2023 年真题

选择题

1

曲线 $y = x ln (e + \frac{1}{x - 1})$ 的渐近线方程为（）。

正确答案：B

【解析】

首先，计算斜率 $k$ ：

k = x \to \infty lim \frac{y}{x} = x \to \infty lim \frac{x ln ( e + \frac{1}{x - 1} )}{x} = x \to \infty lim ln (e + \frac{1}{x - 1}) = 1

接着，计算截距 $b$ ：

b = x \to \infty lim (y - k x) = x \to \infty lim [x ln (e + \frac{1}{x - 1}) - x] = x \to \infty lim x [ln (e + \frac{1}{x - 1}) - 1]

进一步化简：

b = x \to \infty lim x ln [1 + \frac{1}{e ( x - 1 )}] = x \to \infty lim \frac{x}{e ( x - 1 )} = \frac{1}{e}

因此，斜渐近线方程为 $y = x + \frac{1}{e}$ 。

2

若微分方程 $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ 的解在 $(- \infty, + \infty)$ 上有界，则（）

高等数学常微分方程常系数齐次线性微分方程

正确答案：C

【解析】二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ 特征方程为： $λ^{2} + aλ + b = 0$

①当 $Δ = a^{2} - 4 b > 0$ 时，设其两不同特征值为 $λ_{1}, λ_{2}$ ，则其通解结构为： $y (x) = C_{1} e^{λ_{1} x} + C_{2} e^{λ_{2} x}$ .

不管 $λ_{1}, λ_{2}$ 的正负如何，其在 $x \to \infty$ 时， $y (x) \to \infty$ ，其必然为无界函数.舍去.

②当 $Δ = a^{2} - 4 b = 0$ 时，设其两相同特征值为 $λ_{1} = λ_{2}$ ，则其通解结构为 $y (x) = (C_{1} + C_{2} x) e^{λ_{1} x}$ . 不管 $λ_{1}, λ_{2}$ 的正负如何，其在 $x \to \infty$ 时， $y (x) \to \infty$ ，其必然为无界函数.舍去.

③当 $Δ = a^{2} - 4 b < 0$ 时，设其两特征值为 $λ_{1, 2} = α \pm β i$ ，则其通解结构为

$y (x) = e^{αx} (C_{1} sin β x + C_{2} cos β x)$ .

若 $α \neq = 0$ ，则 $x \to \infty$ 时， $y (x) = e^{αx} (C_{1} sin β x + C_{2} cos β x)$ 为无界函数，从而 $α = 0$

即当 $α = 0$ 时， $y (x) = C_{1} sin β x + C_{2} cos β x$ 为有界函数.

此时 $Δ = a^{2} - 4 b < 0$ ，即 $a = 0, b > 0$ ，故选（C）.

3

设函数 $y = f (x)$ 由

{x = 2 t + ∣ t ∣ y = ∣ t ∣ sin t

确定，则（）

高等数学一元函数微分学导数与微分的计算

正确答案：C

【解析】由参数方程可得

$f (x) = {\frac{x}{3} sin \frac{x}{3}, - x sin x, x \geq 0 x < 0$

$x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{-} lim f (x) = 0 = f (0)$ ， $f (x)$ 在 $x = 0$ 处连续.

$f^{'} (x) = {\frac{1}{3} sin \frac{x}{3} + \frac{x}{9} cos \frac{x}{3}, - sin x - x cos x, x \geq 0 x < 0$ ，

$x \to 0^{+} lim f^{'} (x) = x \to 0^{-} lim f^{'} (x) = 0 = f^{'} (0)$ ， $f^{'} (x)$ 在 $x = 0$ 处连续.

$f_{+}^{''} (0) = x \to 0^{+} lim \frac{f ^{'} ( x ) - f ^{'} ( 0 )}{x} = x \to 0^{+} lim \frac{\frac{1}{3} s i n \frac{x}{3} + \frac{x}{9} c o s \frac{x}{3}}{x} = \frac{2}{9}$ ;

$f_{-}^{''} (0) = x \to 0^{-} lim \frac{f ^{'} ( x ) - f ^{'} ( 0 )}{x} = x \to 0^{-} lim \frac{- s i n x - x c o s x}{x} = - 2$

$x \to 0^{+} lim f^{''} (x) \neq = x \to 0^{-} lim f^{''} (x)$ ， $f^{''} (x)$ 在 $x = 0$ 处不可导，选C.

