2016 年真题

选择题

1

设 $a_{1} = x (cos x - 1)$ ， $a_{2} = x ln (1 + 3 x)$ ， $a_{3} = 3 x + 1 - 1$ ，当 $x \to 0^{+}$ 时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（）。

正确答案：B

当 $x \to 0^{+}$ 时，

a_{1} = x (cos x - 1) \sim - \frac{1}{2} x^{2},

a_{2} = x ln (1 + 3 x) \sim x^{\frac{2}{3}},

a_{3} = 3 x + 1 - 1 \sim \frac{1}{3} x .

因此，三个无穷小量按照从低阶到高阶的排序为 $a_{2}, a_{3}, a_{1}$ ，故选 B。

2

已知函数 $f (x) = {2 (x - 1), ln x, x < 1, x \geq 1,$ ，则 $f (x)$ 的一个原函数是

正确答案：D

【解析】
设 $F (x) = \int f (x) d x$ ，由题设得

F (x) = {(x - 1)^{2}, x ln x - x + C, x < 1, x > 1,

由于 $F (x)$ 连续，需满足

F (1^{-}) = F (1^{+}) .

代入计算得

(1 - 1)^{2} = 1 \cdot ln 1 - 1 + C \Rightarrow 0 = - 1 + C,

因此

C = 1.

3

反常积分 ① $\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{x ^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x$ ，② $\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x ^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x$ 的敛散性为

正确答案：B

【解析】
考虑积分 $\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{x ^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x$ ，
令 $u = \frac{1}{x}$ ，则 $d u = - \frac{1}{x ^{2}} d x$ ，
于是原积分化为

\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{x ^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x = - \int_{- \infty}^{0} e^{\frac{1}{x}} d (\frac{1}{x}) = - e^{\frac{1}{x}}_{- \infty}^{0}

代入上下限得

- (x \to 0^{-} lim e^{\frac{1}{x}} - x \to - \infty lim e^{\frac{1}{x}}) = - (0 - 1) = 1

该积分收敛。

再考虑 $\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x ^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x$ ，
类似地有

\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x ^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x = - \int_{0}^{+ \infty} e^{\frac{1}{x}} d (\frac{1}{x}) = - e^{\frac{1}{x}}_{0}^{+ \infty}

代入上下限得

- (x \to + \infty lim e^{\frac{1}{x}} - x \to 0^{+} lim e^{\frac{1}{x}}) = - (1 - \infty) = + \infty

该积分发散。

因此，应选 B。

4

设函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内连续，其导函数的图形如图所示，则（）

正确答案：B

根据极值的必要条件可知，极值点可能是驻点或导数不存在的点。根据极值的充分条件可知，在某点左右导函数符号发生改变，则该点是极值点。因此从图形可知函数 $f (x)$ 有 2 个极值点。

根据拐点的必要条件可知，拐点可能是二阶导为零的点或二阶导不存在的点。根据拐点的充分条件可知，曲线在某点左右导函数的单调性发生改变，则该点是曲线的拐点。因此曲线 $y = f (x)$ 有 3 个拐点，故选 B。

5

设函数 $f_{i} (x) (i = 1, 2)$ 具有二阶连续导数，且 $f_{i}^{''} (x_{0}) < 0 (i = 1, 2)$ ，若两条曲线 $y = f_{i} (x) (i = 1, 2)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处具有公切线 $y = g (x)$ ，且在该点处曲线 $y = f_{1} (x)$ 的曲率大于曲线 $y = f_{2} (x)$ 的曲率，则在 $x_{0}$ 的某个邻域内，有（）

正确答案：A

【解析】因为 $f_{i}^{''} (x)$ 连续且 $f_{i}^{''} (x_{0}) < 0$ ，根据连续的定义与极限的保号性，在 $x_{0}$ 的某邻域 $U (x_{0})$ 内，有 $f_{i}^{''} (x) < 0$ ，因此 $f_{i} (x)$ 在 $U (x_{0})$ 内是凸函数。

又因为在 $x = x_{0}$ 处两曲线具有公切线 $y = g (x)$ ，根据凸函数的几何意义，曲线与切线的位置关系为 $f_{i} (x) \leq g (x)$ 。

在点 $x_{0}$ 处， $y = f_{1} (x)$ 的曲率大于 $y = f_{2} (x)$ 的曲率，因此 $f_{1}^{''} (x_{0}) < f_{2}^{''} (x_{0}) < 0$ 。

令 $F (x) = f_{1} (x) - f_{2} (x)$ ，由于在 $x = x_{0}$ 处具有公切线 $y = g (x)$ ，可得 $F (x_{0}) = 0$ ， $F^{'} (x_{0}) = 0$ 。

又由 $F^{''} (x_{0}) < 0$ 可知， $F (x_{0}) = 0$ 是 $F (x)$ 的极大值，因此在 $x_{0}$ 的某邻域 $U_{1} (x_{0})$ 内，有 $F (x) \leq 0$ ，即 $f_{1} (x) \leq f_{2} (x)$ 。

综合可得 $f_{1} (x) \leq f_{2} (x) \leq g (x)$ ，故选 A。

6

已知函数 $f (x, y) = \frac{e ^{x}}{x - y}$ ，则

正确答案：D

由于 $f_{x}^{'} (x, y) = \frac{e ^{x} ( x - y ) - e ^{x}}{( x - y ) ^{2}}$ 和 $f_{y}^{'} (x, y) = \frac{e ^{x}}{( x - y ) ^{2}}$ ，

因此有

f_{x}^{'} (x, y) + f_{y}^{'} (x, y) = \frac{e ^{x} ( x - y ) - e ^{x}}{( x - y ) ^{2}} + \frac{e ^{x}}{( x - y ) ^{2}} = \frac{e ^{x}}{x - y} = f (x, y)

