2012 年真题

选择题

1

y = \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} - 1}

该曲线的渐近线条数为

高等数学一元函数微分学曲线的凹凸性、拐点及渐近线

正确答案：C

根据渐近线的定义可知：

x \to \infty lim \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} - 1} = x \to \infty lim \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x ^{2}}} = 1

因此直线 $y = 1$ 为已知曲线的水平渐近线。

又由

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} - 1} = x \to 1 lim \frac{x ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = x \to 1 lim \frac{x}{x - 1} = \infty

得 $x = 1$ 为垂直渐近线。

当 $x \to - 1$ 时：

x \to - 1 lim \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} - 1} = x \to - 1 lim \frac{x ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = x \to - 1 lim \frac{x}{x - 1} = \frac{- 1}{- 2} = \frac{1}{2}

该极限存在，故 $x = - 1$ 不是垂直渐近线。

没有斜渐近线，因此选 (C)。

2

设函数 $f (x) = (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 2) \dots (e^{n x} - n)$ ，其中 $n$ 为正整数，则 $f^{'} (0) =$

高等数学一元函数微分学导数与微分的计算

正确答案：A

方法一：令 $g (x) = (e^{2 x} - 2) \dots (e^{n x} - n)$ ，则

f (x) = (e^{x} - 1) g (x)

f^{'} (x) = e^{x} g (x) + (e^{x} - 1) g^{'} (x)

f^{'} (0) = e^{0} g (0) + (e^{0} - 1) g^{'} (0) = 1 \cdot g (0) + 0 \cdot g^{'} (0) = g (0)

又

g (0) = (- 1) \cdot (- 2) \dots (- (n - 1)) = (- 1)^{n - 1} (n - 1)!

故应选 (A)。

方法二：由于 $f (0) = 0$ ，由导数定义知

f^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x} = x \to 0 lim \frac{( e ^{x} - 1 ) ( e ^{2 x} - 2 ) \dots ( e ^{n x} - n )}{x} = x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} \cdot x \to 0 lim (e^{2 x} - 2) \dots (e^{n x} - n) = 1 \cdot (- 1) \cdot (- 2) \dots (- (n - 1)) = (- 1)^{n - 1} (n - 1)!

方法三：排除法，取 $n = 2$ ，则

f (x) = (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 2)

f^{'} (x) = e^{x} (e^{2 x} - 2) + 2 e^{2 x} (e^{x} - 1)

f^{'} (0) = 1 \cdot (1 - 2) + 2 \cdot 1 \cdot (1 - 1) = - 1 + 0 = - 1

将 $n = 2$ 代入各选项，(A) 为 $(- 1)^{1} \cdot 1! = - 1$ ，符合；(B)、(C)、(D) 均不正确，故应选 (A)。

3

设 $a_{n} > 0 (n = 1, 2, \dots)$ ， $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ，则数列 ${S_{n}}$ 有界是数列 ${a_{n}}$ 收敛的

高等数学函数、极限、连续数列敛散性的判定

正确答案：B

根据题意可知， $a_{n} > 0$ ，因此数列 ${S_{n}}$ 是单调递增数列。

若 ${S_{n}}$ 有界，则 $lim_{n \to \infty} S_{n}$ 存在，就有

n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim (S_{n} - S_{n - 1}) = 0,

得数列 ${a_{n}}$ 收敛，故数列 ${S_{n}}$ 有界是数列 ${a_{n}}$ 收敛的充分条件。

反之，若 ${a_{n}}$ 收敛，例如取 $a_{n} = 1$ ，满足 ${a_{n}}$ 收敛（极限为 1），但 $S_{n} = n$ ， ${S_{n}}$ 无上界，因此 ${S_{n}}$ 不一定有界。

所以应选 (B)。

4

设 $I_{k} = \int_{0}^{kπ} e^{x^{2}} sin x d x (k = 1, 2, 3)$ ，则有（）

高等数学一元函数积分学定积分的计算

正确答案：D

根据题意可知

I_{1} = \int_{0}^{π} e^{x^{2}} sin x d x

I_{2} = \int_{0}^{2 π} e^{x^{2}} sin x d x

I_{3} = \int_{0}^{3 π} e^{x^{2}} sin x d x

由于 $I_{2} - I_{1} = \int_{π}^{2 π} e^{x^{2}} sin x d x$ ，由积分中值定理，存在 $ξ_{1} \in (π, 2 π)$ ，使得

