2016 年真题

【答案】 $y=x+\frac{\pi }{2}$

【解析】
因为

所以斜渐近线为

【答案】 $\sin 1-\cos 1$

【解析】
因为
${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n^2}\left(\sin \frac{1}{n}+2\sin \frac{2}{n}+\cdots +n\sin \frac{n}{n}\right)={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\sin \frac{1}{n}+\frac{2}{n}\sin \frac{2}{n}+\cdots +\frac{n}{n}\sin \frac{n}{n}\right)$

该极限可视为定积分的定义形式，即

计算该积分：

因此，原极限值为 $\sin 1-\cos 1$ 。

【答案】 $y^{\prime }-y=2x-x^2$

【解析】 设一阶非齐次线性微分方程为 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$ 。

根据线性微分方程齐次与非齐次解之间的关系，可知 $x^2-(x^2-e^x)=e^x$ 是 $y^{\prime }+p(x)y=0$ 的解，因此可得 $p(x)=-1$ 。

又因为 $y=x^2$ 是 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$ 的解，代入可得 $q(x)=2x-x^2$ 。

故所求一阶非齐次线性微分方程为 $y^{\prime }-y=2x-x^2$ 。

【答案】 $\frac{5}{2}\times 2^n$

【解析】 当 $x=0$ 时， $f(0)=1$ 。

已知

两边同时对 $x$ 求导，得

代入 $x=0$ ，有 $f^{\prime }(0)=4$ 。

对

两边再次对 $x$ 求导，得

代入 $x=0$ ，有 $f^{\prime \prime }(0)=10$ 。

继续对

两边对 $x$ 求导，得

依此类推，可得

因此

【答案】 $2\sqrt{2}{v}_0$

【解析】 设 $l=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+x^6}$ ，对 $t$ 求导得：

当 $x=1$ 时，已知 $\frac{dx}{dt}=v_0$ ，代入得：

【答案】 2

【解析】 首先计算矩阵 $B$ 的行列式：

因此 $r(B)=2$ 。

接着计算矩阵 $A$ 的行列式：

当 $a=-1$ 时， $r(A)=1$ ；当 $a=2$ 时， $r(A)=2$ 。因此 $a=2$ 。

【答案】 $e^{\frac{1}{3}}$

【解析】
原极限可表示为

其中，

因此，原极限

【答案】
$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}4x^2-2x& 0<x\le 1\\ 2x& x>1\end{array}$
$f(x)$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$ 。

【解析】
$f(x)={\int }_0^1|t^2-x^2|\mathrm{d}t(x>0)$

当 $0<x\le 1$ 时，

当 $x>1$ 时，

即

令 $f^{\prime }(x)=0$ ，可得当 $0<x\le 1$ 时 $x=\frac{1}{2}$ 为驻点且为极小值点， $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$ ，而 $f(1)=\frac{2}{3}$ 。

因此， $f(x)$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$ 。

【答案】 在点 $(-1,-1)$ 处取得极大值，极大值为 $z=1$ 。

【解析】

给定方程组：

整理可得：

由第一个方程 $2xz+x^2\frac{\partial z}{\partial x}+y^2\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial x}+2=0$ 再对 $x$ 求导得：

代入 $\frac{\partial z}{\partial x}=0$ ， $x=-1$ ， $y=-1$ ， $z=1$ ，得：

同理可得 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}<0$ 。

由第一个方程对 $y$ 求导得：

代入 $\frac{\partial z}{\partial x}=0$ ， $\frac{\partial z}{\partial y}=0$ ， $x=-1$ ， $y=-1$ ， $z=1$ ，得：

由于 $AC-B^2>0$ 且 $A<0$ ，故在点 $(-1,-1)$ 处取得极大值。

【答案】 $1-\frac{\pi }{2}$

【解析】
【解析】
$I=\underset{D}{\iint }\frac{x^2-xy-y^2}{x^2+y^2}dxdy=\underset{D}{\iint }\frac{x^2+y^2-2y^2}{x^2+y^2}dxdy-\underset{D}{\iint }\frac{xy}{x^2+y^2}dxdy=I_1+I_2$

由于区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，可知 $I_2=0$ 。

进一步计算：

其中：

计算内层积分：

代入得：

因此：

【答案】
$\mu (x)=-2x{e}^{-x}-e^{-x}$ ，该微分方程的通解为 $y=k_1{e}^x+k_2(-2x-1)e^{-x}$ ，其中 $k_1,k_2$ 为任意常数。

【解析】
已知 $y_2(x)=\mu (x)e^x$ 是二阶微分方程

的一个解。将其代入方程并整理可得

即

两边积分得

因此

取

进一步积分得

由已知条件 $\mu (-1)=e$ ， $\mu (0)=-1$ ，解得 $C_1=1$ ， $C_2=0$ ，
所以

已知 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 线性无关，因此原方程的通解为

其中 $k_1,k_2$ 为任意常数。

【答案】
体积： $\frac{18\pi }{35}$ ，表面积： $\frac{16\pi }{5}$

【解析】
体积部分

体积计算公式为：

化简得：

计算得：

表面积部分

对于曲线 $y=\sqrt{1-x^2}(0\le x\le 1)$ 旋转所得表面积 $S_1$ ：

对于参数方程

旋转所得表面积 $S_2$ ：

总表面积为：

【答案】
（1） $\frac{1}{3\pi }$
（2）见解析

【解析】
（1）函数 $f(x)={\int }_0^x\frac{\cos t}{2t-3\pi }dt$ 。根据平均值公式， $f(x)$ 在区间 $[0,\frac{3\pi }{2}]$ 上的平均值为