2026 年真题

【解析】
由方程 $x-az=e^{y+az}$ 确定隐函数 $z=z(x,y)$ 。

对 $x$ 求偏导数（ $y$ 为常数）得：

解得：

对 $y$ 求偏导数（ $x$ 为常数）得：

解得：

计算：

故选项 A 正确。

【解析】 考虑幂级数

令 $b_n={\left(\frac{3+(-1{)}^n}{4}\right)}^n$ ，则级数可写成

由于 $x$ 的指数为 $2n$ ，可设 $y=x^2$ ，从而转化为

计算 $b_n$ ：

• 当 $n$ 为偶数时， $(-1{)}^n=1$ ，故
  $b_n={\left(\frac{4}{4}\right)}^n=1;$
• 当 $n$ 为奇数时， $(-1{)}^n=-1$ ，故
  $b_n={\left(\frac{2}{4}\right)}^n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n.$

使用根值判别法求收敛半径：

当 $n$ 为偶数时等于 $1$ ，当 $n$ 为奇数时等于 $\frac{1}{2}$ ，因此

从而级数 $\sum b_n{y}^n$ 的收敛半径为 $R_y=1$ ，即当 $|y|<1$ 时收敛， $|y|>1$ 时发散。

由 $y=x^2$ 得 $|x^2|<1$ ，即 $|x|<1$ 时收敛。
检查端点：当 $|x|=1$ 时， $x^2=1$ ，级数化为 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ 。由于偶数项 $b_n=1$ ，奇数项 $b_n=(1/2{)}^n$ ，部分和中包含无穷多个 $1$ ，故级数发散。

因此，收敛域为 $(-1,1)$ ，对应选项 D。

【解析】
对于选项 A，考虑反例：设 $f(x)=-x+1$ 当 $x<0$ ， $f(0)=100$ ， $f(x)=x+2$ 当 $x>0$ 。在 $(-1,0)$ 上 $f(x)$ 单调递减（导数为负），在 $(0,1)$ 上单调递增（导数为正），但 $f(0)=100$ 比两侧值都大，是极大值而非极小值。因此 A 错误。

对于选项 B，考虑反例：设 $f(x)=x^2(2+\sin (1/x))$ 当 $x\ne 0$ ， $f(0)=0$ 。 $f(0)=0$ 是极小值（因 $f(x)\ge x^2>0$ 当 $x\ne 0$ ），但在任何包含 0 的区间上，由于 $\sin (1/x)$ 震荡， $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 上均不单调。因此 B 错误。

对于选项 C，假设 $f(x)$ 的图形在 $[-1,1]$ 上是凹的（即凹向上，相当于 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ 或 $f$ 为凸函数）。考虑函数 $\phi (x)=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 在 $[-1,1)$ 上。当 $f$ 凹向上时，其导数 $f^{\prime }(x)$ 单调递增。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x$ 与 1 之间，使得 $f(x)-f(1)=f^{\prime }(\xi )(x-1)$ 。由于 $f^{\prime }$ 递增且 $x-1<0$ ，有 $f(x)-f(1)=f^{\prime }(\xi )(x-1)\le f^{\prime }(x)(x-1)$ 。计算 ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)(x-1)-(f(x)-f(1))}{(x-1{)}^2}\ge 0$ ，故 $\phi (x)$ 单调递增。因此 C 正确。

对于选项 D，考虑反例：设 $f(x)=x^4-x^3$ ，则 $f(1)=0$ ， $\phi (x)=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{x^4-x^3}{x-1}=x^3$ 在 $[-1,1)$ 上单调递增（因导数 $3x^2\ge 0$ ）。但 $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-6x=6x(2x-1)$ ，在 $(0,0.5)$ 上 $f^{\prime \prime }(x)<0$ ，故 $f(x)$ 的图形在 $[-1,1]$ 上不是凹的（凹向上需 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ 恒成立）。因此 D 错误。

综上，正确选项为 C。

【解析】 区域 Ω 由曲面

与

围成。被积函数为

适合用球坐标简化。

在球坐标下

体积元为

且有

故被积函数化为

区域 Ω 中的点满足

用球坐标表示：

于是条件化为

所以

由上半球面得

且原点在边界上，故

$\theta$ 自然取

因此积分表达式为

对应选项 C。

选项 A 与 B 采用柱坐标，但

• A 中 $r$ 的上限定为 $2$ ，超出实际范围 $\sqrt{2}$ ；
• B 中 $z$ 的下限为 $0$ ，而不是 $r$ 。

二者均错误。
选项 D 的 $\phi$ 上限为 $\pi /2$ ，包含了圆锥面以下的区域，不符合 Ω 的定义。

正确答案为 C。

【解析】 由题意可知，矩阵 $A$ 的列向量组可由矩阵 $B$ 的列向量组线性表示，即存在矩阵 $C$ 使得

这意味着 $A$ 的列空间 $\mathrm{Col}(A)$ 是 $B$ 的列空间 $\mathrm{Col}(B)$ 的子集，即

线性方程组 $Ax=\beta$ 有解当且仅当 $\beta \in \mathrm{Col}(A)$ ，而 $Bx=\beta$ 有解当且仅当 $\beta \in \mathrm{Col}(B)$ 。
因此，当 $Ax=\beta$ 有解时，有

