2013 年真题

选择题

1

设 $cos x - 1 = x sin α (x)$ ，其中 $∣ α (x) ∣ < \frac{π}{2}$ ，当 $x \to 0$ 时， $α (x)$ 是（）

正确答案：C

由于 $x \to 0 lim \frac{s i n α ( x )}{x} = x \to 0 lim \frac{c o s x - 1}{x ^{2}} = - \frac{1}{2}$ ，可得 $x \to 0 lim sin α (x) = 0$ 。

因此当 $x \to 0$ 时， $α (x) \to 0$ ，于是 $sin α (x) \sim α (x)$ 。

进而有：

x \to 0 lim \frac{sin α ( x )}{x} = x \to 0 lim \frac{α ( x )}{x} = - \frac{1}{2}

所以 $α (x)$ 是与 $x$ 同阶但不等价的无穷小。

2

设函数 $y = f (x)$ 由方程 $cos (x y) + ln y - x = 1$ 确定，则

n \to \infty lim n [f (\frac{2}{n}) - 1] =

高等数学一元函数微分学导数与微分的计算

正确答案：A

由方程可知 $f (0) = 1$ ，

n \to \infty lim n [f (\frac{2}{n}) - 1] = n \to \infty lim 2 \cdot \frac{f ( \frac{2}{n} ) - f ( 0 )}{\frac{2}{n}} = 2 f^{'} (0) .

对方程两边求导得：

- (y + x y^{'}) sin (x y) + \frac{y ^{'}}{y} - 1 = 0.

令 $x = 0$ ，此时 $y = 1$ ，代入得 $f^{'} (0) = 1$ ，
因此

n \to \infty lim n [f (\frac{2}{n}) - 1] = 2.

3

设函数 $f (x) = {sin x, 2, 0 \leq x < π π \leq x \leq 2 π$ ，记 $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ ，则（）

高等数学一元函数积分学变限积分

正确答案：C

$F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t = {\int_{0}^{x} sin t d t = 1 - cos x, \int_{0}^{π} sin t d t + \int_{π}^{x} 2 d t = 2 (x - π + 1), 0 \leq x < π π \leq x \leq 2 π$

由于 $x \to π^{-} lim F (x) = x \to π^{+} lim F (x) = 2$ ，因此 $F (x)$ 在 $x = π$ 处连续。

计算左右导数：

x \to π^{-} lim \frac{F ( x ) - F ( π )}{x - π} = x \to π^{-} lim \frac{1 - cos x - 2}{x - π} = 0

x \to π^{+} lim \frac{F ( x ) - F ( π )}{x - π} = x \to π^{+} lim \frac{2 ( x - π )}{x - π} = 2

左右导数不相等，因此 $F (x)$ 在 $x = π$ 处不可导。

4

设 $f (x) = {\frac{1}{( x - 1 ) ^{α + 1}}, \frac{1}{x l n ^{α + 1} x}, 1 < x < e x \geq e$ ，则 $\int_{1}^{+ \infty} f (x) d x$ 收敛的充要条件是（　　）

高等数学一元函数积分学反常积分的计算与敛散性

正确答案：D

因为 $\int_{1}^{+ \infty} f (x) d x = \int_{1}^{e} f (x) d x + \int_{e}^{+ \infty} f (x) d x$ 。

当 $1 < x < e$ 时，考虑 $\int_{1}^{e} \frac{1}{( x - 1 ) ^{α + 1}} d x$ 。令 $t = x - 1$ ，则积分变为 $\int_{0}^{e - 1} \frac{1}{t ^{α + 1}} d t$ 。该积分收敛需满足 $α + 1 < 1$ ，即 $α < 0$ 。

当 $x \geq e$ 时，考虑 $\int_{e}^{+ \infty} \frac{1}{x l n ^{α + 1} x} d x$ 。令 $u = ln x$ ，则积分变为 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{u ^{α + 1}} d u$ 。该积分收敛需满足 $α + 1 > 1$ ，即 $α > 0$ 。

综上， $α$ 需同时满足 $α < 0$ 与 $α > 0$ ，但这是不可能的，因此原积分在任意 $α$ 下均不收敛。

5

设 $z = \frac{y}{x} f (x y)$ ，其中 $f$ 可导，则

\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} =

多元函数微分学偏导数的概念与计算

正确答案：A

已知 $z = \frac{y}{x} f (x y)$ ，则

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{y}{x ^{2}} f (x y) + \frac{y ^{2}}{x} f^{'} (x y),

\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x} f (x y) + \frac{y}{x} \cdot x f^{'} (x y) = \frac{1}{x} f (x y) + y f^{'} (x y) .

因此，

\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{y} (- \frac{y}{x ^{2}} f (x y) + \frac{y ^{2}}{x} f^{'} (x y)) + \frac{1}{x} f (x y) + y f^{'} (x y) .

展开并化简：

= - \frac{1}{x} f (x y) + y f^{'} (x y) + \frac{1}{x} f (x y) + y f^{'} (x y) = 2 y f^{'} (x y) .