4

已知 $a_{n} < b_{n} (n = 1, 2, \dots)$ ，若级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛，则“级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛”是“级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛”的（）

高等数学无穷级数常数项级数敛散性的判定

正确答案：A

【解析】

由条件可知 $\sum_{n = 1}^{\infty} (b_{n} - a_{n})$ 为收敛的正项级数，进而绝对收敛；

设 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，则由 $∣ b_{n} ∣ = ∣ b_{n} - a_{n} + a_{n} ∣ \leq ∣ b_{n} - a_{n} ∣ + ∣ a_{n} ∣$ 与比较，得 $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛；

设 $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛，则由 $∣ a_{n} ∣ = ∣ a_{n} - b_{n} + b_{n} ∣ \leq ∣ a_{n} - b_{n} ∣ + ∣ b_{n} ∣$ 与比较，得 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛；

故为充要条件。

5

已知 $n$ 阶矩阵 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 满足 $A BC = O$ ， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。记矩阵

(O BC A E), (A B O C E), (E A B A B O)

的秩分别为 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 、 $r_{3}$ ，则

线性代数矩阵矩阵的秩

正确答案：B

【解析】

由于初等变换不改变矩阵的秩，因此：

r_{1} = r (O BC A E) = r (- A BC BC O E) = r (O BC O E) = n

r_{2} = r (A B O C E) = r (A B O O E) = n + r (A B)

r_{3} = r (E A B A B O) = r (E O O - A B A B) = n + r (A B A B)

又因为 $r (A B A B) \leq r (A B)$ ，所以选项 B 正确。

6

下列矩阵不能相似于对角矩阵的是（）

线性代数矩阵的相似与相似对角化

正确答案：D

【解析】

选项 A 为上三角矩阵，特征值为主对角元素，且三个特征值互不相同，故可相似对角化。
选项 B 为实对称矩阵，故可相似对角化。
选项 C 的特征值为 $1, 2, 2$ ，二重特征值 $2$ 的特征向量的基础解系含解向量个数为 $2 = 3 - r (C - 2 E)$ ，所以可相似对角化。

故选 D。

7

已知向量 $α_{1} = 123$ ， $α_{2} = 211$ ， $β_{1} = 259$ ， $β_{2} = 101$ 。

若 $γ$ 既可由 $α_{1}, α_{2}$ 线性表示，也可由 $β_{1}, β_{2}$ 线性表示，则 $γ =$

线性代数向量向量组之间的线性表示

正确答案：D

【解析】

由题意可知，设存在常数 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 、 $t_{1}$ 、 $t_{2}$ ，使得：

γ = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2}, γ = t_{1} β_{1} + t_{2} β_{2}

即：

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} = t_{1} β_{1} + t_{2} β_{2}

可得方程组：

⎩ ⎨ ⎧ k_{1} + 2 k_{2} = 2 t_{1} + t_{2} 2 k_{1} + k_{2} = 5 t_{1} + 0 \cdot t_{2} 3 k_{1} + k_{2} = 9 t_{1} + t_{2}

解得：

k_{1} = - 3 k_{2}

即：

γ = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} = - 3 k_{2} α_{1} + k_{2} α_{2} = k_{2} - 1 - 5 - 8 = k 158, k \in R

故选（D）。

8

设随机变量 $X$ 服从参数为 $1$ 的泊松分布，则 $E (∣ X - EX ∣) =$ （　　）

概率论与数理统计随机变量的数字特征数学期望与方差

正确答案：C

【解析】

已知 $X \sim P (1)$ ，则有：

P (X = k) = \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ} = \frac{e ^{- 1}}{k !}, k = 0, 1, 2, \dots