从而 $Bx=\beta$ 一定有解，故选项 A 正确。

对于选项 C，当 $Bx=\beta$ 有解时， $\beta \in \mathrm{Col}(B)$ ，但 $\beta$ 不一定属于 $\mathrm{Col}(A)$ ，因此 $Ax=\beta$ 不一定有解。反例：取 $B=I$ （单位矩阵）， $A=0$ ，则 $Bx=\beta$ 总有解，但 $Ax=\beta$ 仅当 $\beta =0$ 时有解。

对于选项 B 和 D，考虑转置关系 $A^T=C^T{B}^T$ ，此时

但与 $\mathrm{Col}(B^T)$ 没有直接的包含关系，因此无法由其中一个方程解的存在性推断另一个方程解的存在性，故选项 B 和 D 均不正确。

【解析】
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ 对应的矩阵为

其特征值为

要使方程 $f(x_1,x_2,x_3)=-1$ 表示实圆柱面，矩阵 $A$ 必须满足：

1. 有一个特征值为 0；
2. 其余特征值同号，以保证方程有实数解。

• 当 $a=-4$ 时，特征值为 $0,-6,-6$ 。通过正交变换可将二次型化为
  

  $$-6y_1^2-6y_2^2=-1,$$

  即
  

  $$y_1^2+y_2^2=\frac{1}{6},$$

  表示圆柱面。

• 当 $a=2$ 时，特征值为 $6,0,0$ 。二次型化为
  

  $$6y_1^2=-1,$$

  无实数解，不表示实曲面。

因此，选项 B 中 $a=-4$ 且标准型为 $-6y_1^2-6y_2^2$ 符合要求，该选项正确。

【解析】 计算 $f(t)=E[(X+t{)}^2]$ ，展开得

由于 $X\sim N(1,2)$ ，即均值 $\mu =1$ ，方差 ${\sigma }^2=2$ ，故

代入得

这是一个开口向上的二次函数，最小值在顶点处，顶点

最小值为

因此最小值点为 $-1$ ，最小值为 $2$ ，对应选项 C。

【解析】
由 $Y$ 的分布函数为 $F(ay+b)$ ，可得

这意味着 $X$ 与 $Y$ 满足线性关系

即

已知 $X$ 的数学期望为 $\mu$ ，方差为 ${\sigma }^2$ 。对于线性变换 $Y=\frac{X-b}{a}$ ，其数学期望与方差分别为

根据题意， $\mathbb{E}[Y]=0$ 且 $\mathrm{Var}(Y)=1$ ，因此有

解方程得

故 $a=\sigma ,b=\mu$ ，对应选项 A。

【解析】 首先，计算 $P\{X>k\}$ 对于正整数 $k$ 。由分布 $P\{X=k\}=\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{3^k}$ 可得：

条件概率 $P\{X>m+n\mid X>m\}=\frac{P\{X>m+n\}}{P\{X>m\}}$ ，代入表达式：

其中 $a=\frac{1}{2^{m+1}},b=\frac{1}{2\cdot 3^m}$ 。由于 $\frac{a}{b}={\left(\frac{3}{2}\right)}^m>1$ ，有 $\frac{a}{a+b}>\frac{1}{2}$ 。因此上式是 $2^{-n}$ 和 $3^{-n}$ 的加权平均，且较大权重赋予较大的 $2^{-n}$ 。而 $P\{X>n\}=\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2\cdot 3^n}=\frac{1}{2}{2}^{-n}+\frac{1}{2}{3}^{-n}$ 是等权重平均。比较两者：

因为 $\frac{a}{a+b}>\frac{1}{2}$ 且 $2^{-n}>3^{-n}$ 。故 $P\{X>m+n\mid X>m\}>P\{X>n\}$ 对所有正整数 $m,n$ 成立。

对于其他选项：A 和 B 要求等式成立，但由表达式依赖 $m$ 可知不成立；C 要求大于 $P\{X>m\}$ ，但当 $n$ 较大时可能不成立，例如 $m=1,n=2$ 时 $P\{X>3\mid X>1\}\approx 0.1944<P\{X>1\}\approx 0.4167$ 。因此 D 正确。