2017 年真题

选择题

1

若函数 $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1 - cos x}{a x}, b, x > 0, x \leq 0$ 在 $x = 0$ 处连续，则( )

高等数学函数、极限、连续函数的连续性

正确答案：A

【解】 $f (0 + 0) = x \to 0^{+} lim \frac{1 - cos x}{a x} = \frac{1}{2 a}$ ， $f (0) = f (0 - 0) = b$ ，

因为 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处连续，所以 $f (0 + 0) = f (0) = f (0 - 0)$ ，

从而 $ab = \frac{1}{2}$ ，应选(A).

2

设函数 $f (x)$ 可导，且 $f (x) f^{'} (x) > 0$ ，则（）

高等数学一元函数微分学导数的几何意义

正确答案：C

【解】方法一若 $f (x) > 0$ ，则 $f^{'} (x) > 0$ ，从而 $f (1) > f (- 1) > 0$ ；

若 $f (x) < 0$ ，则 $f^{'} (x) < 0$ ，从而 $f (1) < f (- 1) < 0$ ，

故 $∣ f (1) ∣ > ∣ f (- 1) ∣$ ，应选（C）．

方法二由 $f (x) \cdot f^{'} (x) = [\frac{1}{2} f^{2} (x)]^{'} > 0$ 得 $f^{2} (x)$ 单调递增，

从而 $f^{2} (1) > f^{2} (- 1)$ ，故 $∣ f (1) ∣ > ∣ f (- 1) ∣$ ，应选（C）．

3

函数 $f (x, y, z) = x^{2} y + z^{2}$ 在点 $(1, 2, 0)$ 处沿向量 $n = (1, 2, 2)$ 的方向导数为( )

高等数学多元函数微分学方向导数和梯度

正确答案：D

【解】 $\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y$ ， $\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2}$ ， $\frac{\partial f}{\partial z} = 2 z$ ，

$\frac{\partial f}{\partial x}_{(1, 2, 0)} = 4$ ， $\frac{\partial f}{\partial y}_{(1, 2, 0)} = 1$ ， $\frac{\partial f}{\partial z}_{(1, 2, 0)} = 0$ ，

$cos α = \frac{1}{3}$ ， $cos β = \frac{2}{3}$ ， $cos γ = \frac{2}{3}$ ，

所求的方向导数为 $\frac{\partial f}{\partial n}_{(1, 2, 0)} = 4 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = 2$ ，应选(D).

【答案】(D).

4

甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线 $v = v_{1} (t)$ （单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线 $v = v_{2} (t)$ ，三块阴影部分面积的数值依次是 10,20,3。计时开始后乙追上甲的时刻记为 $t_{0}$ （单位：s），则（）

高等数学一元函数积分学定积分的应用

正确答案：C

【解】
从 $t = 0$ 到 $t = t_{0}$ 的时间段内，甲、乙走过的距离分别为

S_{1} = \int_{0}^{t_{0}} v_{1} (t) d t, S_{2} = \int_{0}^{t_{0}} v_{2} (t) d t .

在 $t = t_{0}$ 时，有 $S_{1} = S_{2} + 10$ ，即

\int_{0}^{t_{0}} v_{1} (t) d t = \int_{0}^{t_{0}} v_{2} (t) d t + 10,

或写作

\int_{0}^{t_{0}} [v_{1} (t) - v_{2} (t)] d t = 10.

由此解得 $t_{0} = 25$ ，应选（C）。

5

设 $α$ 为 $n$ 维单位列向量， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则（）

线性代数矩阵伴随矩阵与可逆矩阵

正确答案：A

【解】方法一 令 $A = α α^{T}$ ， $A^{2} = A$ ，

令 $A X = λ X$ ，由 $(A^{2} - A) X = (λ^{2} - λ) X = 0$ 得 $λ^{2} - λ = 0$ ， $λ = 0$ 或 $λ = 1$ ，

因为 $t r A = α^{T} α = 1 = λ_{1} + \dots + λ_{n}$ 得 $A$ 的特征值为 $λ_{1} = \dots = λ_{n - 1} = 0$ ， $λ_{n} = 1$ ，

$E - α α^{T}$ 的特征值为 $λ_{1} = \dots = λ_{n - 1} = 1$ ， $λ_{n} = 0$ ，从而 $∣ E - α α^{T} ∣ = 0$ ，

即 $E - α α^{T}$ 不可逆，应选（A）.

