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线性表

本章是后序内容的基础，可能会涉及到在选择题中的概念考察。除此外，需要能够手写代码实现基于数组或链表的相关操作。

1: 定义和基本操作
2: 顺序表示
3: 链式表示

学习思维导图：

# 线性表

## 线性表的基本概念

## 线性表的实现

- 顺序存储
- 链式存储

## 线性表的应用

1 - 定义和基本操作

线性表可分为顺序表和链表，本节讨论线性表的定义和操作。

线性表定义

线性表是 L 数据结构中的一种基本结构。它是零个或多个数据元素的有限序列。通常，线性表中的数据元素之间是有序的，它们之间存在着前驱和后继的关系。

$$L = (a_1, a_2, \cdots, a_i, a_{i+1}, \cdots, a_n)$$

特点：

个数有限
表中元素数据类型都相同，每个元素占有相同大小的存储空间
仅讨论元素间的逻辑关系，表中元素有先后顺序

操作

初始化 (InitList): 创建一个空的线性表。
插入 (Insert): 在线性表的指定位置插入一个新的元素。
删除 (Delete): 删除线性表中的指定位置的元素。
查找 (LocateElem): 根据给定的条件查找线性表中的元素。
获取元素 (GetElem): 获取线性表中指定位置的元素。
设置元素 (SetElem): 修改线性表中指定位置的元素的值。
长度 (Length): 返回线性表中的元素数量。
判空 (IsEmpty): 判断线性表是否为空。
清空 (ClearList): 清除线性表中的所有元素。
遍历 (Traverse): 对线性表中的每个元素执行某种操作。

2 - 顺序表示

需熟练掌握顺序表的定义，并且能够用手写代码实现顺序表上的各种操作。

顺序表定义

顺序表（Sequential List） 是一种常见的数据结构，用于存储一组元素，并按照它们在内存中的物理顺序来排列和访问这些元素。顺序表通常由一个数组或列表构成，其中每个元素都占据一个连续的内存位置，并且可以通过索引值来访问。

假设线性表 A 存储的其实位置为LOC(A)，每个元素占用的存储空间的大小为sizeof(Elem)，则 A 所对应的顺序存储结构为：

顺序表优点：
- 随机访问性强：顺序表支持通过索引直接访问元素，访问速度快，时间复杂度为 O(1)。
- 空间使用连续：顺序表中的元素存储在连续的内存块中，这有助于提高缓存的局部性，从而提高访问速度。
- 操作简单：无需处理复杂的指针操作。
顺序表缺点：
- 固定大小或调整大小的开销：对于静态数组，大小是固定的，如果预分配的空间不足或过大，会导致内存浪费或数组溢出。动态数组可以重新分配大小，但这会增加时间和空间开销。
- 插入和删除的时间开销：如果要在顺序表的中间插入或删除元素，可能需要移动大量的元素，时间复杂度为 O(n)。

操作

以下是将每个操作整理为一个章节的版本，使用 #### 作为标题，并附上每段代码的核心思路说明：

数据结构定义

定义了一个顺序表 SeqList，它使用固定大小的数组 data 来存储元素，length 记录当前表的长度。InitList 函数初始化顺序表，设置长度为 0，表示空表。

#define MAXSIZE 100
typedef struct {
    ElementType data[MAXSIZE];
    int length;
} SeqList;

void InitList(SeqList *L) {
    L->length = 0;
}

插入

在第 pos 个位置插入新元素 e。首先检查插入位置合法性和空间是否已满，然后从尾部向后移动元素，为插入留出位置，最后将元素插入并更新长度。

bool Insert(SeqList *L, int pos, ElementType e) {
    if (L->length == MAXSIZE || pos < 1 || pos > L->length + 1) {
        return false;
    }
    for (int i = L->length; i >= pos; i--) {
        L->data[i] = L->data[i - 1];
    }
    L->data[pos - 1] = e;
    L->length++;
    return true;
}

删除

删除第 pos 个元素，并通过指针返回删除的元素值。删除后将该位置后的所有元素前移，最后更新长度。

bool Delete(SeqList *L, int pos, ElementType *e) {
    if (pos < 1 || pos > L->length) {
        return false;
    }
    *e = L->data[pos - 1];
    for (int i = pos; i < L->length; i++) {
        L->data[i - 1] = L->data[i];
    }
    L->length--;
    return true;
}

查找操作

在线性表中顺序查找第一个值等于 e 的元素，返回其逻辑位置（从 1 开始）；若未找到，返回 0。

int LocateElem(SeqList L, ElementType e) {
    for (int i = 0; i < L.length; i++) {
        if (L.data[i] == e) {
            return i + 1;
        }
    }
    return 0;
}

获取元素

获取顺序表中第 pos 个元素，返回值通过指针 *e 输出。若位置非法则返回 false。

bool GetElem(SeqList L, int pos, ElementType *e) {
    if (pos < 1 || pos > L.length) {
        return false;
    }
    *e = L.data[pos - 1];
    return true;
}

