2009 年真题

【答案】 $y=2x$

【解析】
曲线

在 $t=1$ 处的切线方程为

【解析】
已知 $\frac{dy}{dt}=2t\ln (2-t^2)+t^2\cdot \frac{-2t}{2-t^2}$ ，将 $t=1$ 代入得

又 $\frac{dx}{dt}=e^{-(1-t{)}^2}\cdot (-1)$ ，将 $t=1$ 代入得

因此

当 $t=1$ 时，

切线方程为

【答案】 $k=-2$

【解析】 首先计算积分：

进一步计算：

为使极限存在，需满足 $k<0$ ，此时：

解得：

【答案】 0

【解析】 令 $I_n={\int }_0^1{e}^{-x}\sin nxdx$ ，利用分部积分法可得：

则：

【答案】 -3

【解析】
对方程两边求导得 $y+x{y}^{\prime }+e^y{y}^{\prime }=1$ 。

当 $x=0$ 时，代入原方程得 $0+e^y=0+1$ ，即 $y=0$ 。

此时 $0+0+e^0{y}^{\prime }=1$ ，解得 $y^{\prime }(0)=1$ 。

再对 $y+x{y}^{\prime }+e^y{y}^{\prime }=1$ 求导得：

将 $x=0$ 、 $y=0$ 、 $y^{\prime }(0)=1$ 代入得：

解得 $y^{\prime \prime }(0)=-3$ 。

【答案】 $e^{-\frac{2}{e}}$

【解析】
函数 $y=x^{2x}=e^{2x\ln x}$ ，求导得

令 $y^{\prime }=0$ ，得 $\ln x=-1$ ，即 $x=\frac{1}{e}$ 。

当 $0<x<\frac{1}{e}$ 时， $\ln x<-1$ ，因此 $2\ln x+2<0$ ，即 $y^{\prime }<0$ ；
当 $x>\frac{1}{e}$ 时， $\ln x>-1$ ，因此 $2\ln x+2>0$ ，即 $y^{\prime }>0$ 。

所以 $x=\frac{1}{e}$ 为极小值点，最小值为

【答案】 2

【解析】 $\alpha {\beta }^{\top }$ 为矩阵，其主对角线元素之和为 ${\beta }^{\top }\alpha$ 。

矩阵

的主对角线元素之和为 $2+0+0=2$ ，故 ${\beta }^{\top }\alpha =2$ 。

【答案】 $\frac{1}{4}$

【解析】

【答案】 $\int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right)dx=x\ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right)+\frac{1}{2}\ln (\sqrt{1+x}+\sqrt{x})+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sqrt{x+x^2}+C$

【解析】 令 $\sqrt{\frac{1+x}{x}}=t$ ，得 $x=\frac{1}{t^2-1}$ ， $dx=\frac{-2t}{(t^2-1{)}^2}dt$ 。

而

所以

【答案】
$\frac{\partial z}{\partial x}=f_1^{\prime }+f_2^{\prime }+y{f}_3^{\prime }$
$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=f_3^{\prime }+f_{11}^{\prime \prime }-f_{22}^{\prime \prime }+xy{f}_{33}^{\prime \prime }+(x+y)f_{13}^{\prime \prime }+(x-y)f_{23}^{\prime \prime }$

【解析】

【答案】 $\frac{17\pi }{6}$

【解析】 解微分方程 $x{y}^{\prime \prime }-y^{\prime }+2=0$ ，令 $p=y^{\prime }$ ，则方程化为 $x{p}^{\prime }-p+2=0$ ，即

其通解为

所以 $y^{\prime }=2+C_{1}x$ ，积分得

因为曲线过原点，所以 $C_2=0$ ，即

由区域 $D$ 的面积为 2，得

即

解得 $C_1=6$ 。

所以

$D$ 绕 $y$ 轴旋转所得旋转体体积用柱壳法计算：

【答案】 $-\frac{8}{3}$

【解析】 区域 $D$ 是以 $(1,1)$ 为圆心、 $\sqrt{2}$ 为半径的圆中 $y\ge x$ 的部分。使用极坐标变换，令 $x=1+r\cos \theta$ ， $y=1+r\sin \theta$ ，则 $r\le \sqrt{2}$ ， $\theta$ 的范围为 $\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{5\pi }{4}$ 。

【答案】

【解析】
由题意，当 $-\pi <x<0$ 时， $y=-\frac{x}{y^{\prime }}$ ，即 $ydy=-xdx$ ，得 $y^2=-x^2+c$ 。

将 $y\left(-\frac{\pi }{\sqrt{2}}\right)=\frac{\pi }{\sqrt{2}}$ 代入 $y^2=-x^2+c$ ，得 $c={\pi }^2$ ，从而有 $x^2+y^2={\pi }^2$ 。

当 $0\le x<\pi$ 时， $y^{\prime \prime }+y+x=0$ ，得 $y^{\prime \prime }+y=0$ 的通解为 $y^{\ast }=c_1\cos x+c_2\sin x$ 。

令特解为 $y_1=Ax+b$ ，代入得 $0+Ax+b+x=0$ ，解得 $A=-1$ ， $b=0$ ，故 $y_1=-x$ 。

因此 $y^{\prime \prime }+y+x=0$ 的通解为 $y=c_1\cos x+c_2\sin x-x$ 。

由于 $y=y(x)$ 是 $(-\pi ,\pi )$ 内的光滑曲线，故 $y$ 在 $x=0$ 处连续。

由 $y(0^{-})=\pm \pi$ ， $y(0^{+})=c_1$ ，得 $c_1=\pm \pi$ 时， $y=y(x)$ 在 $x=0$ 处连续。

当 $-\pi <x<0$ 时，由 $2x+2y\cdot y^{\prime }=0$ ，得 $y_{-}^{\prime }(0)=-\frac{x}{y}=0$ 。

当 $0\le x<\pi$ 时， $y^{\prime }=-c_1\sin x+c_2\cos x-1$ ，得 $y_{+}^{\prime }(0)=c_2-1$ 。