2016 年真题

选择题

1

若反常积分 $\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x ^{a} ( 1 + x ) ^{b}} d x$ 收敛，则()

正确答案：C

我们考虑积分

I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x ^{a} ( 1 + x ) ^{b}} d x .

将其拆分为

I = \int_{0}^{1} \frac{1}{x ^{a} ( 1 + x ) ^{b}} d x + \int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x ^{a} ( 1 + x ) ^{b}} d x .

第一部分：
在区间 $(0, 1]$ 上， $(1 + x)^{b}$ 在 $x \to 0^{+}$ 时趋于 $1$ ，不影响收敛性。
比较对象是

\int_{0}^{1} \frac{1}{x ^{a}} d x,

它在 $a < 1$ 时收敛。
因此第一部分收敛的条件是

a < 1.

第二部分：
在区间 $[1, + \infty)$ 上，做如下变形：

\frac{1}{x ^{a} ( 1 + x ) ^{b}} = \frac{1}{x ^{a + b} ( 1 + \frac{1}{x} ) ^{b}} .

当 $x \to + \infty$ 时， $(1 + \frac{1}{x})^{b} \to 1$ ，不影响收敛性。
比较对象是

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x ^{a + b}} d x,

它在 $a + b > 1$ 时收敛。

结论：
整个积分收敛的充分必要条件是

a < 1 且 a + b > 1.

2

已知函数 $f (x) = {2 (x - 1), x < 1 ln x, x \geq 1$ ，则 $f (x)$ 的一个原函数是()

高等数学一元函数积分学不定积分的计算

正确答案：D

【解析】

我们已知原函数的导数为分段形式：

f^{'} (x) = {2 (x - 1), x < 1, ln x, x \geq 1.

要求原函数 $F (x)$ 满足在 $x = 1$ 处连续。

1. 分段积分

当 $x < 1$ 时：
$\int 2 (x - 1) d x = (x - 1)^{2} + C_{1} .$
取 $C_{1} = 0$ ，得：
$F (x) = (x - 1)^{2}, x < 1.$
当 $x \geq 1$ 时：
$\int ln x d x = x (ln x - 1) + C_{2} .$

2. 利用连续性确定常数

在 $x = 1$ 处，左极限：

x \to 1^{-} lim F (x) = (1 - 1)^{2} = 0.

右极限：

F (1) = 1 \cdot (ln 1 - 1) + C_{2} = - 1 + C_{2} .

连续性要求：

- 1 + C_{2} = 0 \Rightarrow C_{2} = 1.

3. 最终结果

F (x) = {(x - 1)^{2}, x (ln x - 1) + 1, x < 1, x \geq 1.

3

若 $y = (1 + x^{2})^{2} - 1 + x^{2}$ 和 $y = (1 + x^{2})^{2} + 1 + x^{2}$ 是微分方程 $y^{'} + p (x) y = q (x)$ 的两个解，则 $q (x) = ()$

高等数学常微分方程线性微分方程的解的结构

正确答案：A

【解析】

我们已知原方程形式为：

y^{'} + p (x) y = q (x)

已知两个特解 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ ，满足：

y_{1} - y_{2} = - 2 1 + x^{2}

且

\frac{y _{1} + y _{2}}{2} = (1 + x^{2})^{2}

1. 求 $p (x)$

两解之差 $y_{1} - y_{2}$ 是对应齐次方程

y^{'} + p (x) y = 0

的解。

代入 $y = - 2 1 + x^{2}$ ：

先求导：

y^{'} = - 2 \cdot \frac{x}{1 + x ^{2}} = - \frac{2 x}{1 + x ^{2}}

代入齐次方程：

- \frac{2 x}{1 + x ^{2}} + p (x) \cdot [- 2 1 + x^{2}] = 0

- \frac{2 x}{1 + x ^{2}} - 2 p (x) 1 + x^{2} = 0

两边乘以 $- 1$ ：

\frac{2 x}{1 + x ^{2}} + 2 p (x) 1 + x^{2} = 0

除以 2：

\frac{x}{1 + x ^{2}} + p (x) 1 + x^{2} = 0

p (x) 1 + x^{2} = - \frac{x}{1 + x ^{2}}

p (x) = - \frac{x}{1 + x ^{2}}

2. 求 $q (x)$

将特解 $\frac{y _{1} + y _{2}}{2} = (1 + x^{2})^{2}$ 代入原方程。

设 $Y = (1 + x^{2})^{2}$ ，则

Y^{'} = 2 (1 + x^{2}) \cdot 2 x = 4 x (1 + x^{2})