\int_{π}^{2 π} e^{x^{2}} sin x d x = e^{ξ_{1}^{2}} sin ξ_{1} \cdot π

在 $(π, 2 π)$ 内 $sin ξ_{1} < 0$ ，故 $I_{2} - I_{1} < 0$ ，即 $I_{2} < I_{1}$ 。

再有 $I_{3} - I_{2} = \int_{2 π}^{3 π} e^{x^{2}} sin x d x$ ，存在 $ξ_{2} \in (2 π, 3 π)$ ，使得

\int_{2 π}^{3 π} e^{x^{2}} sin x d x = e^{ξ_{2}^{2}} sin ξ_{2} \cdot π

在 $(2 π, 3 π)$ 内 $sin ξ_{2} > 0$ ，故 $I_{3} - I_{2} > 0$ ，即 $I_{3} > I_{2}$ 。

最后比较 $I_{3}$ 与 $I_{1}$ ， $I_{3} - I_{1} = \int_{π}^{3 π} e^{x^{2}} sin x d x$ ，令 $t = x - 2 π$ ，则

I_{3} - I_{1} = \int_{- π}^{π} e^{(t + 2 π)^{2}} sin (t + 2 π) d t = \int_{- π}^{π} e^{(t + 2 π)^{2}} sin t d t = \int_{0}^{π} e^{(t + 2 π)^{2}} sin t d t + \int_{- π}^{0} e^{(t + 2 π)^{2}} sin t d t = \int_{0}^{π} e^{(t + 2 π)^{2}} sin t d t - \int_{0}^{π} e^{(2 π - t)^{2}} sin t d t = \int_{0}^{π} [e^{(t + 2 π)^{2}} - e^{(2 π - t)^{2}}] sin t d t

因为 $t + 2 π > 2 π - t$ （ $t \in (0, π)$ ），所以 $e^{(t + 2 π)^{2}} > e^{(2 π - t)^{2}}$ ，则被积函数大于 0，故 $I_{3} - I_{1} > 0$ ，即 $I_{3} > I_{1}$ 。

综上， $I_{2} < I_{1} < I_{3}$ 。

5

设函数 $f (x, y)$ 可微，且对任意的 $x, y$ 都有

\frac{\partial f ( x , y )}{\partial x} > 0, \frac{\partial f ( x , y )}{\partial y} < 0,

则使不等式 $f (x_{1}, y_{1}) < f (x_{2}, y_{2})$ 成立的一个充分条件是（）

高等数学多元函数微分学多元函数的极值问题

正确答案：D

因为 $\frac{\partial f ( x , y )}{\partial x} > 0$ ，所以当 $x_{1} < x_{2}$ 时， $f (x_{1}, y) < f (x_{2}, y)$ 。

又因为 $\frac{\partial f ( x , y )}{\partial y} < 0$ ，所以当 $y_{1} > y_{2}$ 时， $f (x_{2}, y_{1}) < f (x_{2}, y_{2})$ 。

因此，当 $x_{1} < x_{2}$ 且 $y_{1} > y_{2}$ 时， $f (x_{1}, y_{1}) < f (x_{2}, y_{2})$ 。

6

设区域 $D$ 由曲线 $y = sin x, x = \pm \frac{π}{2}, y = 1$ 以及 $x = π$ 围成，则

\iint_{D} (x y^{'} - 1) d x d y =

高等数学多元函数积分学重积分的计算

正确答案：D

【解析】将题中二重积分转化为X型二重积分：

\iint_{D} (x y^{5} - 1) d x d y = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d x \int_{s i n x}^{1} (x y^{5} - 1) d y = - π

7

设 $α_{1} = 00 c_{1}$ ， $α_{2} = 01 c_{2}$ ， $α_{3} = 1 - 1 c_{3}$ ， $α_{4} = - 1 1 c_{4}$ ，其中 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）

线性代数向量向量组的线性相关性

正确答案：C

对于选项 (C)，向量组 $α_{1}, α_{3}, α_{4}$ 构成的矩阵为：

00 c_{1} 1 - 1 c_{3} - 1 1 c_{4}

前两行成比例，第二行是第一行的 $- 1$ 倍，因此矩阵的秩小于 3，该向量组线性相关。

其他选项中，(A)、(B)、(D) 的向量组前两列构成的子矩阵秩为 2，第三列无法由前两列线性表示。根据选项设计，(C) 明显存在线性相关关系，故应选 (C)。

8

设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵， $P$ 为 $3$ 阶可逆矩阵，且 $P^{- 1} A P = 100010002$ 。
若 $P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ ， $Q = (α_{1} + α_{2}, α_{2}, α_{3})$ ，则 $Q^{- 1} A Q =$ （）

