2018 年真题

选择题

1

若 $lim_{x \to 0} (e^{x} + a x^{2} + b x)^{\frac{1}{x ^{2}}} = 1$ ，则

正确答案：B

1 = x \to 0 lim (e^{x} + a x^{2} + b x)^{\frac{1}{x ^{2}}} = e^{l i m_{x \to 0} \frac{l n ( e ^{x} + a x ^{2} + b x )}{x ^{2}}} = e^{l i m_{x \to 0} \frac{e ^{x} + 2 a x + b}{2 x ( e ^{x} + a x ^{2} + b x )}} = e^{l i m_{x \to 0} \frac{e ^{x} + 2 a x + b}{2 x}} \Rightarrow x \to 0 lim \frac{e ^{x} + 2 a x + b}{2 x} = 0 \Rightarrow ⎩ ⎨ ⎧ x \to 0 \frac{e ^{x} + 2 a x + b}{2 x} = 0 \Rightarrow {x \to 0 a = - \frac{1}{2}

2

下列函数在 $x = 0$ 处不可导的是

高等数学一元函数微分学导数与微分的概念

正确答案：D

$A$ 可导：

$f_{-}^{'} (0) = lim_{x \to 0^{-}} \frac{∣ x ∣ s i n ( ∣ x ∣ )}{x} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \cdot s i n x}{x} = 0$ ，
$f_{+}^{'} (0) = lim_{x \to 0^{+}} \frac{∣ x ∣ s i n ( ∣ x ∣ )}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot s i n x}{x} = 0$ 。

$B$ 可导：

$f_{-}^{'} (0) = lim_{x \to 0^{-}} \frac{∣ x ∣ s i n ∣ x ∣}{x} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{- x \cdot s i n - x}{x} = 0$ ，
$f_{+}^{'} (0) = lim_{x \to 0^{+}} \frac{∣ x ∣ s i n ∣ x ∣}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot s i n x}{x} = 0$ 。

$C$ 可导：

$f_{-}^{'} (0) = lim_{x \to 0^{-}} \frac{c o s ∣ x ∣ - 1}{x} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{- \frac{1}{2} x ^{2}}{x} = 0$ ，
$f_{+}^{'} (0) = lim_{x \to 0^{+}} \frac{c o s ∣ x ∣ - 1}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{2} x ^{2}}{x} = 0$ 。

$D$ 不可导：

$f_{-}^{'} (0) = lim_{x \to 0^{-}} \frac{c o s ∣ x ∣ - 1}{x} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{- \frac{1}{2} ( - x )}{x} = \frac{1}{2}$ ，
$f_{+}^{'} (0) = lim_{x \to 0^{+}} \frac{c o s ∣ x ∣ - 1}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{2} x}{x} = - \frac{1}{2}$ 。

$f_{+}^{'} (0) \neq = f_{-}^{'} (0)$ 。

3

设
$f (x) = {- 1, 1, x < 0 x \geq 0$ ，
$g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 + a x, x, x - b, x \leq - 1 - 1 < x < 0 x \geq 0$ ，
若 $f (x) + g (x)$ 在 $R$ 上连续，则

高等数学函数、极限、连续函数的连续性

正确答案：D

当 $x \to 0^{-}$ 时，有：

x \to 0^{-} lim [f (x) + g (x)] = x \to 0^{-} lim f (x) + x \to 0^{-} lim g (x) = - 1 + 0 = - 1

当 $x \to 0^{+}$ 时，有：

x \to 0^{+} lim [f (x) + g (x)] = x \to 0^{+} lim f (x) + x \to 0^{+} lim g (x) = 1 + (0 - b) = 1 - b

由左右极限相等得：

- 1 = 1 - b \Rightarrow b = 2

当 $x \to - 1^{-}$ 时，有：

x \to - 1^{-} lim [f (x) + g (x)] = x \to - 1^{-} lim f (x) + x \to - 1^{-} lim g (x) = - 1 + [2 + a \times (- 1)] = 1 - a

当 $x \to - 1^{+}$ 时，有：

x \to - 1^{+} lim [f (x) + g (x)] = x \to - 1^{+} lim f (x) + x \to - 1^{+} lim g (x) = - 1 + (- 1) = - 2

由左右极限相等得：

- 2 = 1 - a \Rightarrow a = - 3

4

设函数 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上二阶可导，且 $\int_{0}^{1} f (x) d x = 0$ ，则

高等数学一元函数积分学定积分的概念、性质及几何意义

正确答案：D

B 错误：取函数 $f (x) = - x^{2} + \frac{1}{3}$ ，则有

\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (- x^{2} + \frac{1}{3}) d x = 0,

同时 $f^{''} (x) = - 2 < 0$ ，而

f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1}{12} > 0.

C 错误：取函数 $f (x) = x - \frac{1}{2}$ ，则有

\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (x - \frac{1}{2}) d x = 0,

同时 $f^{'} (x) = 1 > 0$ ，而

f (\frac{1}{2}) = 0.