原方程：

Y^{'} + p (x) Y = q (x)

代入：

4 x (1 + x^{2}) + [- \frac{x}{1 + x ^{2}}] \cdot (1 + x^{2})^{2} = q (x)

第二项化简：

- \frac{x}{1 + x ^{2}} \cdot (1 + x^{2})^{2} = - x (1 + x^{2})

所以：

4 x (1 + x^{2}) - x (1 + x^{2}) = q (x)

3 x (1 + x^{2}) = q (x)

最终答案：

p (x) = - \frac{x}{1 + x ^{2}}, q (x) = 3 x (1 + x^{2})

4

已知函数 $f (x) = {x, x \leq 0 f r a c 1 n, \frac{1}{n + 1} < x \leq \frac{1}{n}, n = 1, 2, \dots$ ，则（）

高等数学函数、极限、连续函数的连续性

正确答案：D

要判断函数 $f (x)$ 在 x = 0 处的连续性与可导性，以及间断点类型，需从极限和导数定义入手分析。

一、连续性分析

函数在 $x = 0$ 处的定义

当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x$ ，故

f (0) = 0

右极限计算

当 $x$ 从右侧趋近于 $0$ 时， $x$ 落在区间 $(\frac{1}{n + 1}, \frac{1}{n}]$ 内（ $n$ 为正整数），此时

f (x) = \frac{1}{n}

随着 $x \to 0^{+}$ ， $n \to \infty$ ，因此：

x \to 0^{+} lim f (x) = n \to \infty lim \frac{1}{n} = 0

左极限计算

当 x 从左侧趋近于 0 时， $f (x) = x$ ，故：

x \to 0^{-} lim f (x) = x \to 0^{-} lim x = 0

连续性结论

由于

x \to 0^{-} lim f (x) = x \to 0^{+} lim f (x) = f (0) = 0

因此函数 $f (x)$ 在 x = 0 处连续，排除选项 (A) 和 (B)。

二、可导性分析

根据导数定义，需判断左导数和右导数是否存在且相等。

左导数计算

f^{'} = x \to 0^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = 1

右导数计算

取 $x_{n} = \frac{1}{n}$ （当 $n \to \infty$ 时， $x_{n} \to 0^{+}$ ），则：

\frac{f ( x _{n} ) - f ( 0 )}{x _{n} - 0} = \frac{\frac{1}{n} - 0}{\frac{1}{n}} = 1

所以

n \to \infty lim \frac{f ( x _{n} ) - f ( 0 )}{x _{n}} = 1

进一步分析一般情况：对任意 $x \in (\frac{1}{n + 1}, \frac{1}{n}]$ ，有

\frac{f ( x ) - 0}{x - 0} = \frac{\frac{1}{n}}{x}

由于

\frac{1}{n + 1} < x \leq \frac{1}{n}

可得

1 < \frac{\frac{1}{n}}{x} \leq \frac{n + 1}{n}

当 $n \to \infty$ 时， $\frac{n + 1}{n} \to 1$ ，由夹逼定理得

x \to 0^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x} = 1

即

f_{+}^{'} (0) = 1

可导性结论

左导数和右导数均为 1，故 $f (x)$ 在 x = 0 处可导，导数为 1，排除选项 (C)，选择选项 (D)。

5

设 $A$ ， $B$ 是可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是()

线性代数矩阵的相似与相似对角化

正确答案：C

【解析】由 $A \sim B$ ，存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{- 1} A P = B$ 。

(1) $(P^{- 1} A P)^{T} = B^{T} \Rightarrow P^{T} A^{T} (P^{T})^{- 1} = B^{T}$ ，故 $A^{T} \sim B^{T}$ ，(A) 正确；

