2020 年真题

选择题

1

当 $x \to 0^{+}$ 时，下列无穷小量中最高阶的是：

正确答案：D

【解析】
A. $\int_{0}^{x} (e^{t^{2}} - 1) d t \sim \int_{0}^{x} t^{2} d t = \frac{x ^{3}}{3}$ ；

B. $\int_{0}^{x} ln (1 + t^{3}) d t \sim \int_{0}^{x} t^{\frac{3}{2}} d t = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ ；

C. $\int_{0}^{s i n x} sin t^{2} d t \sim \int_{0}^{x} t^{2} d t = \frac{1}{3} x^{3}$ ；

D. $\int_{0}^{1 - c o s x} sin^{3} t d t \sim \int_{0}^{\frac{1}{2} x^{2}} t^{\frac{3}{2}} d t = \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}_{0}^{\frac{1}{2} x^{2}} = \frac{2}{5} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{5}{2}} \cdot x^{5}$ 。

2

函数 $f (x) = \frac{e ^{\frac{1}{x - 1}} l n ∣1 + x ∣}{( e ^{x} - 1 ) ( x - 2 )}$ 的第二类间断点的个数为

正确答案：C

【解析】

首先，计算当 $x \to 0$ 时的极限：

x \to 0 lim f (x) = x \to 0 lim \frac{e ^{\frac{1}{e ^{x} - 1}} ln ∣1 + x ∣}{( e ^{x} - 1 ) ( x - 2 )} = x \to 0 lim \frac{e ^{\frac{1}{x}} x}{x ( - 2 )} = - \frac{1}{2 e} .

接下来，计算当 $x \to 1^{+}$ 时的极限：

x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{+} lim \frac{e ^{\frac{1}{e ^{x} - 1}} ln ∣1 + x ∣}{( e ^{x} - 1 ) ( x - 2 )} = x \to 1^{+} lim \frac{e ^{\frac{1}{e ^{x} - 1}} ln ∣1 + 1∣}{( e ^{x} - 1 ) ( 1 - 2 )} = \infty.

然后，计算当 $x \to 2$ 时的极限：

x \to 2 lim f (x) = x \to 2 lim \frac{e ^{\frac{1}{e ^{x} - 1}} ln ∣1 + x ∣}{( e ^{x} - 1 ) ( x - 2 )} = x \to 2 lim \frac{e ^{\frac{1}{e ^{2} - 1}} ln ∣1 + 2∣}{( e ^{2} - 1 ) ( x - 2 )} = \infty.

最后，计算当 $x \to - 1$ 时的极限：

x \to - 1 lim f (x) = x \to - 1 lim \frac{e ^{\frac{1}{e ^{x} - 1}} ln ∣1 + x ∣}{( e ^{x} - 1 ) ( x - 2 )} = \infty.

综上，共有 3 个极限为无穷大，因此选 (C)。

3

\int_{0}^{1} \frac{arcsin x}{x ( 1 - x )} d x =

正确答案：A

【解析】令 $x = sin t$ ，则 $x = sin^{2} t$ ， $d x = 2 sin t cos t d t$ 。

于是有：

\int_{0}^{1} \frac{arcsin x}{x ( 1 - x )} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{t}{sin t cos t} \cdot 2 sin t cos t d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 t d t

计算该积分：

\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 t d t = t^{2}_{0}^{\frac{π}{2}} = (\frac{π}{2})^{2} - 0 = \frac{π ^{2}}{4}

因此，原积分值为 $\frac{π ^{2}}{4}$ 。

4

已知函数 $f (x) = x^{2} ln (1 - x)$ ，当 $n \geq 3$ 时， $f^{(n)} (0) =$

正确答案：A

【解析】
由展开式

ln (1 - x) = - n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n},

则

x^{2} ln (1 - x) = - n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n + 2}}{n} = - n = 3 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n - 2} .

故

f^{(n)} (0) = - \frac{n !}{n - 2} .