判空

判断顺序表是否为空，直接判断 length 是否为 0。

bool IsEmpty(SeqList L) {
    return L.length == 0;
}

清空

清空顺序表，只需将 length 置 0，无需实际删除元素，等价于逻辑上的清空。

void ClearList(SeqList *L) {
    L->length = 0;
}

长度

返回当前顺序表的长度，即有效元素个数。

int Length(SeqList L) {
    return L.length;
}

3 - 链式表示

需熟练掌握链表的定义，并且能够用手写代码实现链表上的各种操作。

单链表定义

线性表的链式表示通常指的是使用链表来实现线性表。链表是由一系列结点组成的，每个结点都包含一个数据元素和一个指向下一个结点的指针。这种结构允许我们动态地插入和删除元素，而不需要移动其他元素。

与顺序表不同，单链表中每个结点的存储空间都是动态分配的，即使用 c 语言中的 malloc() 函数或者 c++ 中的 new 操作符。动态分配的空间存储在进程的堆中，这些结点占用的存储空间不是连续的，而是离散的，如下图所示：

由于堆的这种动态内存分配特性，所以单链表具备如下优点：

链表大小可以动态变化：链表的结点是在需要时动态分配的，因此在使用过程中不需要提前分配固定大小的存储空间，可以随时插入或删除结点。
插入和删除方便：只要知道了某个结点的位置，就可以在 O(1) 的时间复杂度内插入或删除该结点。而顺序表可能需要移动大量的元素。
无需预估数据大小：链表可以灵活地增长，而顺序表需要预先定义一个固定大小，或者使用动态数组实现，但重新分配和拷贝的开销可能会很大。

数组（顺序表）与链表不同，由于数组一般是直接作为函数的局部变量使用 int a[N] 定义的，所以数组存储在进程的栈中，数组中的相邻元素是连续地存储在栈上，如下图所示：

由于数组在内存中的存储是连续的，所以这有利于程序的空间局部性，当访问一个元素时，相邻的元素也会被加载到 CPU 缓存中，这提高了访问速度。此外，通过数组的起始地址和一个偏移，我们可以快速地定位到某个数组元素在内存中的地址，实现随机访问。

相比而言，链表则不具备以上特性，链表的缺点如下：

随机访问较慢：链表不支持直接通过索引进行随机访问，必须从头部开始逐个遍历结点，直到找到所需的结点，所以访问链表中的元素需要 O(n) 的时间复杂度。
空间开销较大：除了数据元素的存储外，每个结点还需要额外的空间存储一个指针，这增加了链表的存储开销。

操作

链表的操作经常考察，需要熟练掌握，并且能够手写代码。

数据结构定义

可以使用如下结构体来描述单链表中的结点：

// 链表定义
typedef struct Node {
    int data;
    struct Node *next;
} Node;

其中结构体中包含两个元素，一个是数据，另一个指向下一个结点的指针。通过这种方式，链表可以在内存中以非连续的方式存储数据，每个结点通过指针连接起来。

在这个例子中，data 的类型是 int，意味着这个链表用于存储整数。但是，你可以根据需要更改 data 的类型，例如 float、char 或者自定义的结构体类型，以存储不同类型的数据。

next 指针的作用是连接链表中的各个结点。它存储了下一个结点的内存地址。通过 next 指针，我们可以从一个结点访问到下一个结点，从而遍历整个链表。

初始化链表

在初始化链表时我们需要为其创建一个头结点，并将头结点的 next 设置为空。

// 初始化
Node* init_linkedlist() {
    Node *head = (Node *)malloc(sizeof(Node));  // 创建头结点
    if (head == NULL) exit(1);  // 内存分配失败
    head->next = NULL;  // 初始为空链表
    return head;
}

头结点的目的在于简化空链表的处理和统一链表的操作：

引入头结点后，即使链表为空，头指针也始终指向头结点。
通过引入头结点，可以使链表的第一个结点（实际数据结点）的操作与其他结点的操作保持一致。

判空

如果头指针的 next 为空的话，说明单链表为空：

bool is_empty(Node *head) {
    return head->next == NULL;
}

插入

对于在链表的一个结点 p 之后插入一个新结点 n 可以抽象下如下操作：

void insert_node_after(Node *p, Node *n) {
    Node *q = p->next;
    n->next = q;
    p->next = n;
}

void insert_value_after(Node *n, int value) {
    Node *p = malloc(sizeof(Node));
    p->value = value;
    Node *q = n->next;
    n->next = p;
    p->next = q;
}

当然，如果我们想插入一个实际值 value 的话，你需要通过 Node *p = malloc(sizeof(Node)); p->data = value; 来创建一个新结点，然后再将新创建的结点通过以上函数插入。

在实际考察插入操作的过程中，可能会涉及到三种情况：在链表头部插入、在链表尾部插入或在任意位置插入。

void insert_after_head(Node *head, int value) {
    // 调用上文定义的插入函数
    insert_value_after(head, value);
}

void insert_after_tail(Node *head, int value) {
    // 找到链表的尾部结点
    Node *tail = head;
    while (tail->next != NULL) {
        tail = tail->next;
    }
    // 在该位置插入
    insert_value_after(tail, value);
}

