整数的表示

需了解原码、补码的计算方法，为后续内容的基础。

BCD码

BCD（Binary-Coded Decimal）码是一种二进制编码方法，用于表示十进制数字。每个十进制数字（0-9）都使用四位二进制数字表示。

BCD码的基本思路是单独表示每个十进制数字的二进制值，而不是像传统的二进制数系统那样对整个数字进行编码。例如，在传统的二进制编码中，数字"19"会表示为10011，但在BCD中，它被表示为两个独立的数字：“0001”（对应于1）和“1001”（对应于9），因此整个表示为“0001 1001”。

0 - 0000    1 - 0001    2 - 0010
3 - 0011    4 - 0100    5 - 0101
6 - 0110    7 - 0111    8 - 1000
9 - 1001

BCD编码在某些应用中是很有用的，特别是在需要与十进制界面进行交互的地方，如数字显示或某些早期的计算机系统。尽管它不如纯二进制编码效率高，但它简化了与十进制数据的转换过程。

整数的表示

非负数

在程序中使用 unsigned 定义的变量就是非负数表示。

表示方式

在非负数中，数字中的第 $n$ 位的大小就是 $2^{n}$。

对于一个 $n$ 位非负数 $U$，假设第 $i$ 位表示为 $b_{i}$，即该数字的二进制表示为 $U_{\text{binary}} = b_{n-1} \cdots b_{1} b_{0}$，对应的十进制数为：

$$U_{\text{decimal}} = \sum_{i=0}^{n-1} 2^{i} \cdot b_{i}$$

二进制 → 十进制

第7位第6位第5位第4位第3位第2位第1位第0位
$2^7 = 128$$2^6 = 64$$2^5 = 32$$2^4 = 16$$2^3 = 8$$2^2 = 4$$2^1 = 2$$2^0 = 1$
20 = 1
21 = 2
22 = 4
26 = 64
27 = 128
  • 10000001对应的值为 $128 + 1 = 129$
  • 10001001对应的值为 $128 + 8 + 1 = 137$
  • 01000001对应的值为 $64 + 1 = 65$

在现代 64 位计算机中，unsigned 是 32 位非负数。也可以使用 uint16_t 表示 16 位非负数、uint32_t 表示 32 位非负数、uint64_t 表示 64 位非负数。

十进制 → 二进制

将十进制转化为二进制 unsigned 的方法就是使用 $U_{\text{decimal}} = \sum_{i=0}^{n-1} 2^{i} \cdot b_{i}$ 进行反向转换。

如果数字不太复杂，可以利用直觉直接观察，将一个数字转化为若干个 2 的 n 次方之和（1, 2, 4, 8 …）。比如 $73 = 64 + 8 + 1 = 2^6 + 2^3 + 2^0$，如果该数字为 8 位的话，那么该十进制对应的二进制就是 01001001。

第二种方法稍微麻烦点，就是充当人脑计算机，采用除 2 取余法逐步计算余数：

73 ÷ 2 = 36 ... 1
36 ÷ 2 = 18 ... 0
18 ÷ 2 = 9  ... 0
9 ÷ 2 = 4   ... 1
4 ÷ 2 = 2   ... 0
2 ÷ 2 = 1   ... 0
1 ÷ 2 = 0   ... 1

接下来将余数进行逆序重排得到二进制数：1001001，因为是 8 位数，所以在剩下的高位全部填上0，得到结果 01001001。

补码

在程序中使用 short、int、long 定义的整形变量就是使用补码（Two’s complement）表示的数字。

表示方式

整形（signed）与非负数（unsigned）的表示方式基本相同，除了最高位。对于一个 $n$ 位数，其最高位为 $-2^{n-1}$ 是一个负数，而不是 $2^{n-1}$。

对于一个 $n$ 位非负数 $S$，假设第 $i$ 位表示为 $b_{i}$，即该数字的二进制表示为 $S_{\text{binary}} = b_{n-1} \cdots b_{1} b_{0}$，对应的十进制数为：

$$S_{\text{decimal}} = \sum_{i=0}^{n-2} 2^{i} \cdot b_{i} - 2^{n-1} \cdot b_{n-1}$$

二进制 → 十进制

以 8 位补码为例说一下如何将 补码表示的二进制 转化为 实际十进制数字。

首先，8 位补码中的每一位的大小为：

第7位第6位第5位第4位第3位第2位第1位第0位
$-2^7 = -128$$2^6 = 64$$2^5 = 32$$2^4 = 16$$2^3 = 8$$2^2 = 4$$2^1 = 2$$2^0 = 1$
20 = 1
21 = 2
22 = 4
26 = 64
-27 = -128

例子：

  • 10000001对应的值为 $-128 + 1 = -127$
  • 10001001对应的值为 $-128 + 8 + 1 = -119$
  • 01000001对应的值为 $64 + 1 = 65$

以8位二进制数为例：

  1. 对于正数，例如 +5，其二进制表示为 00000101，补码也是 00000101。
  2. 对于负数，例如 -5，首先写出5的二进制表示：00000101。
    • 按位取反得到：11111010
    • 加1得到：11111011
    • 所以，-5的补码是 11111011。

十进制 → 二进制

将十进制转化为二进制补码一种比较简单的方法就是基于 $S_{\text{decimal}} = \sum_{i=0}^{n-2} 2^{i} \cdot b_{i} - 2^{n-1} \cdot b_{n-1}$ 进行直接观察。

比如 $-73 = -128 + 55 = -128 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 = -2^7 + 2^5 + 2^4 + 2^2 + 2^1 + 2^0$，对应的补码为 1011 0111。

另一种就是先计算原码，再将原码转化为补码，具体步骤如下：

  1. 确定数值的正负性：
  2. 使用“除2取余法”将 十进制数的绝对值 转换为二进制数。
    • 如果十进制数为正数，则其补码与原码相同。
    • 如果十进制数为负数，将原码进行 取反加一 得到补码。

比如通过第二种方式将 -73 转为补码：

1. -74 是负数，其绝对值为 73。
2. 除2取余法得到结果为 0100 1001。
3. 取反：1011 0110，加一：1011 0111。

结果为 1011 0111

优点

使用补码可以使得加法、减法和负数的表示变得简单和统一。比如给定两个数字 A 和 B，我们想要计算 C = A + B。A + B 由硬件加法器得到的二进制结果可以直接作为 C 的二进制表示。

补码的设计使得负数的加法变得简单。当使用补码表示时，可以直接将两个数相加，即使其中一个数是负数，而不需要进行任何特殊处理。这简化了计算机硬件的设计。

原码

原码（Sign-Magnitude）是一种简单的方式来表示二进制中的有符号整数。在这种表示法中，数字的最高位（最左边的位）用于表示符号，其余的位表示数字的大小。通常，符号位为0表示正数，而1表示负数。

表示方法

原码的表示方法：

  1. 正数的原码：最高位为0，其余位表示这个数的绝对值的二进制形式。
  2. 负数的原码：最高位为1，其余位表示这个数的绝对值的二进制形式。
  3. 零的原码：符号位可以是0（表示+0）或1（表示-0），但在实际应用中，通常只使用一个零，即符号位为0。

举例（以8位二进制数为例）：

  • +5 的原码是：00000101
  • -5 的原码是：10000101

缺点

  • 存在正零和负零的表示。
  • 在进行算术运算时，正数和负数需要不同的处理，这使得硬件设计变得复杂。

由于上述的缺点，原码并不是计算机中最常用的表示法。在现代计算机中，补码是更常用的方式来表示有符号整数，因为它简化了算术运算的处理，并且没有+0和-0的冗余表示。