2024 年真题

选择题

1

已知函数 $f (x) = \int_{0}^{x} e^{c o s t} d t$ ， $g (x) = \int_{0}^{s i n x} e^{t^{2}} d t$ ，则( )

正确答案：C

解析：由于 $e^{c o s t}$ 是偶函数，所以 $f (x) = \int_{0}^{x} e^{c o s t} d t$ 是奇函数，又 $g^{'} (x) = e^{(s i n x)^{2}} cos x$ 是偶函数，所以 $g (x)$ 是奇函数。

故选 C。

2

已知 $P = P (x, y, z)$ ， $Q = Q (x, y, z)$ 均连续， $\sum$ 为 $z = 1 - x^{2} - y^{2}$ ， $x \leq 0$ ， $y \geq 0$ 的上侧，则 $\iint_{\sum} P d y d z + Q d x d z =$

高等数学多元函数积分学第二类曲面积分

正确答案：A

由转换投影公式。

= = \iint_{Σ} P \cdot (- \frac{\partial z}{\partial x}) d x d y + Q \cdot (- \frac{\partial z}{\partial y}) d x d y \iint_{Σ} [P \cdot (\frac{x}{z}) + Q \cdot (\frac{y}{z})] d x d y \iint_{Σ} (\frac{P x}{z} + \frac{Q y}{z}) d x d y

选 A。

3

已知幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的和函数为 $ln (2 + x)$ ，则 $\sum_{n = 0}^{\infty} n a_{2 n} =$ （）

高等数学无穷级数幂级数的和函数及幂级数展开式

正确答案：A

【解析】

ln (2 + x) = ln (1 + \frac{x}{2}) + ln 2 = ln 2 + n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} \frac{( \frac{x}{2} ) ^{n}}{n} = ln 2 + \frac{x}{2} - \frac{( \frac{x}{2} ) ^{2}}{2} + \frac{( \frac{x}{2} ) ^{3}}{3} - \frac{( \frac{x}{2} ) ^{4}}{4} + \dots - \frac{( \frac{x}{2} ) ^{6}}{6} + \dots

n = 0 \sum \infty n a_{2 n} = 0 + a_{2} + 2 a_{4} + 3 a_{6} + 4 a_{8} + \dots = - \frac{1}{2 \cdot 2 ^{2}} + 2 \cdot (- \frac{1}{2 ^{4} \cdot 4}) - 3 \cdot \frac{1}{2 ^{6} \cdot 6} + \dots = - [\frac{1}{2 ^{3}} + \frac{1}{2 ^{5}} + \frac{1}{2 ^{7}} + \dots] = - [\frac{\frac{1}{2 ^{3}}}{1 - \frac{1}{2 ^{2}}}] = - \frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{4}} = - \frac{1}{8} \times \frac{4}{3} = - \frac{1}{6}

故选 A。

4

设函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上有定义，且 $x \to 0 lim f (x) = 0$ ，则( )

高等数学一元函数微分学导数与微分的概念

正确答案：B

因为 $f^{'} (0) = m$ ，所以 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处连续，

从而 $x \to 0 lim f (x) = f (0) = 0$ ，所以 $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = m$ ，

故选 B.

对于 A 选项， $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = m$ ，推不出来 $f^{'} (0) = m$ ；

对于C选项， $f^{'} (x)$ 在 $x = 0$ 处不一定连续；

对于D选项， $f^{'} (x)$ 在 $x = 0$ 处极限未必存在。

5

在空间直角坐标系 $O - x yz$ 中，三张平面
$π_{i} : a_{i} x + b_{i} y + c_{i} z = d_{i} (i = 1, 2, 3)$ 的位置关系如图所示，

记 $α_{i} = (a_{i}, b_{i}, c_{i})$ ， $β_{i} = (a_{i}, b_{i}, c_{i}, d_{i})$ ，
若

r α_{1} α_{2} α_{3} = m, r β_{1} β_{2} β_{3} = n,

则（）

线性代数线性方程组

正确答案：B

【解析】
由题意知

α_{1} α_{2} α_{3} x_{1} x_{2} x_{3} = d_{1} d_{2} d_{3}

有无穷多解，故

r α_{1} α_{2} α_{3} = r β_{1} β_{2} β_{3} < 3

又由存在两平面的法向量不共线即线性无关，故

r α_{1} α_{2} α_{3} \geq 2

则

r α_{1} α_{2} α_{3} = r β_{1} β_{2} β_{3} = 2

故 $m = n = 2$ ，故选 B。

6

设向量 $α_{1} = a 1 - 1 1$ ， $α_{2} = 11 b a$ ， $α_{3} = 1 a - 1 1$ ，若 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则（）