且 $EX = 1$ 。

于是：

E (∣ X - EX ∣) = k = 0 \sum + \infty ∣ x_{k} - EX ∣ \cdot P_{k} = ∣0 - 1∣ \cdot e^{- 1} + ∣1 - 1∣ \cdot e^{- 1} + ∣2 - 1∣ \cdot \frac{e ^{- 1}}{2 !} + \dots + (k - 1) \cdot \frac{1}{k !} e^{- 1} + \dots = e^{- 1} + e^{- 1} k = 2 \sum \infty (k - 1) \cdot \frac{1}{k !} = e^{- 1} + e^{- 1} k = 2 \sum \infty \frac{1}{( k - 1 )!} - e^{- 1} k = 2 \sum \infty \frac{1}{k !} = e^{- 1} + e^{- 1} (e - 1) - e^{- 1} (e - 1 - 1) = \frac{2}{e}

故选（C）。

9

设 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 为来自总体 $N (μ, σ^{2})$ 的简单随机样本， $Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{m}$ 为来自总体 $N (μ, 2 σ^{2})$ 的简单随机样本，且两样本之间相互独立。记

\overline{X} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}, \overline{Y} = \frac{1}{m} i = 1 \sum m Y_{i}, S_{1}^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - \overline{X})^{2}, S_{2}^{2} = \frac{1}{m - 1} i = 1 \sum m (Y_{i} - \overline{Y})^{2} .

则（）

概率论与数理统计数理统计的基本概念

正确答案：D

【解析】
由 $\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)$ 可知：

\frac{( n - 1 ) S _{1}^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1), \frac{( m - 1 ) S _{1}^{2}}{2 σ ^{2}} \sim χ^{2} (m - 1)

又因为两样本相互独立，故

\frac{2 S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} = \frac{\frac{( n - 1 ) S _{1}^{2}}{σ ^{2}} / ( n - 1 )}{\frac{( m - 1 ) S _{1}^{2}}{2 σ ^{2}} / ( m - 1 )} \sim F (n - 1, m - 1)

因此，选择（D）。

10

设 $X_{1}, X_{2}$ 为来自总体 $N (μ, σ^{2})$ 的简单随机样本，其中 $σ (σ > 0)$ 是未知参数，若 $\overset{σ}{^} = a ∣ X_{1} - X_{2} ∣$ 为 $σ$ 的无偏估计，则 $a =$ （）

概率论与数理统计参数估计与假设检验估计量的无偏性

正确答案：A

【解析】
因为 $X_{1}, X_{2}$ 为来自总体 $N (μ, σ^{2})$ 的简单随机样本，故

(X_{1} - X_{2}) \sim N (0, 2 σ^{2}) .

令 $Y = X_{1} - X_{2}$ ，则随机变量 $Y$ 的概率密度为：

f (y) = \frac{1}{2 π \cdot 2 σ} e^{- \frac{y ^{2}}{4 σ ^{2}}}, - \infty < y < + \infty.

则

E (\overset{σ}{^}) = a \int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ y ∣ \cdot \frac{1}{2 π \cdot σ} e^{- \frac{y ^{2}}{4 σ ^{2}}} d y = \frac{a}{π σ} \int_{0}^{+ \infty} y e^{- \frac{y ^{2}}{4 σ ^{2}}} d y = - \frac{2 aσ}{π} \int_{0}^{+ \infty} e^{- \frac{y ^{2}}{4 σ ^{2}}} d (- \frac{y ^{2}}{4 σ ^{2}}) = \frac{2 aσ}{π} .

因 $E (\overset{σ}{^}) = σ$ ，则

a = \frac{π}{2},

选（A）。

填空题

11

（填空题）当 $x \to 0$ 时，函数 $f (x) = a x + b x^{2} + ln (1 + x)$ 与 $g (x) = e^{x^{2}} - cos x$ 是等价无穷小，则 $ab =$ __________.

高等数学函数、极限、连续无穷小量的比较

12

（填空题）曲面 $z = x + 2 y + ln (1 + x^{2} + y^{2})$ 在点 $(0, 0, 0)$ 处的切平面方程为__________.

高等数学多元函数微分学多元函数微分学的几何应用

13

（填空题）设 $f (x)$ 是周期为 $2$ 的周期函数，且 $f (x) = 1 - x, x \in [0, 1]$ ，若 $f (x) = \frac{a _{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} cos nπ x$ ，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n} =$ __________。