(2) $(P^{- 1} A P)^{- 1} = B^{- 1} \Rightarrow P^{- 1} A^{- 1} P = B^{- 1}$ ，故 $A^{- 1} \sim B^{- 1}$ ，(B) 正确；

(3) $P^{- 1} (A + A^{- 1}) P = P^{- 1} A P + P^{- 1} A^{- 1} P = B + B^{- 1}$ ，故 $A + A^{- 1} \sim B + B^{- 1}$ ，(D) 正确；

对于 (C)， $P^{- 1} (A + A^{T}) P = P^{- 1} A P + P^{- 1} A^{T} P$ ，而 $P^{- 1} A^{T} P$ 未必等于 $B^{T}$ ，故 (C) 错误。

6

设二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 4 x_{1} x_{3} + 4 x_{2} x_{3}$ ，则 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 在空间直角坐标下表示的二次曲面为()

线性代数二次型

正确答案：B

【解析】

二次型的矩阵为

A = 122212221

求特征值：由特征方程

∣ λ E - A ∣ = 0

解得

λ_{1} = 5, λ_{2} = λ_{3} = - 1

因此，正惯性指数 $p = 1$ ，负惯性指数 $q = 2$ 。
二次型的规范形为

f = z_{1}^{2} - z_{2}^{2} - z_{3}^{2}

对应曲面方程为

z_{1}^{2} - z_{2}^{2} - z_{3}^{2} = k (k 为常数)

当 $k > 0$ 时，该曲面为 双叶双曲面。

7

设随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2}) (σ > 0)$ ，记 $p = P {X \leq μ + σ^{2}}$ ，则()

概率论与数理统计随机变量及其分布

正确答案：B
【解析】标准化得

p = P {X \leq μ + σ^{2}} = P {\frac{X - μ}{σ} \leq σ} = Φ (σ)

，其中

Φ (x)

为标准正态分布的分布函数，单调递增，故

p

随

σ

的增加而增加。

8

随机试验 $E$ 有三种两两不相容的结果 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ ，且三种结果发生的概率均为 $\frac{1}{3}$ 。将试验 $E$ 独立重复做 $2$ 次， $X$ 表示 $2$ 次试验中结果 $A_{1}$ 发生的次数， $Y$ 表示 $2$ 次试验中结果 $A_{2}$ 发生的次数，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为（）

概率论与数理统计随机变量的数字特征协方差与相关系数

正确答案：B

【解析】
已知 $X \sim B (2, \frac{1}{3})$ ， $Y \sim B (2, \frac{1}{3})$ ，则

E (X) = E (Y) = \frac{2}{3}, D (X) = D (Y) = \frac{4}{9} .

计算 $E (X Y)$ ：

E (X Y) = k = 0 \sum 2 l = 0 \sum 2 k l \cdot P (X = k, Y = l) .

仅当 $k = l = 1$ 时非零，此时

P (X = 1, Y = 1) = C_{2}^{1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot C_{1}^{1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9},

因此

E (X Y) = 1 \times 1 \times \frac{2}{9} = \frac{2}{9} .

填空题

9

（填空题）

x \to 0 lim \frac{\int _{0}^{x} t ln ( 1 + t sin t ) d t}{1 - cos x ^{2}} =

高等数学函数、极限、连续函数极限的计算

10

（填空题）向量场 $A (x, y, z) = (x + y + z) i + x y j + z k$ 的旋度 $rot A =$ ______。

高等数学多元函数积分学旋度的定义

11

（填空题）设函数 $f (u, v)$ 可微, $z = z (x, y)$ 由方程 $(x + 1) z - y^{2} = x^{2} f (x - z, y)$ 确定,则 $d z ∣_{(0, 1)} =$

高等数学多元函数微分学全微分的概念与计算

12

（填空题）设函数 $f (x) = arctan x - \frac{x}{1 + a x ^{2}}$ ，且 $f^{''} (0) = 1$ ，则 $a =$

高等数学一元函数微分学导数与微分的计算

13

（填空题）行列式

λ 004 - 1 λ 03 0 - 1 λ 2 00 - 1 λ + 1 =

线性代数行列式

14

（填空题）设 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 为来自总体 $N (μ, σ^{2})$ 的简单随机样本，样本均值 $\overline{x} = 9.5$ ，参数 $μ$ 的置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间的置信上限为 $10.8$ ，则 $μ$ 的置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间为______。