// 在链表的第 pos 个位置插入（位置从 0 开始计数），返回值 bool 表示插入是否成功
bool insert_at_pos(Node *head, int pos, int value) {
    Node *p = head;
    int i = 0;
    // 找到第 pos-1 个结点
    while (p && i < pos - 1) { 
        p = p->next;
        i++;
    }
    // 如果该位置不存在的话，返回 false
    if (!p || i > pos - 1) return false;

    insert_value_after(p, value);
    return true;
}

删除

假设指针 p 指向链表中的某个结点，如果我们想删除 p 的下一个结点的话，可以通过如下代码：

void delete_node_after(Node *p) {
    Node *q = p->next;
    // 需要判断 q 是否存在
    if (q) {
        // 设置 p 的下一个结点跳过 q
        p->next = q->next;
        // 释放 q 的空间
        free(q);
    }
}

如果我们想删除单链表中的第 pos 个结点的话，可以通过如下代码：

// 返回 true 表示删除成功，返回 false 表示删除失败。
bool delete(Node *head, int pos) {
    Node *p = head;
    int i = 0;
    while (p->next && i < pos - 1) {  // 找到第 pos-1 个结点
        p = p->next;
        i++;
    }
    // 如果 p 是链表中最后一个结点，或者 pos-1 的结点不存在的话，返回 false
    if (!(p->next) || i > pos - 1) return false;

    // 删除下一个结点
    Node *q = p->next;
    p->next = q->next;
    free(q);
    return true;
}

查找

如果要查找链表中是否有结点存储有 value 的值的话，可以通过如下函数：

// 返回 0 表示未找到
int Find(Node *head, int value) {
    Node *p = head->next;
    int i = 1;
    // 遍历链表判断是否有结点值域 value 相同
    while (p) {
        if (p->data == value) return i;
        p = p->next;
        i++;
    }
    return 0;
}

清空

清空链表需要删除链表中的每一个结点，并且将链表设置为空，可以通过如下函数：

void ClearList(Node *head) {
    Node *p = head->next, *q;
    head->next = NULL;
    // 遍历每个结点，并且 free 结点
    while (p) {
        q = p->next; // 暂存下一个结点
        free(p);
        p = q;
    }
}

其他链式实现

双向链表

在双向链表中，每个节点包含三个部分：数据、前驱指针 prev、后继指针 next。

typedef struct DNode {
    ElementType data;
    struct DNode *prev;  // 指向前驱节点
    struct DNode *next;  // 指向后继节点
} DNode;

双向链表主要具备以下优势：

可以 双向遍历，支持从任意节点向前或向后查找。
插入和删除 某个节点时，不需要再查找其前一个节点（与单链表相比更方便）。

插入操作

假设插入 s 到 p 前：

原来：
... ⟷ pre ⟷ p ⟷ ...

插入后：
... ⟷ pre ⟷ s ⟷ p ⟷ ...

具体操作步骤如下：

// 假设 p 是链表中的某个节点，s 是新建节点
s->prev = p->prev;      // 步骤①：新节点 s 的前驱是 p 的前驱
s->next = p;            // 步骤②：新节点 s 的后继是 p
p->prev->next = s;      // 步骤③：p 原前驱节点的 next 改为 s
p->prev = s;            // 步骤④：p 的前驱改为 s

删除操作

假设删除节点 p：

... ⟷ prev ⟷ p ⟷ next ⟷ ...
        ↓ 删除 p
... ⟷ prev ⟷ next ⟷ ...

具体操作步骤如下：

p->prev->next = p->next;  // 步骤①：前驱的 next 指向 p 的后继
p->next->prev = p->prev;  // 步骤②：后继的 prev 指向 p 的前驱
free(p);                  // 步骤③：释放 p 节点

静态链表

静态链表实际上就是用顺序表（一个结构体数组）来模拟链表。结构体中包含两个元素：data 和 next，其中 data 存储数据，next 存储下一个元素的下标（相当于指针的作用）：

#define MAXSIZE 100

typedef struct {
    ElementType data;
    int next;
} SNode;

SNode list[MAXSIZE];

静态链表使用 next == -1 作为其结束的标志。静态链表的各种操作和动态链表基本一致，只需要修改指针，不需要移动元素。

循环链表

循环链表（Circular Linked List）是一种特殊的链表结构，其 最后一个节点的指针指向头节点，使得整个链表形成一个 环状结构。因此，从任何一个节点开始遍历，只要不断沿着指针走，就一定会回到起点。

循环链表可分为两种类型：

类型	说明
单向循环链表	每个节点只有一个 `next` 指针，最后一个节点的 `next` 指向头节点
双向循环链表	每个节点有 `prev` 和 `next`，首尾相连，前后都可以循环遍历