0$ ，故 $\ln \frac{b}{a}>1$ ，得 $\frac{b}{a}>e$ ，故应选 (A)。

由题意知 $f(x)=\sec x=\frac{1}{\cos x}=1+ax+b{x}^2+o(x^2)$ ，故

由系数对应得

即

故应选 (D)。

令 $u=x+1$ ， $v=e^x$ ，则 $f(u,v)=u^2\ln v$ ，从而 $f(x,y)=x^2\ln y$ 。

于是有：

则 $f_x^{\prime }(1,1)=0$ ， $f_y^{\prime }(1,1)=1$ ，得 $df(1,1)=dy$ ，故应选 (C)。

将区间 $[0,1]$ 上均分成 $n$ 份，取 ${\xi }_k$ 为第 $k$ 个小区间的中点，则

因此，

故应选 (B)。

函数表达式为：

对应的矩阵为：

计算特征多项式：

特征值为 $3$ 、 $1$ 、 $-1$ ，故正惯性指数为 $2$ ，负惯性指数为 $1$ ，应选 (B)。

因为 ${\alpha }_1$ 、 ${\alpha }_2$ 、 ${\alpha }_3$ 可由 ${\beta }_1$ 、 ${\beta }_2$ 线性表示，所以存在矩阵 $P$ ，使得 $A=BP$ ，于是 $P^T{B}^T=A^T$ 。

若 $B^{T}x=0$ ，则 $P^T{B}^{T}x=0$ ，即 $A^{T}x=0$ ，所以 $B^{T}x=0$ 的解都是 $A^{T}x=0$ 的解，故应选 (D)。

法1：验证

故应选 (C)。

法2：对 $(A,E)$ 作行变换：

得

此时

对 $(B,E)$ 作列变换得

使

即 $PAQ$ 为对角矩阵，故应选 (C)。