线性代数向量向量组的线性相关性

正确答案：D

【解析】
由于向量组 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性相关，因此其秩 $r (α_{1}, α_{2}, α_{3}) < 3$ 。
由此可得行列式

a 11 11 a 1 a 1 = 0

解得 $a = 1$ 或 $a = - 2$ 。

当 $a = 1$ 时， $α_{1}$ 与 $α_{3}$ 线性相关，与题意矛盾，因此舍去。
故取 $a = - 2$ 。

进一步，由

a 1 - 1 11 b 1 a - 1 = - 2 1 - 1 11 b 1 - 2 - 1 = 0

解得 $b = 2$ 。

因此，正确答案为 D。

7

设 $A$ 是秩为 $2$ 的 $3$ 阶矩阵， $α$ 是满足 $A α = 0$ 的非零向量，若对满足 $β^{T} α = 0$ 的 $3$ 维列向量 $β$ ，均有 $A β = β$ ，则( )

线性代数矩阵矩阵的秩

正确答案：A

【解析】由 $A α = 0$ 且 $α \neq = 0$ ，故 $λ_{1} = 0$ ，设非零向量 $β_{1}, β_{2}$ 线性无关（因为与 $α$ 垂直的平面中一定存在两个线性无关的向量）且满足 $β_{1}^{T} α = β_{2}^{T} α = 0$ ，则 $A β_{1} = β_{1}, A β_{2} = β_{2}$ ，又由 $β_{1}, β_{2}$ 线性无关，故 $λ = 1$

至少为二重根，故 $λ_{1} = 0, λ_{2} = λ_{3} = 1$ ，故 $A^{3}$ 的特征值为 $0, 1, 1$ ，故 $t r (A^{3}) = 0 + 1 + 1 = 2$ ，故选A.

8

设随机变量 $X$ ， $Y$ 相互独立，且 $X$ 服从正态分布 $N (0, 2)$ ， $Y$ 服从正态分布 $N (- 2, 2)$ ，若 $P {2 X + Y < a} = P {X > Y}$ ，则 $a = ($ )

概率论与数理统计随机变量及其分布

正确答案：B

【解析】 $2 X + Y : N (- 2, 10)$ ， $Y - X : N (- 2, 2^{2})$ ，

所以 $P {2 X + Y < a} = Φ (\frac{a + 2}{10}) = P {Y - X < 0} = Φ (\frac{0 + 2}{2})$ ，

于是 $\frac{a + 2}{10} = \frac{0 + 2}{2}$ ， $a = - 2 + 10$ 。

故选 B.

9

设随机变量 $X$ 的概率密度为

f (x) = {2 (1 - x), 0, 0 < x < 1 其它

在 $X = x (0 < x < 1)$ 的条件下，随机变量 $Y$ 服从区间 $(x, 1)$ 上的均匀分布，则 $Cov (X, Y) =$ （）

概率论与数理统计多维随机变量及其分布协方差与相关系数

正确答案：D

【解析】当 $0 < x < 1$ 时，条件概率密度函数为：

f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{1 - x}, 0, x < y < 1 其他

联合概率密度函数为：

f (x, y) = {2, 0, x < y < 1, 0 < x < 1 其他

计算 $EX Y$ ：

EX Y = - \infty < x < + \infty - \infty < y < + \infty \iint x y f (x, y) d x d y = \int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} 2 x y d x = \frac{1}{4}

计算 $EX$ ：

EX = \int_{0}^{1} x \cdot 2 (1 - x) d x = \frac{1}{3}

计算 $E Y$ ：

E Y = - \infty < x < + \infty - \infty < y < + \infty \iint y f (x, y) d x d y = \int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} 2 y d x = \frac{2}{3}

计算协方差：

Cov (X, Y) = EX Y - EX \cdot E Y = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{36}

故选 D。

10

设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且均服从参数为 $λ$ 的指数分布，令 $Z = ∣ X - Y ∣$ ，则下列随机变量与 $Z$ 同分布的是（）

概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布

正确答案：D

【解析】令 $Z = ∣ X - Y ∣$ ，则 $F_{Z} (z) = P {Z \leq z} = P {∣ X - Y ∣ \leq z}$ 。

当 $z < 0$ 时， $F_{Z} (z) = 0$ ；

当 $z \geq 0$ 时，

F_{Z} (z) = \iint_{∣ x - y ∣ \leq z} f (x, y) d x d y = \iint_{∣ x - y ∣ \leq z} λ e^{- λ x} λ e^{- λ y} d x d y = 2 \int_{0}^{\infty} d y \int_{y}^{y + z} λ e^{- λ x} λ e^{- λ y} d x = 1 - e^{- λ z}

因此，

F_{Z} (z) = {0, 1 - e^{- λ z}, z < 0 z \geq 0

显然， $Z = ∣ X - Y ∣$ 与 $X$ 同分布。

故选 D。

填空题

11

（填空题）若 $lim_{x \to 0} \frac{( 1 + a x ^{2} ) ^{s i n x} - 1}{x ^{3}} = 6$ ，则 $a =$ ______