方法二 令 $A = E - α α^{T}$ ， $A^{2} = (E - α α^{T}) \cdot (E - α α^{T}) = E - 2 α α^{T} + α α^{T} = A$ ，

由 $A (E - A) = O$ 得 $r (A) + r (E - A) \leq n$ ，

再由 $r (A) + r (E - A) \geq r [A + (E - A)] = r (E) = n$ 得

$r (A) + r (E - A) = n$ ，

而 $E - A = α α^{T}$ ， $r (E - A) = r (α α^{T}) = r (α) = 1$ ，

于是 $r (A) = n - 1 < n$ ，即 $E - α α^{T}$ 不可逆，应选（A）.

6

已知矩阵 $A = 200020011$ , $B = 200120001$ , $C = 100020002$ , 则( )

线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的相似与相似对角化

正确答案：B

【解】显然矩阵 $A, B, C$ 的特征值都是 $λ_{1} = λ_{2} = 2$ , $λ_{3} = 1$ ,

由 $2 E - A = 000000 0 - 1 1$ 得 $r (2 E - A) = 1$ , 则 A 可相似对角化，从而 $A \sim C$ ;

由 $2 E - B = 000 - 1 00 001$

得 $r (2 E - B) = 2$ , 则 $B$ 不可相似对角化，从而 $B$ 与 $A, C$ 不相似，

应选 (B)。

7

设 $A, B$ 为随机事件.若 $0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1$ ，则 $P (A ∣ B) > P (A ∣ \overline{B})$ 的充分必要条件是( )

概率论与数理统计随机事件和概率

正确答案：A

【解】由 $P (A ∣ B) > P (A ∣ \overline{B})$ 得 $\frac{P ( A B )}{P ( B )} > \frac{P ( A B )}{P ( B )} = \frac{P ( A ) - P ( A B )}{1 - P ( B )}$ ，即

$P (A ∣ B) > P (A ∣ \overline{B})$ 等价于 $P (A B) > P (A) P (B)$ ；

由 $P (B ∣ A) > P (B ∣ \overline{A})$ 得 $\frac{P ( A B )}{P ( A )} > \frac{P ( B ) - P ( A B )}{1 - P ( A )}$ ，即

$P (B ∣ A) > P (B ∣ \overline{A})$ 等价于 $P (A B) > P (A) P (B)$ ，应选(A)。

8

设 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n \geq 2)$ 为来自总体 $N (μ, 1)$ 的简单随机样本，记 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ ，则下列结论中不正确的是（）

概率论与数理统计随机变量及其分布

正确答案：B

【解】若总体 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则

$\frac{1}{σ ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ)^{2} \sim χ^{2} (n)$ ， $\frac{1}{σ ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \overline{X})^{2} \sim χ^{2} (n - 1)$ ，

因为总体 $X \sim N (μ, 1)$ ，所以 $\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ)^{2} \sim χ^{2} (n)$ ， $\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \overline{X})^{2} \sim χ^{2} (n - 1)$ ，

再由 $\overline{X} \sim N (μ, \frac{1}{n})$ 得 $\frac{X - μ}{\frac{1}{n}} = n (\overline{X} - μ) \sim N (0, 1)$ ，从而 $n (\overline{X} - μ)^{2} \sim χ^{2} (1)$ ，

不正确的是（B），应选（B）.

填空题

9

（填空题）已知函数 $f (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ ，则 $f^{(3)} (0) =$ ______．

高等数学一元函数微分学导数与微分的计算

10

（填空题）微分方程 $y^{''} + 2 y^{'} + 3 y = 0$ 的通解为 $y =$ ______．

高等数学常微分方程常系数齐次线性微分方程

11

（填空题）若曲线积分 $\int_{L} \frac{x d x - a y d y}{x ^{2} + y ^{2} - 1}$ 在区域 $D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} < 1}$ 内与路径无关，则 $a =$ ______．

高等数学多元函数积分学第二类曲线积分

12

（填空题）幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} n x^{n - 1}$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内的和函数 $S (x) =$ ______．