5

设函数 $f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ x y, x, y, x y \neq = 0 y = 0 x = 0$ ，判断以下结论：

$(1)$ $\frac{\partial f}{\partial x}_{(0, 0)} = 1$
$(2)$ $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}_{(0, 0)} = 1$
$(3)$ $lim_{(x, y) \to (0, 0)} f (x, y) = 0$
$(4)$ $lim_{y \to 0} lim_{x \to 0} f (x, y) = 0$

正确的个数是

正确答案：B

【解析】
$\frac{\partial f}{\partial x}_{(0, 0)} = lim_{x \to 0} \frac{f ( x , 0 ) - f ( 0 , 0 )}{x - 0} = lim_{x \to 0} \frac{x - 0}{x - 0} = 1$ ，
因此（1）正确。

$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}_{(0, 0)} = lim_{y \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial x} ∣ _{(0, y)} - \frac{\partial f}{\partial x} ∣ _{(0, 0)}}{y - 0} = lim_{y \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial x} ∣ _{(0, y)} - 1}{y}$ ，
其中 $\frac{\partial f}{\partial x}_{(0, y)} = lim_{x \to 0} \frac{f ( x , y ) - f ( 0 , y )}{x - 0} = lim_{x \to 0} \frac{x y - y}{x} = lim_{x \to 0} \frac{y ( x - 1 )}{x}$ 不存在，
因此（2）错误。

由 $∣ f (x, y) ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ ，当 $(x, y) \to (0, 0)$ 时， $lim_{(x, y) \to (0, 0)} f (x, y) = 0$ ，
所以（3）正确。

$lim_{x \to 0} f (x, y) = {0, y, y \neq = 0 y = 0$ ，
从而 $lim_{y \to 0} lim_{x \to 0} f (x, y) = 0$ ，
（4）正确。

6

设函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 2]$ 上可导，且 $f^{'} (x) > f (x) > 0$ ，则

正确答案：B

【解析】
令 $F (x) = \frac{f ( x )}{e ^{x}}$ ，则

F^{'} (x) = \frac{f ^{'} ( x ) e ^{x} - f ( x ) e ^{x}}{e ^{2 x}} = \frac{f ^{'} ( x ) - f ( x )}{e ^{x}} .

由题意知 $F^{'} (x) > 0$ ，从而 $F (x) = \frac{f ( x )}{e ^{x}}$ 单调递增。

因此， $F (0) > F (- 1)$ ，即

\frac{f ( 0 )}{e ^{0}} > \frac{f ( - 1 )}{e ^{- 1}} .

又 $f (x) > 0$ ，故

\frac{f ( 0 )}{f ( - 1 )} > e .

7

设 $4$ 阶矩阵 $A = (a_{ij})$ 不可逆， $a_{12}$ 代数余子式 $A_{12} \neq = 0$ ， $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 为矩阵 $A$ 的列向量组， $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则方程组 $A^{*} x = 0$ 通解为

正确答案：C

【解析】
已知 $∣ A ∣ = 0$ ， $r (A) = 3$ ，故 $r (A^{*}) = 1$ ，因此 $A^{*} x = 0$ 的基础解系中解向量的个数为 $3$ 。

由 $A_{12} \neq = 0$ 得 $α_{1}$ 、 $α_{3}$ 、 $α_{4}$ 线性无关，则通解为

x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{3} + k_{3} α_{4},

其中 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 、 $k_{3}$ 为任意常数，故选择 (C)。

8

设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵， $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 为 $A$ 属于特征值为 $1$ 的线性无关的特征向量， $α_{3}$ 为 $A$ 属于特征值为 $- 1$ 的特征向量，若 $P^{- 1} A P = 100 0 - 1 0 001$ ，则 $P$ 可为

正确答案：D

【解析】 $A (α_{1} + α_{2}) = 1 \cdot (α_{1} + α_{2})$ ，
$A (- α_{3}) = - 1 \cdot (- α_{3})$ ，
$A α_{2} = 1 \cdot α_{2}$ ，
且 $α_{1} + α_{2}$ 、 $- α_{3}$ 、 $α_{2}$ 线性无关。

