2012 年真题

【答案】 1

【解析】 将 $x=0$ 代入方程 $x^2-y+1=e^y$ 得 $y=0$ 。

在方程两端对 $x$ 求导，得 $2x-y^{\prime }=y^{\prime }{e}^y$ ，将 $x=0$ 、 $y=0$ 代入得 $y^{\prime }(0)=0$ 。

再在 $2x-y^{\prime }=y^{\prime }{e}^y$ 两端对 $x$ 求导，得 $2-y^{\prime \prime }=y^{\prime \prime }{e}^y+(y^{\prime }{)}^2{e}^y$ ，将 $x=0$ 、 $y=0$ 、 $y^{\prime }(0)=0$ 代入得 $y^{\prime \prime }(0)=1$ ，即 ${\left|\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right|}_{x=0}=1$ 。

【答案】 $\frac{\pi }{4}$

【解析】

【答案】 0

【解析】 给定 $z=f\left(\ln x+\frac{1}{y}\right)$ ，其中 $f(u)$ 可微。设 $u=\ln x+\frac{1}{y}$ ，则 $z=f(u)$ 。
计算偏导数：

代入表达式：

因此，结果为 0。

【答案】 $y=\sqrt{x}$

【解析】 由 $ydx+(x-3y^2)dy=0$ 可得

这是一阶线性微分方程，利用通解公式可得

将 $x=1$ 、 $y=1$ 代入得 $C=0$ ，所以方程的解为

（舍去 $y=-\sqrt{x}$ ）。

【答案】 $(-1,0)$

【解析】 由 $y^{\prime }=2x+1$ ， $y^{\prime \prime }=2$ ，曲率公式为

解得 $x=0$ （舍去）， $x=-1$ 。
当 $x=-1$ 时， $y=0$ ，所以坐标为 $(-1,0)$ 。

【答案】 -27

【解析】 设 $A$ 为 3 阶矩阵， $|A|=3$ ， $A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若交换 $A$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $B$ ，则 $|B|=-|A|=-3$ ，又 $|A^{\ast }|=|A{|}^2=9$ 。

因此 $|B{A}^{\ast }|=|B|\cdot |A^{\ast }|=(-3)\times 9=-27$ 。

【答案】 (I) a = 1; (II) k = 1

【解析】 (I) 根据题意

(2) 考虑极限

由已知，当 $x\to 0$ 时， $f(x)-a$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则有 $k+2=3$ ，解得 $k=1$ 。

【答案】
函数 $f(x,y)$ 的极大值为 $e^{-\frac{1}{2}}$ ，在点 $(1,0)$ 处取得；极小值为 $-e^{-\frac{1}{2}}$ ，在点 $(-1,0)$ 处取得。

【解析】
根据题意，由于 $f_x^{\prime }(x,y)=(1-x^2)e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$ 和 $f_y^{\prime }(x,y)=-xy{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$ ，令 $f_x^{\prime }=0$ ， $f_y^{\prime }=0$ ，得函数 $f(x,y)$ 的驻点为 $(1,0)$ 和 $(-1,0)$ 。

再求二阶偏导数：

将 $(1,0)$ 代入 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 中，得 $A=-2e^{-\frac{1}{2}}<0$ ，且 $B^2-AC=-2e^{-1}<0$ ，因此 $(1,0)$ 是函数的极大值点，极大值为 $f(1,0)=e^{-\frac{1}{2}}$ 。

将 $(-1,0)$ 代入，得 $A=2e^{-\frac{1}{2}}>0$ ，且 $B^2-AC=-2e^{-1}<0$ ，因此 $(-1,0)$ 是函数的极小值点，极小值为 $f(-1,0)=-e^{-\frac{1}{2}}$ 。

【答案】 区域 D 的面积为 2

【解析】
根据题意，设切点 $A$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$ ，切线方程的斜率为 $k$ ，则

得切线方程为：

切点 $A$ 为 $(e^2,2)$ ， $L$ 与 $x$ 轴的交点 $B$ 为 $(1,0)$ 。
可知直线 $AB$ 的方程：

区域 $D$ 的面积为：

$D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为