线性代数矩阵矩阵的相似与相似对角化

正确答案：B

根据题意有 $Q = P 010100001$ ，从而

Q^{- 1} = 010100001^{- 1} P^{- 1} = 010100001 P^{- 1}

所以

Q^{- 1} A Q = 010100001 P^{- 1} A P 010100001

= 010100001100010002010100001

= 100010002

应选 (B)。

填空题

9

（填空题）设 $y = y (x)$ 是由方程 $x^{2} - y + 1 = e^{y}$ 所确定的隐函数，则 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{x = 0} =$

高等数学一元函数微分学导数与微分的计算

10

（填空题）

n \to \infty lim n (\frac{1}{1 + n ^{2}} + \frac{1}{2 ^{2} + n ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2} + n ^{2}}) =

高等数学一元函数积分学定积分的概念、性质及几何意义

11

（填空题）设 $z = f (ln x + \frac{1}{y})$ ，其中函数 $f (u)$ 可微，则 $x \frac{\partial z}{\partial x} + y^{2} \frac{\partial z}{\partial y} =$

高等数学多元函数微分学全微分的概念与计算

12

（填空题）设 $y d x + (x - 3 y^{2}) d y = 0$ ，且当 $x = 1$ 时 $y = 1$ ，求方程的解为 $y =$

高等数学常微分方程一阶非齐次线性微分方程

13

（填空题）曲线 $y = x^{2} + x$ （ $x < 0$ ）上曲率为 $\frac{2}{2}$ 的点的坐标是 ______

高等数学一元函数微分学导数的几何意义

14

（填空题）设 $A$ 为 3 阶矩阵， $∣ A ∣ = 3$ ， $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若交换 $A$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $B$ ，则 $∣ B A^{*} ∣ =$

线性代数矩阵伴随矩阵与可逆矩阵

解答题

15

（本题满分 10 分）

已知函数 $f (x) = \frac{1 + x}{s i n x} - \frac{1}{x}$ ，记 $a = lim_{x \to 0} f (x)$

(I) 求 $a$ 的值；

(II) 若 $x \to 0$ 时， $f (x) - a$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小，求常数 $k$ 的值。

高等数学函数、极限、连续无穷小量的比较

16

（本题满分 10 分）

求函数 $f (x, y) = x e^{- \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2}}$ 的极值。

高等数学多元函数微分学多元函数的极值问题

17

（本题满分 10 分）

过点 $(0, 1)$ 作曲线 $L : y = ln x$ 的切线，切点为 $A$ ，又 $L$ 与 $x$ 轴交于 $B$ 点，区域 $D$ 由 $L$ 与直线 $A B$ 围成，求区域 $D$ 的面积及 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

高等数学一元函数积分学定积分的应用

18

（本题满分 10 分）

计算二重积分 $\iint_{D} x y d σ$ ，其中区域 $D$ 为曲线 $r = 1 + cos θ (0 \leq θ \leq π)$ 与极轴围成。

高等数学多元函数积分学重积分的计算

19

（本题满分 10 分）

已知函数 $f (x)$ 满足方程 $f^{''} (x) + f^{'} (x) - 2 f (x) = 0$ 及 $f^{''} (x) + f (x) = 2 e^{x}$ ，

(I) 求 $f (x)$ 的表达式；

(II) 求曲线 $y = f (x^{2}) \int_{0}^{x} f (- t^{2}) d t$ 的拐点。

高等数学常微分方程常系数非齐次线性微分方程

20

（本题满分 11 分）

证明：

x ln \frac{1 + x}{1 - x} + cos x \geq 1 + \frac{x ^{2}}{2} (- 1 < x < 1)

高等数学一元函数微分学不等式的证明

21

（本题满分 11 分）

(I) 证明方程 $x^{n} + x^{n - 1} + \dots + x = 1$ （ $n$ 为大于 1 的整数）在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个实根；

(II) 记 (I) 中的实根为 $x_{n}$ ，证明 $lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限。

高等数学一元函数微分学方程根的存在性与个数

22

（本题满分 11 分）

设

A = 100 a a 100 0 a 10 00 a 1, β = 1 - 1 00

(I) 计算行列式 $∣ A ∣$ ，
(II) 当实数 $a$ 为何值时，方程组 $A x = β$ 有无穷多解，并求其通解。

线性代数矩阵伴随矩阵与可逆矩阵

23

（本题满分 11 分）

设

A = 10 - 1 0 010 a 11 a - 1,

二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{T} (A^{T} A) x .

（I）求实数 $a$ 的值；

（II）求正交变换 $x = Q y$ 将 $f$ 化为标准形。

线性代数二次型