高等数学函数、极限、连续确定极限中的参数

12

（填空题）设函数 $f (u, v)$ 具有 2 阶连续偏导数，且

df ∣_{(1, 1)} = 3 d u + 4 d v,

令 $y = f (cos x, 1 + x^{2})$ ，则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{x = 0} =

高等数学多元函数微分学偏导数的概念与计算

13

（填空题）已知函数 $f (x) = x + 1$ ，若 $f (x) = \frac{a _{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} cos n x$ ， $x \in [0, π]$ ，则 $lim_{n \to \infty} n^{2} sin a_{2 n - 1} =$ __________

高等数学无穷级数幂级数的和函数及幂级数展开式

14

（填空题）微分方程 $y^{'} = \frac{1}{( x + y ) ^{2}}$ 满足条件 $y (1) = 0$ 的解为______

高等数学常微分方程可分离变量的微分方程与齐次方程

15

（填空题）设实矩阵 $A = (a + 1 a a a)$ ，若对任意实向量 $α = (x_{1} x_{2})$ ， $β = (y_{1} y_{2})$ ， $(α^{T} A β)^{2} \leq α^{T} A α \cdot β^{T} A β$ 都成立，则 $a$ 的取值范围是______

线性代数矩阵伴随矩阵与可逆矩阵

16

（填空题）设随机试验每次成功的概率为 $P$ ，现进行 3 次独立重复试验，在至少成功 1 次的条件下，3 次试验全部成功的概率为 $\frac{4}{13}$ ，则 $P =$ ______

概率论与数理统计随机事件和概率

解答题

17

（本题满分10分）

已知平面区域 $D = {(x, y) ∣ 1 - y^{2} \leq x \leq 1, - 1 \leq y \leq 1}$ ，计算 $\iint_{D} \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} d x d y$

高等数学多元函数积分学重积分的计算

18

（本题满分12分）

已知函数 $f (x, y) = x^{3} + y^{3} - (x + y)^{2} + 3$ ，设 $T$ 是曲面 $z = f (x, y)$ 在点 $(1, 1, 1)$ 处的切平面， $D$ 为 $T$ 与坐标平面所围成的有界区域在 $x O y$ 平面上的投影。

(1) 求 $T$ 的方程

(2) 求 $f (x, y)$ 在 $D$ 上的最大值和最小值

高等数学多元函数微分学多元函数微分学的几何应用

19

（本题满分 12 分）

设函数 $f (x)$ 具有 2 阶导数，且 $f^{'} (0) = f^{'} (1)$ ， $∣ f^{''} (x) ∣ \leq 1$ ，证明：

(1) 当 $x \in (0, 1)$ 时， $∣ f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x ∣ \leq \frac{x ( 1 - x )}{2}$

(2) $\int_{0}^{1} f (x) d x - \frac{f ( 0 ) + f ( 1 )}{2} \leq \frac{1}{12}$

高等数学一元函数微分学微分中值定理

20

（本题满分12分）

已知有向曲线 L 的球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 x$ 与平面 $2 x - z - 1 = 0$ 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分

$\int_{L} (6 x yz - y z^{2}) d x + 2 x^{2} z d y + x yz d z$

高等数学多元函数积分学第二类曲线积分

21

（本题满分 12 分）

已知数列 ${x_{n}}$ ， ${y_{n}}$ ， ${z_{n}}$ 满足 $x_{0} = - 1$ ， $y_{0} = 0$ ， $z_{0} = 2$ ，且

⎩ ⎨ ⎧ x_{n} = - 2 x_{n - 1} + 2 z_{n - 1} y_{n} = - 2 y_{n - 1} - 2 z_{n - 1} z_{n} = - 6 x_{n - 1} - 3 y_{n - 1} + 3 z_{n - 1}

记 $α_{n} = x_{n} y_{n} z_{n}$ ，写出满足 $α_{n} = A α_{n - 1}$ 的矩阵 $A$ ，并求 $A^{n}$ 及 $x_{n}$ ， $y_{n}$ ， $z_{n}$ 。

线性代数矩阵矩阵的运算与变换

22

（本题满分 12 分）

设总体 $X$ 服从 $[0, θ]$ 上的均匀分布，其中 $θ \in (0, + \infty)$ 为未知参数， $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，记 $X_{(n)} = max {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}$ ， $T_{c} = c X_{(n)}$ 。

（1）求 $c$ ，使得 $T_{c}$ 是 $θ$ 的无偏估计；

（2）记 $h (c) = E (T_{c} - θ)^{2}$ ，求 $c$ 使得 $h (c)$ 最小。

概率论与数理统计参数估计与假设检验估计量的无偏性