高等数学无穷级数幂级数的和函数及幂级数展开式

13

（填空题）设矩阵 $A = 110011121,$ $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 为线性无关的 $3$ 维列向量组，则向量组 $A α_{1}, A α_{2}, A α_{3}$ 的秩为______．

线性代数矩阵矩阵的秩

14

（填空题）设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F (x) = 0.5Φ (x) + 0.5Φ (\frac{x - 4}{2})$ ，其中 $Φ (x)$ 为标准正态分布函数，则 $E (X) =$ ______．

概率论与数理统计随机变量及其分布

解答题

15

（本题满分 10 分）

设函数 $f (u, v)$ 具有 2 阶连续偏导数， $y = f (e^{x}, cos x)$ ，求 $\frac{d y}{d x}_{x = 0}$ ， $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{x = 0}$ ．

高等数学多元函数微分学偏导数的概念与计算

16

（本题满分 10 分）

n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{k}{n ^{2}} ln (1 + \frac{k}{n}) =

高等数学一元函数积分学定积分的概念、性质及几何意义

17

（本题满分 10 分）

已知函数 $y (x)$ 由方程 $x^{3} + y^{3} - 3 x + 3 y - 2 = 0$ 确定，求 $y (x)$ 的极值。

高等数学一元函数微分学函数的单调性、极值与最值

18

（本题满分 10 分）

设函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上具有 2 阶导数，且 $f (1) > 0, x \to 0^{+} lim \frac{f ( x )}{x} < 0$ 证明：

(Ⅰ)方程 $f (x) = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少存在一个实根；

(Ⅱ)方程 $f (x) f^{''} (x) + [f^{'} (x)]^{2} = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少存在两个不同实根。

高等数学一元函数微分学方程根的存在性与个数

19

（本题满分 10 分）

设薄片型物体 $S$ 是圆锥面 $z = x^{2} + y^{2}$ 被柱面 $z^{2} = 2 x$ 割下的有限部分，其上任一点的密度为 $μ (x, y, z) = 9 x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 。记圆锥面与柱面的交线为 C。

(Ⅰ)求 $C$ 在 $x O y$ 平面上的投影曲线的方程；

(Ⅱ)求 $S$ 的质量 $M$ 。

高等数学多元函数积分学第一类曲面积分

20

（本题满分 11 分）

设 3 阶矩阵 $A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ 有 3 个不同的特征值，且 $α_{3} = α_{1} + 2 α_{2}$ 。

(Ⅰ) 证明 $r (A) = 2$ ；

(Ⅱ) 设 $β = α_{1} + α_{2} + α_{3}$ ，求方程组 $A x = β$ 的通解。

线性代数矩阵伴随矩阵与可逆矩阵

21

（本题满分 11 分）

设二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + a x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{2} - 8 x_{1} x_{3} + 2 x_{2} x_{3}$ 在正交变换 $x = Q y$ 下的标准形为 $λ_{1} y_{1}^{2} + λ_{2} y_{2}^{2}$ ，求 $a$ 的值及一个正交矩阵 $Q$ ．

线性代数二次型

22

（本题满分 11 分）

设随机变量 $X$ ， $Y$ 相互独立，且 $X$ 的概率分布为 $P {X = 0} = P {X = 2} = \frac{1}{2}$ ， $Y$ 的概率密度为

f (y) = {2 y, 0, 0 < y < 1, 其他

(Ⅰ) 求 $P {Y \leq E (Y)}$ ；

(Ⅱ) 求 $Z = X + Y$ 的概率密度。

概率论与数理统计随机变量的数字特征数学期望与方差

23

（本题满分 11 分）

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 $n$ 次测量，该物体的质量 $μ$ 是已知的。设 $n$ 次测量结果 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 相互独立且均服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，该工程师记录的是 $n$ 次测量的绝对误差 $Z_{i} = ∣ X_{i} - μ ∣ (i = 1, 2, \dots, n)$ 。利用 $Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n}$ 估计 $σ$ 。

(Ⅰ) 求 $Z_{1}$ 的概率密度；

(Ⅱ) 利用一阶矩求 $σ$ 的矩估计量；

(Ⅲ) 求 $σ$ 的最大似然估计量。

概率论与数理统计参数估计与假设检验矩估计和最大似然估计