外部排序

外部排序

当待排序的数据量非常大，以至于无法一次性全部加载到内存中时，就需要使用外部排序。

外部排序通常分为两个主要阶段：

• 初始归并段生成：使用置换选择排序，根据原始无序文件生成若干个尽量长的的有序文件，这些有序文件叫做初始归并段。
• 多路归并：将这些初始归并段逐步合并，最终得到完全有序的文件。

置换选择排序

置换选择排序（Replacement Selection Sort）是外部排序的一个步骤，用于生成初始归并段， 其核心思想是在内存缓冲区有限的情况下，尽可能地生成较长的初始归并段。

置换选择排序通过维护一个工作区来实现这一目标，工作区是一个小根堆。

其算法步骤如下：

1. 初始化：
   • 将待排序文件中的前 M 个记录读入工作区，建立一个最小堆（M 为工作区的大小）。
2. 生成归并段：
   • 判断是否有初始归并段
     • 如果不存在任何初始归并段的话，创建一个初始归并段，并添加工作区中的最小元素加入其中。
     • 否则将工作区中的元素与上一个初始归并段的最大值 MAXV 进行比较。
       • 如果工作区中的所有元素都 ≤ MAXV 的话，创建一个新的初始归并段，并添加工作区中的最小元素加入其中。
       • 否则找到第一个 > MAV 的元素，将其添加到上一个初始归并段的末尾。
   • 从输入文件中读取下一个值加入工作区。

举一个实际的例子，假设一个输入文件 FI 的内容为 51, 94, 37, 92, 14, 63, 15, 99, 48, 56, 23, 60, 31, 17, 43, 8, 90, 166, 100。

我们可以通过置换选择排序生成 3 个初始归并段，分别为 {37, 51, 63, 92, 94, 99} ，{14, 15, 23, 31, 48, 56, 60, 90, 166} ，{8, 17, 43, 100} 。

算法执行的过程如下表所示：

多路归并

多路归并的目标是将多个已经排序的初始归并段（子文件）合并成一个更大的有序文件。

其核心思想是从若干归并段中每次选取一个最小的元素加入工作区（小根堆），然后从工作区中选取最小的元素添加到输出文件中，通过这种方式可以保证每次添加到输出文件中的值是当前的最小值。

多路归并的具体过程如下：

1. 初始化：
   • 打开所有参与归并的初始归并段，并读取每个归并段的第一个元素。
   • 将这些元素放入一个数据结构中，以便快速找到最小值（例如，最小堆）。
2. 归并：
   • 从数据结构中取出最小的元素，将其输出到结果文件中。
   • 找到该元素所属的归并段，并从该归并段中读取下一个元素。
   • 将新读取的元素放入数据结构中，并调整数据结构，以保持有序。
   • 重复上述步骤，直到所有归并段都被处理完毕。
3. 结束：
   • 当所有归并段都为空时，归并过程结束，结果文件即为完全有序的文件。

继续用上文中通过置换选择算法生成的三个初始归并段 {37, 51, 63, 92, 94, 99} ，{14, 15, 23, 31, 48, 56, 60, 90, 166} ，{8, 17, 43, 100} 作为例子。 对于这三个初始归并段，多路归并的过程如下（假设采用三路归并的话）：

胜者树

在进行 $k$ 路归并（如外排序）时，我们需要从多个有序子序列中 快速找出当前最小元素，然后将其输出并替换为该序列的下一个元素。

最简单的做法就是每次遍历序列头部元素，找到最小值。该方法的时间复杂度为 $O(k)$，效率比较低，尤其是当 $k$ 比较大时。

树形结构优化（胜者树/败者树）优化的目的就是优化这个过程：

用一棵完全二叉树维护每一轮比较的结果，使得我们可以在 $O(log k)$ 时间内完成最小值查找与更新。

胜者树可以理解为 胜者晋级的淘汰赛模型：类比体育比赛的淘汰制，每一轮两个选手进行比较，胜者晋级上一轮，最终全局胜者抵达根节点。

在胜者树中，每个 内部结点记录的是该轮比较的胜者（较小的元素），而叶子节点表示每个输入归并段的当前值。因此，整棵树的根节点就表示全局最小值。

当某个归并段输出了最小值并更新为下一个元素时，需要 从该叶子节点向上，逐层与兄弟节点重新比较，构建新的胜者路径，最终将新的最小值更新到根节点。

败者树

败者树可以理解为 败者记录的升降赛模型：类比体育比赛中每场比赛将败者淘汰出局但保留记录，胜者则继续晋级下一轮，最终全局胜者脱颖而出，但不会被记录在树中，而是单独保留，以便快速访问。

在败者树中，每个 内部结点记录的是该轮比较的败者（较大的元素），而叶子节点同样表示每个输入归并段的当前值。最终的全局胜者（最小值）不保存在树中，而是单独保存在一个外部变量中。

当某个归并段输出了最小值并更新为下一个元素时，需要 从该叶子节点出发，沿着路径向上与路径上的败者重新比较，并在每一层更新败者信息。