2020 年真题

选择题

1

当 $x \to 0^{+}$ 时,下列无穷小量中最高阶的是( ).

高等数学无穷级数幂级数的和函数及幂级数展开式

正确答案：D

【解】当 $x \to 0^{+}$ 时, $\int_{0}^{x} (e^{t^{2}} - 1) d t \sim \int_{0}^{x} t^{2} d t = \frac{1}{3} x^{3}$ ;

$\int_{0}^{x} ln (1 + t^{3}) d t \sim \int_{0}^{x} t^{\frac{3}{2}} d t = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ ;

$\int_{0}^{s i n x} sin t^{2} d t \sim \int_{0}^{x} t^{2} d t = \frac{1}{3} x^{3}$ ;

$\int_{0}^{1 - c o s x} sin t^{3} d t \sim \int_{0}^{\frac{1}{2} x^{2}} t^{\frac{3}{2}} d t = \frac{2}{20} x^{5}$ ,

应选(D).

2

设函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内有定义,且 $lim_{x \to 0} f (x) = 0$ ,则

高等数学一元函数微分学导数与微分的概念

正确答案：C

【解析】当 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处可导,则 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处连续, $f (0) = lim_{x \to 0} f (x) = 0$ ,

f^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x}, 可得 x \to 0 lim \frac{f ( x )}{∣ x ∣} = x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} \cdot \frac{x}{∣ x ∣}

x \to 0^{+} lim \frac{f ( x )}{x} \cdot \frac{x}{∣ x ∣} = x \to 0^{+} lim \frac{f ( x )}{x} \cdot \frac{x}{x} = x \to 0^{+} lim \frac{f ( x )}{x} \cdot x = f^{'} (0) \cdot 0 = 0,

x \to 0^{-} lim \frac{f ( x )}{x} \cdot \frac{x}{∣ x ∣} = x \to 0^{-} lim \frac{f ( x )}{x} \cdot \frac{x}{- x} = x \to 0^{-} lim \frac{f ( x )}{x} \cdot (- - x) = f^{'} (0) \cdot 0 = 0,

即 $lim_{x \to 0} \frac{f ( x )}{∣ x ∣} = 0$ ,故选(C)

3

设函数 $f (x)$ 在点 $(0, 0)$ 处可微， $f (0, 0) = 0$ ， $n = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, - 1)_{(0, 0)}$ 且非零向量 $d$ 与 $n$ 垂直，则

高等数学多元函数微分学多元函数微分学的几何应用

正确答案：A

【解析】因为 $f (x, y)$ 在 $(0, 0)$ 处可微， $f (0, 0) = 0$ ，所以 $x \to 0 y \to 0 lim \frac{f ( x , y ) - f ( 0 , 0 ) - f _{x}^{'} ( 0 , 0 ) \cdot x - f _{y}^{'} ( 0 , 0 ) \cdot y}{x ^{2} + y ^{2}} = 0$ 即 $x \to 0 y \to 0 lim \frac{f ( x , y ) - f _{x}^{'} ( 0 , 0 ) \cdot x - f _{y}^{'} ( 0 , 0 ) \cdot y}{x ^{2} + y ^{2}} = 0$

因为 $n \cdot (x, y, f (x, y)) = f_{x}^{'} (0, 0) x + f_{y}^{'} (0, 0) y - f (x, y)$ ，

所以 $(x, y) \to (0, 0) lim \frac{∣ n \cdot ( x , y , f ( x , y )) ∣}{x ^{2} + y ^{2}} = 0$ 存在，故选 $(A)$ 。

4

设 $R$ 为幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径。 $r$ 是实数,则

高等数学无穷级数求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域

正确答案：A
【解析】由题知当

∣ r ∣ < R

时，幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}

收敛，所以当

∣ r ∣ < R

时，

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} r^{2 n}

收敛，因其逆否命题也成立，所以若当

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} r^{2 n}

发散时，

∣ r ∣ \geq R

，故选 (A) 。

5

若矩阵 $A$ 经初等列变换化成 $B$ ,则

线性代数矩阵矩阵的运算与变换

正确答案：B
【解析】

A

经初等列变换化成

B

，所以存在可逆矩阵

P_{1}

使得

A P_{1} = B

，所以

A = B P_{1}^{- 1}

。令

P = P_{1}^{- 1}

，所以

A = BP

。故选(B)。

6

已知直线 $L_{1}$ : $\frac{x - a _{2}}{a _{1}} = \frac{y - b _{2}}{b _{1}} = \frac{z - c _{2}}{c _{1}}$ 与直线 $L_{2}$ : $\frac{x - a _{3}}{a _{2}} = \frac{y - b _{3}}{b _{2}} = \frac{z - c _{3}}{c _{2}}$ 相交于一点，向量 $α_{i} = (a_{i}, b_{i}, c_{i})^{T}$ , $i = 1, 2, 3$ ,则