又由特征值 $1$ 、 $- 1$ 、 $1$ 的顺序知， $P$ 可为 $(α_{1} + α_{2}, - α_{3}, α_{2})$ ，
故选（D）。

填空题

9

（填空题）若

{x = t^{2} + 1, y = ln (t + t^{2} + 1),

则 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{t = 1} =$

10

（填空题） $\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{1} x^{3} + 1 d x =$

11

（填空题）设 $z = arctan [x y + sin (x + y)]$ ，则 $d z ∣_{(0, π)} =$

12

（填空题）斜边长为 $2 a$ 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为 $g$ ，水密度为 $ρ$ ，则该平板一侧所受的水压力为

13

（填空题）设 $y = y (x)$ 满足 $y^{''} + 2 y^{'} + y = 0$ ，且 $y (0) = 0$ ， $y^{'} (0) = 1$ ，则 $\int_{0}^{+ \infty} y (x) d x =$

14

（填空题）行列式

a 0 - 1 1 0 a 1 - 1 - 1 1 a 0 1 - 1 0 a =

解答题

15

（本题满分 $10$ 分）求曲线 $y = \frac{x ^{1 + x}}{( 1 + x ) ^{x}} (x > 0)$ 的斜渐近线方程。

16

（本题满分 10 分）已知函数 $f (x)$ 连续且 $lim_{x \to 0} \frac{f ( x )}{x} = 1$ ， $g (x) = \int_{0}^{1} f (x t) d t$ ，求 $g^{'} (x)$ 并证明 $g^{'} (x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

17

（本题满分 10 分）求函数 $f (x, y) = x^{3} + 8 y^{3} - x y$ 的极值。

18

（本题满分 10 分）设函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ 且满足

2 f (x) + x^{2} f (\frac{1}{x}) = \frac{x ^{2} + 2 x}{1 + x ^{2}},

求 $f (x)$ 并求由曲线 $y = f (x)$ 、 $y = \frac{1}{2}$ 、 $y = \frac{3}{2}$ 及 $y$ 轴所围图形绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积。

19

（本题满分 $10$ 分）设区域 $D$ 由直线 $x = 1$ 、 $x = 2$ 、 $y = x$ 及 $x$ 轴围成，计算 $\iint_{D} \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x} d x d y$ 。

20

（本题满分 11 分）设函数 $f (x) = \int_{1}^{x} e^{t^{2}} d t$ 。

(I) 证明：存在 $ξ \in (1, 2)$ ，使得 $f (ξ) = (2 - ξ) e^{ξ^{2}}$ ；

(II) 证明：存在 $η \in (1, 2)$ ，使得 $f (2) = ln 2 \cdot η e^{η^{2}}$ 。

21

（本题满分 11 分）设函数 $f (x)$ 可导，且 $f^{'} (x) > 0 (x \geq 0)$ ，过原点 $O$ ，其上任意一点 $M$ 处的切线与 $x$ 轴交于 $T$ ， $MP ⊥ x$ 轴于点 $P$ ，已知由曲线 $y = f (x)$ 、直线 $MP$ 以及 $x$ 轴所围图形的面积与 $△ MTP$ 的面积之比恒为 $3 : 2$ ，求满足条件的曲线方程。

22

（本题满分 11 分）设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2 a x_{1} x_{2} + 2 a x_{1} x_{3} + 2 a x_{2} x_{3}

经可逆线性变换

x_{1} x_{2} x_{3} = P y_{1} y_{2} y_{3}

化为

g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) = y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + 4 y_{3}^{2} + 2 y_{1} y_{2}

(I) 求 $a$ 的值；

(II) 求可逆矩阵 $P$ 。

23

（本题满分 11 分）设 $A$ 为二阶矩阵， $P = (α, A α)$ ，其中 $α$ 是非零向量且不是 $A$ 的特征向量：

(I) 证明 $P$ 为可逆矩阵；

(II) 若 $A^{2} α + A α - 6 α = 0$ ，求 $P^{- 1} A P$ ，并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵。