2013 年真题

【答案】 1

【解析】 $x=0$ 时， $y=1$

方程两边对 x 求导得 $y^{\prime }-1=e^{x(1-y)}(1-y-x{y}^{\prime })$ 所以 $y^{\prime }(0)=1$

【答案】 $y=c1(e^{3x}-e^x)+c2e^x-x{e}^{2x}$

【解析】 $y_1-y_2=e^{3x}-e^x$ ， $y_2-y_3=e^x$ ，

对应齐次微分方程的通解 $y^2=c_1(e^{3x}-e^x)+c_2{e}^x$

非齐次微分方程的通解 $y=c_1(e^{3x}-e^x)+c_2{e}^x-x{e}^{2x}$

【答案】 $\sqrt{2}$

【解析】
首先，计算一阶导数：

接着，计算二阶导数：

最后，代入 $t=\frac{\pi }{4}$ 得：

【答案】 $\ln 2$

【解析】
考虑积分

采用分部积分法，令

则

于是

第一项在 $x\to +\infty$ 时趋于 0，在 $x=1$ 时为 $-\frac{\ln 1}{2}=0$ ，因此该部分为 0。

第二项可分解为

所以

当 $x\to +\infty$ 时， $\frac{x}{1+x}\to 1$ ，因此 $\ln 1=0$ ；
当 $x=1$ 时， $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$ ，因此

故

【答案】 -1

【解析】 方法一：取特殊矩阵 A=​100​0−10​001​​ ， $|A|=-1$

方法二： $A^{\ast }=-A^T$ ，则 $|A^{\ast }|=|-A^T|$ ，整理得到 $|A{|}^{3-1}=(-1{)}^3|A|$ ，即 $|A|=-1$ 或者 $|A|=0$

又因为 $AO$ ，所以至少有一个 $a_{ij}0$ ，所以

从而 $|A|=-1$

【答案】

【解析】
概率密度函数为

所求条件概率为

代入 $f(y)$ 得

【答案】 $8-2\pi -4\ln 2$

【解析】
已知 $f(x)={\int }_1^x\frac{\ln (t+1)}{t}dt$ ，则

考虑积分

利用分部积分法，令 $u=f(x)$ ， $dv=\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ ，则

分部积分得

代入上下限及 $f^{\prime }(x)$ 得

进一步化为

再次分部积分，令 $u=\ln (x+1)$ ， $dv=d\sqrt{x}$ ，得

下面计算

令 $\sqrt{x}=t$ ，则 $x=t^2$ ， $dx=2tdt$ ，代入得

拆分为

计算得

代回原式得

【答案】 $S(x)=e^{-x}+2e^x$

【解析】 $S(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ ， $S^{\prime }(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}$ ，

因为 $n(n-1)a_n-a_{n-2}=0$ （ $n\ge 2$ ），所以 $(n+2)(n+1)a_{n+2}-a_n=0(n\ge 0)$ ，

(II) ${\lambda }^2-1=0$ ， ${\lambda }_1=1$ ， ${\lambda }_2=-1$ ，所以 $S(x)=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^x$ 。

又 $S(0)=3$ ， $S^{\prime }(0)=1$ ，所以 $C_1=1$ ， $C_2=2$ ， $S(x)=e^{-x}+2e^x$

【答案】 函数 $f(x,y)$ 在点 $(1,-\frac{4}{3})$ 处取得极小值 $-e^{-\frac{1}{3}}$ ，点 $(-1,-\frac{2}{3})$ 不是极值点。

【解析】 令 $f_x^{\prime }=e^{x+y}\left(x^2+y+\frac{x^3}{3}\right)=0$ ， $f_y^{\prime }=e^{x+y}\left(1+y+\frac{x^3}{3}\right)=0$ 。

解得

二阶偏导数为：

在点 $(1,-\frac{4}{3})$ 处：

计算判别式：

又因为 $A>0$ ，所以 $(1,-\frac{4}{3})$ 是 $f(x,y)$ 的极小值点，极小值为：

在点 $(-1,-\frac{2}{3})$ 处：

由于 $AC-B^2<0$ ，因此 $(-1,-\frac{2}{3})$ 不是 $f(x,y)$ 的极值点。

【答案】 见解析

【解析】

(I)

由于 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上为奇函数，故 $f(-x)=-f(x)$ ，则 $f(0)=0$ 。令 $F(x)=f(x)-x$ ，则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $F(1)=f(1)-1=0$ ， $F(0)=f(0)-0=0$ 。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$ ，使得 $F^{\prime }(\xi )=0$ ，即 $f^{\prime }(\xi )=1$ 。

(II)

由于 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上为奇函数，则 $f^{\prime }(x)$ 在 $[-1,1]$ 上为偶函数，所以由 (I) 得 $f^{\prime }(-\xi )=f^{\prime }(\xi )=1$ 。

令 $G(x)=e^x[f^{\prime }(x)-1]$ ，则 $G(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，在 $(-1,1)$ 内可导，且 $G(\xi )=G(-\xi )=0$ 。由罗尔定理，存在 $\eta \in (-\xi ,\xi )\subset (-1,1)$ ，使得 $G^{\prime }(\eta )=0$ ，即 $f^{\prime \prime }(\eta )+f^{\prime }(\eta )=1$ 。

【答案】
(I) $x^2+y^2=2z^2-2z+1$
(II) $(0,0,\frac{7}{5})$

【解析】
(I) 已知 $\overline{AB}=(-1,1,1)$ ，因此直线 $L$ 的方程为

设 $\Sigma$ 上任意一点是由直线 $L$ 上的某点绕 $z$ 轴旋转一周得到的，则有

又因为

所以 $\Sigma$ 的方程为

(II) 将方程改写为

设形心坐标为 $(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$ ，由于几何体关于坐标轴对称，可知

计算

因为

所以

计算分子：

计算分母：

因此

【答案】 当 $a=-1$ , $b=0$ 时，存在矩阵 $C$ ，且 $C=\left(\begin{array}{cc}{k}_1+k_2+1& -k_1\\ k_1& k_2\end{array}\right)$ ，其中 $k_1,k_2$ 为任意常数。