线性代数向量向量组的线性相关性

正确答案：C

【解析】令 $L_{1}$ 的方程 $\frac{x - a _{2}}{a _{1}} = \frac{y - b _{2}}{b _{1}} = \frac{z - c _{2}}{c _{1}} = t$ ,即有

$x y z = a_{2} b_{2} c_{2} + t a_{1} b_{1} c_{1} = α_{2} + t α_{1}$

$L_{2}$ 方程为 $x y z = a_{3} b_{3} c_{3} + t a_{2} b_{2} c_{2} = α_{3} + t α_{2}$ ，由直线 $L_{1}$ 与 $L_{2}$ 相交得存在 $t$ 使 $α_{2} + t α_{1} = α_{3} + t α_{2}$ ，即 $α_{3} = t α_{1} + (1 - t) α_{2}$ ,故 $α_{3}$ 可由 $α_{1}$ , $α_{2}$ 线性表示,故应选(C).

7

设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为三个随机事件，且 $P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{4}$ ， $P (A B) = 0$ ， $P (A C) = P (BC) = \frac{1}{12}$ ，则 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 中恰有一个事件发生的概率为

概率论与数理统计随机事件和概率

正确答案：D

【解析】 $P (A \overline{BC}) = P (A \overline{B \cup C}) = P (A) - P [A (B \cup C)]$

$= P (A) - P (A B + A C)$

$= P (A) + P (A B) - P (A C) + P (A BC)$

$= \frac{1}{4} - 0 - \frac{1}{12} + 0 = \frac{1}{6}$ ，

$P (C \overline{B A}) = P (C \overline{B \cup A}) = P (C) - P [C \cup (B \cup A)]$

$= P (C) + P (CB) - P (C A) + P (A BC)$

$= \frac{1}{4} - \frac{1}{12} - \frac{1}{12} + 0 = \frac{1}{12}$ ，

$P (A \overline{BC} + \overline{A} BC + \overline{A} \overline{B} C) = P (A \overline{BC}) + P (\overline{A} BC) + P (\overline{A} \overline{B} C)$

$= \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{5}{12}$ 。

故选 (D)。

8

设 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{100}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本,其中 $P (X = 0) = P (X = 1) = \frac{1}{2}$ , $Φ (x)$ 表示标准正态分布函数,则用中心极限定理可得 $P (\sum_{i = 1}^{100} X_{i} \leq 55)$ 的近似值为

概率论与数理统计大数定律和中心极限定理

正确答案：B

【解析】由题意 $EX = \frac{1}{2}$ ， $D X = \frac{1}{4}$ ，

$E (\sum_{i = 1}^{100} X_{i}) = 100 EX = 50$ ，

$D (\sum_{i = 1}^{100} X_{i}) = 100 D X = 25$ 。由中心极限定理 $\sum_{i = 1}^{100} X_{i} \sim N (50, 25)$ ，所以

$P {\sum_{i = 1}^{100} X_{i} \leq 55} = P {\frac{\sum _{i = 1}^{100} X _{i} - 55}{5} \leq \frac{55 - 50}{5}} = Φ (1)$ 。故选 $(B)$ 。

填空题

9

（填空题） $x \to 0 lim [\frac{1}{e ^{x} - 1} - \frac{1}{l n ( 1 + x )}] =$ ____.