概率论与数理统计参数估计与假设检验区间估计和置信区间

解答题

15

（本题满分 10 分）已知平面区域 $D = {(r, θ) 2 \leq r \leq 2 (1 + cos θ), - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}}$ ，计算二重积分 $\iint_{D} x d x d y$ 。

高等数学多元函数积分学重积分的计算

16

（本题满分10分）设函数 $y (x)$ 满足方程 $y^{''} + 2 y^{'} + k y = 0$ ，其中 $0 < k < 1$ 。

(Ⅰ) 证明：反常积分 $\int_{0}^{\infty} y (x) d x$ 收敛；

(Ⅱ) 若 $y (0) = 1$ ， $y^{'} (0) = 1$ ，求 $\int_{0}^{\infty} y (x) d x$ 的值。

高等数学常微分方程常系数齐次线性微分方程

17

（本题满分 10 分）设函数 $f (x, y)$ 满足

\frac{\partial f ( x , y )}{\partial x} = (2 x + 1) e^{2 x - y}

且 $f (0, y) = y + 1$ ， $L_{t}$ 是从点 $(0, 0)$ 到点 $(1, t)$ 的光滑曲线，计算曲线积分

I (t) = \int_{L_{t}} \frac{\partial f ( x , y )}{\partial x} d x + \frac{\partial f ( x , y )}{\partial y} d y,

并求 $I (t)$ 的最小值。

高等数学多元函数积分学第二类曲线积分

18

（本题满分 10 分）设有界区域 $Ω$ 由平面 $2 x + y + 2 z = 2$ 与三个坐标平面围成， $\sum$ 为 $Ω$ 整个表面的外侧，计算曲面积分 $I = \iint_{\sum} (x^{2} + 1) d y d z - 2 y d z d x + 3 z d x d y$ 。

多元函数积分学第二类曲面积分

19

（本题满分10分）

已知函数 $f (x)$ 可导，且 $f (0) = 1$ ， $0 < f^{'} (x) < \frac{1}{2}$ ，设数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{n + 1} = f (x_{n}) (n = 1, 2 \dots)$ ，证明：

（I）级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} (x_{n + 1} - x_{n})$ 绝对收敛；

（II） $lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在，且 $0 < lim_{n \to \infty} x_{n} < 2$ 。

高等数学一元函数微分学微分中值定理

20

（本题满分 11 分）设矩阵

A = 12 - 1 - 1 a 1 - 1 1 a, B = 21 - a - 1 2 a - 2

当 $a$ 为何值时，方程 $AX = B$ 无解、有唯一解、有无穷多解？

线性代数线性方程组

21

（本题满分 11 分）已知矩阵

A = 020 - 1 - 3 0 100

（I）求 $A^{99}$ 。

（II）设 3 阶矩阵 $B = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ 满足 $B^{2} = B A$ ，记 $B^{100} = (β_{1}, β_{2}, β_{3})$ ，将 $β_{1}, β_{2}, β_{3}$ 分别表示为 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 的线性组合。

线性代数矩阵矩阵的运算与变换

22

（本题满分 11 分）

设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D = {(x, y) ∣ 0 < x < 1, x^{2} < y < x}$ 上服从均匀分布，令

U = {1, 0, X \leq Y X > Y

（Ⅰ）写出 $(X, Y)$ 的概率密度；

（Ⅱ）问 $U$ 与 $X$ 是否相互独立？并说明理由；

（Ⅲ）求 $Z = U + X$ 的分布函数 $F (z)$ 。

概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布

23

（本题满分 11 分）

设总体 $X$ 的概率密度为

f (x, θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{3 x ^{2}}{θ ^{3}}, 0, 0 < x < θ 其他

其中 $θ \in (0, + \infty)$ 为未知参数， $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，令 $T = max {X_{1}, X_{2}, X_{3}}$ 。

(1) 求 $T$ 的概率密度

(2) 确定 $a$ ，使得 $a T$ 为 $θ$ 的无偏估计

概率论与数理统计参数估计与假设检验估计量的无偏性