6

设 $D_{k}$ 是区域 $D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1}$ 在第 $k$ 象限的部分，记 $I_{k} = \iint_{D_{k}} (y - x) d x d y (k = 1, 2, 3, 4)$ ，则（）

高等数学多元函数积分学重积分的概念与性质

正确答案：B

令 $x = r cos θ$ ， $y = r sin θ$ ，则

I_{k} = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \int_{0}^{1} (r sin θ - r cos θ) r d r d θ = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} (sin θ - cos θ) d θ \int_{0}^{1} r^{2} d r = \frac{1}{3} \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} (sin θ - cos θ) d θ .

当 $k = 2$ 时， $θ$ 的范围为 $\frac{π}{2}$ 到 $π$ ，此时

\int_{\frac{π}{2}}^{π} (sin θ - cos θ) d θ = [- cos θ - sin θ]_{\frac{π}{2}}^{π} = (1 - 0) - (0 - 1) = 2 > 0,

故 $I_{2} > 0$ 。

7

设矩阵 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $A B = C$ ，且 $B$ 可逆，则（　　）

线性代数矩阵矩阵的运算与变换

正确答案：B

由 $C = A B$ 可知， $C$ 的列向量组可由 $A$ 的列向量组线性表示。

由于 $B$ 可逆，可得 $A = C B^{- 1}$ ，因此 $A$ 的列向量组也可由 $C$ 的列向量组线性表示。

根据向量组等价的定义，矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $A$ 的列向量组等价。

8

矩阵 $1 a 1 a b a 1 a 1$ 与 $200 0 b 0 000$ 相似的充分必要条件是（）

线性代数矩阵的特征值与特征向量

正确答案：B

相似矩阵的特征值相同，迹相同，行列式相同。
第二个矩阵的特征值为 $2, b, 0$ ，则原矩阵的迹为 $2 + b + 0 = 2 + b$ 。
原矩阵的迹为 $1 + b + 1 = b + 2$ ，满足迹相等。

原矩阵行列式为 $0$ （因为第三个特征值为 $0$ ）。
计算原矩阵行列式：按第一行展开得

1 \times (b \times 1 - a \times a) - a \times (a \times 1 - a \times 1) + 1 \times (a \times a - b \times 1) = b - a^{2} + 0 + a^{2} - b = 0

恒成立。

对于特征值 $2$ ，代入 $∣ A - 2 E ∣ = 0$ ，得

- 1 a 1 a b - 2 a 1 a - 1 = 0

计算得
$- 1 \times [(b - 2) (- 1) - a^{2}] - a \times [a \times (- 1) - a \times 1] + 1 \times [a^{2} - (b - 2) \times 1] = (b - 2 + a^{2}) - a \times (- 2 a) + (a^{2} - b + 2) = b - 2 + a^{2} + 2 a^{2} + a^{2} - b + 2 = 4 a^{2} = 0$ ，

故 $a = 0$ ， $b$ 无其他限制，为任意常数。

填空题

9

（填空题）

x \to 0 lim (2 - \frac{ln ( 1 + x )}{x})^{\frac{1}{x}} =______

高等数学函数、极限、连续函数极限的计算

10

（填空题）设函数 $f (x) = \int_{- 1}^{x} 1 - e^{t} d t$ ，则 $y = f (x)$ 的反函数 $x = f^{- 1} (y)$ 在 $y = 0$ 处的导数 $\frac{d x}{d y}_{y = 0} =$

高等数学一元函数积分学变限积分

11

（填空题）设封闭曲线的极坐标方程为 $r = cos 3 θ (- \frac{π}{6} \leq θ \leq \frac{π}{6})$ ， $L$ 所围成的平面图形的面积为

高等数学多元函数积分学重积分的应用

12

（填空题）曲线

{x = arctan t y = ln 1 + t^{2}

在 $t = 1$ 处的法线方程为

高等数学一元函数微分学导数的几何意义

13

（填空题）已知 $y_{1} = e^{3 x} - x e^{2 x}$ ， $y_{2} = e^{x} - x e^{2 x}$ ， $y_{3} = - x e^{2 x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，该方程满足条件 $y ∣_{x = 0} = 0$ ， $y^{'} ∣_{x = 0} = 1$ 的解为 $y =$ 。

高等数学常微分方程常系数非齐次线性微分方程

14

（填空题）设 $A = (a_{ij})$ 是三阶非零矩阵， $∣ A ∣$ 为 $A$ 的行列式， $A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，若 $a_{ij} + A_{ij} = 0 (i, j = 1, 2, 3)$ ，则 $∣ A ∣ =$

线性代数行列式

解答题

15

（本题满分 10 分）

当 $x \to 0$ 时， $1 - cos x \cdot cos 2 x \cdot cos 3 x$ 与 $a x^{n}$ 为等价无穷小，求 $n$ 与 $a$ 的值。

高等数学函数、极限、连续无穷小量的比较

16

（本题满分 10 分）

设 $D$ 是由曲线 $y = x^{\frac{1}{3}}$ 、直线 $x = a$ （ $a > 0$ ）及 $x$ 轴所围成的平面图形， $V_{x}$ 、 $V_{y}$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴、 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。若 $V_{y} = 10 V_{x}$ ，求 $a$ 的值。