整数的表示

BCD码

BCD（Binary-Coded Decimal）码是一种二进制编码方法，用于表示十进制数字。每个十进制数字（0-9）都使用四位二进制数字表示。

BCD码的基本思路是单独表示每个十进制数字的二进制值，而不是像传统的二进制数系统那样对整个数字进行编码。例如，在传统的二进制编码中，数字"19"会表示为10011，但在BCD中，它被表示为两个独立的数字：“0001”（对应于1）和“1001”（对应于9），因此整个表示为“0001 1001”。

0 - 0000    1 - 0001    2 - 0010
3 - 0011    4 - 0100    5 - 0101
6 - 0110    7 - 0111    8 - 1000
9 - 1001

BCD编码在某些应用中是很有用的，特别是在需要与十进制界面进行交互的地方，如数字显示或某些早期的计算机系统。尽管它不如纯二进制编码效率高，但它简化了与十进制数据的转换过程。

整数的表示

原码

原码（Sign-Magnitude）是一种简单的方式来表示二进制中的有符号整数。在这种表示法中，数字的最高位（最左边的位）用于表示符号，其余的位表示数字的大小。通常，符号位为0表示正数，而1表示负数。

表示方法

原码的表示方法：

1. 正数的原码：最高位为0，其余位表示这个数的绝对值的二进制形式。
2. 负数的原码：最高位为1，其余位表示这个数的绝对值的二进制形式。
3. 零的原码：符号位可以是0（表示+0）或1（表示-0），但在实际应用中，通常只使用一个零，即符号位为0。

举例（以8位二进制数为例）：

• +5 的原码是：00000101
• -5 的原码是：10000101

原码的缺点

• 存在正零和负零的表示。
• 在进行算术运算时，正数和负数需要不同的处理，这使得硬件设计变得复杂。

由于上述的缺点，原码并不是计算机中最常用的表示法。在现代计算机中，补码是更常用的方式来表示有符号整数，因为它简化了算术运算的处理，并且没有+0和-0的冗余表示。

补码

补码（Two’s complement）是计算机科学中用于表示整数的一种方法，特别是在现代计算机的算术和逻辑操作中。使用补码可以使得加法、减法和负数的表示变得简单和统一。

表示方法

原码的表示方法：

1. 正数的原码：最高位为0，其余位表示这个数的绝对值的二进制形式。
2. 负数的原码：最高位为1，其余位表示这个数的绝对值的二进制形式。
3. 零的原码：符号位可以是0（表示+0）或1（表示-0），但在实际应用中，通常只使用一个零，即符号位为0。

以8位二进制数为例：

1. 对于正数，例如 +5，其二进制表示为 00000101，补码也是 00000101。
2. 对于负数，例如 -5，首先写出5的二进制表示：00000101。
   • 按位取反得到：11111010
   • 加1得到：11111011
   • 所以，-5的补码是 11111011。

补码的计算方式

以8位补码为例讲解一下补码是如何从二进制位与实际数字结合的：

例子：

• 10000001对应的值为 $-128 + 1 = -127$
• 10001001对应的值为 $-128 + 8 + 1 = -119$
• 01000001对应的值为 $64 + 1 = 65$

为什么要使用补码

补码的设计使得负数的加法变得简单。当使用补码表示时，可以直接将两个数相加，即使其中一个数是负数，而不需要进行任何特殊处理。这简化了计算机硬件的设计。