D 正确：（解析过程结合凸函数性质，当 $f^{''} (x) > 0$ 时函数下凸，由积分值为 $0$ 可推导出中点函数值小于 $0$ ，具体过程略）

5

设 $M = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{( 1 + x ) ^{2}}{1 + x ^{2}} d x$ ， $N = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + x}{e ^{x}} d x$ ， $K = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (1 + cos x) d x$ ，则

高等数学一元函数积分学定积分的计算

正确答案：C

M = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (1 + \frac{2 x}{1 + x ^{2}}) d x = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 d x

（奇函数部分积分为 $0$ ），故 $M = π$ 。

当 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 时， $1 + cos x \geq 1$ ，所以

K = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (1 + cos x) d x > \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 d x = M

令 $f (x) = \frac{1 + x}{e ^{x}}$ ，则 $f (x) = (1 + x) e^{- x}$ ， $f^{'} (x) = - x e^{- x}$ 。

在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上 $f^{'} (x) \leq 0$ ，在 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上 $f^{'} (x) \geq 0$ ，且 $f (x)$ 为偶函数， $f (x) \leq f (0) = 1$ ，故

N = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x < \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 d x = M

综上， $K > M > N$ 。

6

\int_{- 1}^{0} d x \int_{- x}^{2 - x^{2}} (1 - x y) d y + \int_{0}^{1} d x \int_{x}^{2 - x^{2}} (1 - x y) d y =

高等数学多元函数积分学重积分的计算

正确答案：A

【解析】从原积分的两个积分区域可以看出，这是两个关于 $y$ 轴对称的区域。

设 $D = {(x, y) ∣ - 1 \leq x \leq 1, ∣ x ∣ \leq y \leq 2 - x^{2}}$ ，则原式 $= \iint_{D} (1 - x y) d x d y$ ，而 $x y$ 是关于 $x$ 的奇函数，因此

\iint_{D} (1 - x y) d x d y = \iint_{D} d x d y = 2 \int_{0}^{1} d x \int_{x}^{2 - x^{2}} d y = 2 \int_{0}^{1} (2 - x^{2} - x) d x = \frac{7}{3}

7

设矩阵 $J$ 是三阶 Jordan 矩阵，若矩阵 $Q$ 与 $J$ 相似，则 $r (E - Q) =$

线性代数矩阵的相似与相似对角化

正确答案：A

若矩阵 $Q$ 与 $J$ 相似，则矩阵 $E - Q$ 与 $E - J$ 相似，从而 $r (E - Q) = r (E - J)$ 。

计算各选项中 $E - 矩阵$ 的秩：

选项 A：
$E - A = 000 - 1 00 1 - 1 0$ ，秩为 $2$ 。
选项 D：
$E - D = 000000100$ ，秩为 $1$ 。

根据相似矩阵秩相等及题目条件，故选 A。

8

设 $A$ ， $B$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r (X)$ 为矩阵 $X$ 的秩， $(X, Y)$ 表示分块矩阵，则

线性代数矩阵矩阵的秩

正确答案：A

因为 $r (E, B) = n$ （ $E$ 为单位矩阵），所以

r (A, A B) = r [A (E, B)] = r (A),

故选 A。

填空题

9

（填空题） $lim_{x \to + \infty} x^{2} [arctan (x + 1) - arctan x] =$

高等数学函数、极限、连续函数极限的计算

10

（填空题）曲线 $y = x^{2} + 2 ln x$ 过拐点处的切线方程为 ______。

高等数学一元函数微分学曲线的凹凸性、拐点及渐近线

11

（填空题） $\int_{5}^{+ \infty} \frac{1}{x ^{2} - 4 x + 3} d x =$

高等数学一元函数积分学反常积分的计算与敛散性

12

（填空题）曲线 ${x = cos^{3} t, y = sin^{3} t$ 在 $t = \frac{π}{4}$ 处的曲率为（）。

高等数学一元函数微分学导数的几何意义

13

（填空题）设 $z = z (x, y)$ 由方程 $ln z + e^{z - 1} = x y$ 确定，则 $\frac{\partial z}{\partial x}_{(2, \frac{1}{2})} =$

高等数学多元函数微分学偏导数的概念与计算

14

（填空题）设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵， $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 为线性无关的向量组。若 $A α_{1} = 2 α_{1} + α_{2} + α_{3}$ ， $A α_{2} = α_{2} + 2 α_{3}$ ， $A α_{3} = - α_{2} + α_{3}$ ，则 $A$ 的实特征值为（）。

线性代数矩阵的特征值与特征向量

解答题

15

（本题满分 $10$ 分）求不定积分 $\int arctan e^{x} - 1 d x$

高等数学一元函数积分学不定积分的计算

16

（本题满分 10 分）已知连续函数 $f (x)$ 满足

\int_{0}^{x} f (t) d t + \int_{0}^{x} t f (x - t) d t = a x^{2} .

(I) 求 $f (x)$ ；
(II) 若 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上的平均值为 $1$ ，求 $a$ 的值。

高等数学一元函数积分学变限积分

17

（本题满分 10 分）
令 $x = t - sin t (0 \leq t \leq 2 π)$ ，求

\iint_{D} (x + 2 y) d x d y

高等数学多元函数积分学重积分的计算

18

（本题满分 $10$ 分）已知常数 $k \geq ln 2 - 1$ ，证明： $(x - 1) (x - ln^{2} x + 2 k ln x - 1) \geq 0$

高等数学一元函数微分学不等式的证明

19

（本题满分 $10$ 分）
将长为 $2 m$ 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

高等数学多元函数微分学多元函数的极值问题

20

（本题满分 10 分）已知曲线 $L : y = \frac{4}{9} x^{2} (x \geq 0)$ ，点 $O (0, 0)$ ，点 $A (0, 1)$ ，设 $P$ 是 $L$ 上的动点， $S$ 是直线 $O A$ 与直线 $A P$ 及曲线 $L$ 所围成图形的面积。若 $P$ 运动到点 $(3, 4)$ 时沿 $x$ 轴正向的速度是 $4$ ，求此时 $S$ 关于时间 $t$ 的变化率。