2011 年真题

【答案】 $\sqrt{2}$

【解析】
首先，我们考虑极限：

为了简化计算，我们取自然对数并利用指数函数的连续性：

接下来，我们处理指数部分：

注意到：

因此，我们可以将极限改写为：

当 $x\to 0$ 时， $\frac{2^x-1}{2}$ 是一个无穷小量，因此我们可以使用近似公式 $\ln (1+y)\approx y$ 当 $y\to 0$ 时：

于是：

进一步化简：

我们知道：

因此：

最后，代入指数函数：

所以：

【答案】 $y=e^{-x}\sin x$

【解析】 已知方程的解为：

代入初始条件 $y(0)=0$ 得：

因此 $C=0$ 。

最终解为：

【答案】 $\ln (\sqrt{2}+1)$

【解析】
要计算积分

首先，利用三角恒等式

因此

在区间 $[0,\frac{\pi }{4}]$ 上， $\sec x>0$ ，所以

于是积分变为

已知

因此

代入上下限：
当 $x=\frac{\pi }{4}$ 时，

所以

当 $x=0$ 时，

所以

因此

最终结果为

【答案】 $\frac{1}{\lambda }$

【解析】 已知指数分布的概率密度函数为 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ，其中 $x\ge 0$ ， $\lambda >0$ 。

其数学期望为：

令 $u=x$ ， $dv=\lambda e^{-\lambda x}dx$ ，则 $du=dx$ ， $v=-e^{-\lambda x}$ 。

使用分部积分法：

第一项在 $x\to +\infty$ 时趋于 0，在 $x=0$ 时也为 0，因此该项为 0。

于是：

当 $x\to +\infty$ 时， $e^{-\lambda x}\to 0$ ；当 $x=0$ 时， $e^{-\lambda x}=1$ 。

因此：

所以指数分布的数学期望为 $\frac{1}{\lambda }$ 。

【答案】 $\frac{9}{32}$

【解析】
计算二重积分 ${\iint }_{D}xyd\sigma$ ，其中区域 $D$ 由极坐标给出。

首先，将积分转换为极坐标形式：

先对 $r$ 进行积分：

代入原式：

令 $u=\sin \theta$ ，则 $du=\cos \theta d\theta$ ，积分上下限变为：

代入得：

因此，积分结果为：

原答案中给出的 $\frac{7}{12}$ 有误，正确结果应为 $\frac{9}{32}$ 。

【答案】 2

【解析】 【详解1】二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+3x_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3$ 可通过配方法化为 $y_1^2+4y_2^2$ ，因此正惯性指数为 2。

【详解2】本题也可通过求二次型矩阵的特征值，进一步得到正惯性指数为 2。

【答案】 $\frac{1}{3}<a<1$

【解析】 解：由 ${\lim }_{x\to +\infty }F(x)=0$ ，所以至少 $a>0$ 。

由 ${\lim }_{x\to 0^{+}}F(x)=0$ ，可得

因此 $2>3a-1$ ，即 $a<1$ 。

又由 ${\lim }_{x\to +\infty }F(x)=0$ ，可得

即 $3-3a<2$ ，所以 $a>\frac{1}{3}$ 。

综上， $\frac{1}{3}<a<1$ 。

【答案】

• 极小值点：当 $t=1$ 时， $(x,y)=\left(\frac{5}{3},-\frac{1}{3}\right)$
• 极大值点：当 $t=-1$ 时， $(x,y)=\left(-1,1\right)$
• 拐点：当 $t=0$ 时， $(x,y)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$
• 凸区间： $t<0$
• 凹区间： $t>0$

【解析】
解：

当 $t=1$ 时， $x=\frac{5}{3}$ ， $y=-\frac{1}{3}$ ，是极小值。

当 $t=-1$ 时， $x=-1$ ， $y=1$ ，是极大值。

当 $t=0$ 时， $x=\frac{1}{3}$ ， $y=\frac{1}{3}$ ，是拐点。

当 $t<0$ 时，是凸区间。

当 $t>0$ 时，是凹区间。

【答案】

【解析】
【详解】

首先，我们计算一阶偏导数：

接着，计算二阶混合偏导数：

已知 $g(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，因此：

代入 $x=1$ ， $y=1$ 及 $g^{\prime }(1)=0$ ，得到：

【答案】 $y(x)=\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{2}{e}^x\right)-\frac{\pi }{4}$

【解析】 由题意知 $y(0)=0$ ， $y^{\prime }(0)=1$ 。因为 $\alpha$ 为曲线 $l$ 在点 $(x,y)$ 处切线的倾角，所以 $\tan \alpha =\frac{dy}{dx}$ 。

两边同时对 $x$ 求导，得：

由题知 $\frac{d\alpha }{dx}=\frac{dy}{dx}$ ，且 ${\sec }^2\alpha =1+{\tan }^2\alpha$ ，代入得：

结合初值条件，得到微分方程组：

此方程不显含 $x$ ，令 $y^{\prime }=p$ ，则 $y^{\prime \prime }=p\frac{dp}{dy}$ ，代入方程得：

若 $p\ne 0$ ，两边除以 $p$ 得：

分离变量得：

积分得：

即：

由 $y^{\prime }(0)=1$ ，代入得：

因此：

此为可分离变量方程，改写为：

分离变量得：

积分得：

即：

由 $y(0)=0$ 得：

因此：

解得：

【答案】 见解析

【解析】 证明：

① 先证明当 $0⩽x⩽1$ 时，有

可以利用导数得到函数单调性，结论是明显的。令 $x=\frac{1}{n}$ ，就得到证明结论。

② 先证明数列 $\{{\mathbf{a}}_n\}$ 单调递减：

再证明数列 $\{{\mathbf{a}}_n\}$ 有下界：

所以数列 $\{{\mathbf{a}}_n\}$ 收敛。

【答案】
（Ⅰ） $\frac{9}{4}\pi$
（Ⅱ） $\frac{27}{4}\pi \times 10^{3}g$

【解析】
(I) 容积 $V=V_1+V_2=2V_1=2\pi {\int }_{\frac{1}{2}}^1\left(1-y^2\right)dy=\frac{9}{4}\pi$ 。

(II) 功 $W={\int }_1^2\rho g\cdot \pi x^2(y)\cdot (2-y)dy$ 。

由于积分区间跨越上下两部分，需分段处理：

上半部分对应 $x^2(y)=2y-y^2$ ，下半部分对应 $x^2(y)=1-y^2$ 。

因此：

最终结果为：

【答案】 $I=a$

【解析】 根据二重积分的计算，有：

对内部积分进行计算：

代入原式：

进一步计算：

【答案】
（Ⅰ） $a=5$ 。
（Ⅱ） (β1​​β2​​β3​​)=(α1​​α2​​α3​​)​24−1​120​510−2​​ 。

【解析】
(1) 易知 ${\mathbf{\alpha }}_1$ ， ${\mathbf{\alpha }}_2$ ， ${\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关。由于它们不能被 ${\mathbf{\beta }}_1$ ， ${\mathbf{\beta }}_2$ ， ${\mathbf{\beta }}_3$ 线性表出，可得 ${\mathbf{\beta }}_1$ ， ${\mathbf{\beta }}_2$ ， ${\mathbf{\beta }}_3$ 线性相关，从而 $r({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)<3$ 。