故应选 D。

7

设 $A$ ， $B$ 是可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是

正确答案：C

由于矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{- 1} A P = B$ 。

对 $B$ 取转置得：

B^{T} = P^{T} A^{T} (P^{T})^{- 1} = P^{T} A^{T} (P^{- 1})^{T},

因此 $A^{T}$ 与 $B^{T}$ 相似。

对 $B$ 取逆得：

B^{- 1} = P^{- 1} A^{- 1} P,

因此 $A^{- 1}$ 与 $B^{- 1}$ 相似。

又由 $B = P^{- 1} A P$ ，可得：

B^{- 1} + B = P^{- 1} A^{- 1} P + P^{- 1} A P = P^{- 1} (A^{- 1} + A) P,

即 $A + A^{- 1}$ 与 $B^{- 1} + B$ 相似。

因此正确选项为 C。

8

设二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = a (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{2} x_{3} + 2 x_{1} x_{3}$ 的正、负惯性指数分别为 $1, 2$ ，则（）

正确答案：C

【解析】二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 对应的矩阵为

A = a 11 1 a 1 11 a .

由

∣ λ E - A ∣ = λ - a - 1 - 1 - 1 λ - a - 1 - 1 - 1 λ - a = (λ - a - 2) (λ - a + 1)^{2} = 0

可得，矩阵 $A$ 的特征值为

λ_{1} = a + 2, λ_{2} = λ_{3} = a - 1.

由于 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 的正惯性指数为 1，负惯性指数为 2，且正负惯性指数等于特征值中正、负数的个数，因此有

a + 2 > 0 且 a - 1 < 0,

即

- 2 < a < 1.

故选 C。

填空题

9

（填空题）曲线 $y = \frac{x ^{3}}{1 + x ^{2}} + arctan (1 + x^{2})$ 的斜渐近线方程为________。

10

（填空题）极限 $n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} (sin \frac{1}{n} + 2 sin \frac{2}{n} + \dots + n sin \frac{n}{n}) =$ ______。

11

（填空题）以 $y = x^{2} - e^{x}$ 和 $y = x^{2}$ 为特解的一阶非齐次线性微分方程为______。

12

（填空题）已知函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上连续，且

f (x) = (x + 1)^{2} + 2 \int_{0}^{1} f (t) d t,

则当 $n \geq 2$ 时， $f^{(n)} (0) =$ ________。

13

（填空题）已知动点 $P$ 在曲线 $y = x^{3}$ 上运动，记坐标原点与点 $P$ 间的距离为 $l$ 。若点 $P$ 的横坐标对时间的变化率为常数 $v_{0}$ ，则当点 $P$ 运动到点 $(1, 1)$ 时， $l$ 对时间的变化率是______。

14

（填空题）设矩阵 $a - 1 - 1 - 1 a - 1 - 1 - 1 a$ 与 $101 1 - 1 0 011$ 等价，则 $a =$ ______。

解答题

15

（本题满分 10 分）求极限

x \to 0 lim (cos 2 x + 2 x sin x - 1)^{\frac{1}{x ^{4}}}

16

（本题满分 10 分）

设函数 $f (x) = \int_{0}^{1} ∣ t^{2} - x^{2} ∣ d t (x > 0)$ ，求 $f^{'} (x)$ 并求 $f (x)$ 的最小值。

17

（本题满分 10 分）

已知函数 $z = z (x, y)$ 由方程 $(x^{2} + y^{2}) z + ln z + 2 (x + y + 1) = 0$ 确定，求 $z = z (x, y)$ 的极值。

18

（本题满分 10 分）

设 $D$ 是由直线 $y = 1$ 、 $y = x$ 、 $y = - x$ 围成的有界区域，计算二重积分

D \iint \frac{x ^{2} - x y - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} d x d y

19

（本题满分 10 分）

已知 $y_{1} (x) = e^{x}$ ， $y_{2} (x) = μ (x) e^{x}$ 是二阶微分方程

(2 x - 1) y^{''} - (2 x + 1) y^{'} + 2 y = 0

的两个解，若 $μ (- 1) = e$ ， $μ (0) = - 1$ ，求 $μ (x)$ 并写出该微分方程的通解。

20

（本题满分 11 分）

设 $D$ 是由曲线 $y = 1 - x^{2} (0 \leq x \leq 1)$ 与参数方程

{x = cos^{3} t y = sin^{3} t (0 \leq t \leq \frac{π}{2})

围成的平面区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

21

（本题满分 11 分）

已知 $f (x)$ 在 $[0, \frac{3 π}{2}]$ 上连续，在 $(0, \frac{3 π}{2})$ 内是函数 $\frac{c o s x}{2 x - 3 π}$ 的一个原函数，且 $f (0) = 0$ ，

（1）求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{3 π}{2}]$ 上的平均值；

（2）证明 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{3 π}{2})$ 内存在唯一零点。

22

（本题满分 11 分）

设矩阵 $A = 11 a + 1 101 1 - a a a + 1$ ， $β = 01 2 a - 2$ ，且方程组 $A x = β$ 无解，

（1）求 $a$ 的值；

（2）求方程组 $A^{T} A x = A^{T} β$ 的通解。

23

（本题满分 11 分）

已知矩阵

A = 020 - 1 - 3 0 100

（1）求 $A^{99}$

（2）设 3 阶矩阵 $B = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ 满足 $B^{2} = B A$ 。记 $B^{100} = (β_{1}, β_{2}, β_{3})$ ，将 $β_{1}, β_{2}, β_{3}$ 分别表示为 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 的线性组合。