高等数学函数、极限、连续函数极限的计算

10

（填空题）若 ${x = t^{2} + 1, y = ln (t + t^{2} + 1),$ 则 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{t = 1} =$

高等数学一元函数微分学导数与微分的计算

11

（填空题）若函数 $f (x)$ 满足 $f^{''} (x) + a f^{'} (x) + f (x) = 0 (a > 0)$ ，且 $f (0) = m$ ， $f^{'} (0) = n$ ，则 $\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x =$

高等数学常微分方程常系数齐次线性微分方程

12

（填空题）设函数 $f (x, y) = \int_{0}^{x y} e^{x t^{2}} d t$ ，则 $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}_{(1, 1)} =$

高等数学多元函数微分学偏导数的概念与计算

13

（填空题）行列式 $a 0 - 1 1 0 a 1 - 1 - 1 1 a 0 1 - 1 0 a =$

线性代数行列式

14

（填空题）设 $X$ 服从区间 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上的均匀分布， $Y = sin X$ ，则 $Cov (X, Y) =$

概率论与数理统计随机变量的数字特征协方差与相关系数

解答题

15

（本题满分 10 分）求函数 $f (x, y) = x^{3} + 8 y^{3} - x y$ 的极值。

高等数学多元函数微分学多元函数的极值问题

16

（本题满分 10 分）计算曲线积分

I = \int_{L} \frac{4 x - y}{4 x ^{2} + y ^{2}} d x + \frac{x + y}{4 x ^{2} + y ^{2}} d y,

其中 $L$ 是 $x^{2} + y^{2} = 2$ ，方向为逆时针方向。

高等数学多元函数积分学第二类曲线积分

17

（本题满分10分）设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $(n + 1) a_{n + 1} = (n + \frac{1}{2}) a_{n}$ ，证明：当 $∣ x ∣ < 1$ 时，幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 收敛，并求其和函数。

高等数学无穷级数幂级数的和函数及幂级数展开式

18

（本题满分 10 分）设 $\sum$ 为曲面 $z = x^{2} + y^{2} (1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4)$ 的下侧， $f (x)$ 是连续函数，计算

I = \iint_{\sum} [x f (x y) + 2 x - y] d y d z + [y f (x y) + 2 y + x] d z d x + [z f (x y) + z] d x d y .

多元函数积分学第二类曲面积分

19

（本题满分10分）设函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上具有连续导数，已知 $f (0) = f (2) = 0$ ， $M = max_{x \in [0, 2]} ∣ f (x) ∣$ ，证明：

(I) 存在 $ξ \in (0, 2)$ ，使得 $∣ f^{'} (ξ) ∣ \geq M$ ；

(II) 若对任意的 $x \in (0, 2)$ ， $∣ f^{'} (x) ∣ \leq M$ ，则 $M = 0$ 。

高等数学一元函数微分学微分中值定理

20

（本题满分 11 分）设二次型 $f (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} - 4 x_{1} x_{2} + 4 x_{2}^{2}$ 经正交变换 $(x_{1} x_{2}) = Q (y_{1} y_{2})$ 化为二次型 $g (y_{1}, y_{2}) = a y_{1}^{2} + 4 y_{1} y_{2} + b y_{2}^{2}$ ，其中 $a \geq b$ 。

(I) 求 $a$ ， $b$ 的值；

(II) 求正交矩阵 $Q$ 。

线性代数二次型

21

（本题满分 11 分）设 $A$ 为二阶矩阵， $P = (α, A α)$ ，其中 $α$ 是非零向量且不是 $A$ 的特征向量。

(I) 证明 $P$ 是可逆矩阵；

(II) 若 $A^{2} α + A α - 6 α = 0$ ，求 $P^{- 1} A P$ ，并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵。

线性代数矩阵伴随矩阵与可逆矩阵

22

（本题满分 11 分）设随机变量 $X_{1}$ ， $X_{2}$ ， $X_{3}$ 相互独立，其中 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 均服从标准正态分布， $X_{3}$ 的概率分布为 $P {X_{3} = 0} = P {X_{3} = 1} = \frac{1}{2}$ ，已知 $Y = X_{3} X_{1} + (1 - X_{3}) X_{2}$ 。

(I) 求二维随机变量 $(X_{1}, Y)$ 的分布函数，结果用标准正态分布函数 $Φ (x)$ 表示；

(II) 证明随机变量 $Y$ 服从标准正态分布。

概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布

23

（本题满分 11 分）设 $T$ 的分布函数为

F (t) = {1 - e^{- (\frac{t}{θ})^{m}}, 0, t \geq 0 t < 0

其中 $θ$ 、 $m$ 为参数且大于零。

(I) 求概率 $P {T > t}$ 与 $P {T > s + t ∣ T > s}$ ，其中 $s > 0$ ， $t > 0$ ；

(II) 任取 $n$ 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}$ ，若 $m$ 已知，求 $θ$ 的最大似然估计值 $\hat{θ}$ 。

概率论与数理统计参数估计与假设检验矩估计和最大似然估计