浮点数表示

实数的二进制表示

实数在计算机中的存储遵循 IEEE 浮点数标准，但在这里为了方便理解 IEEE 标准，这里首先阐明一般 实数 在计算机中是如何存储的。

在这里 实数 分为两个部分存储：整数部分 和 小数部分，两个部分在逻辑上用 · 隔开。

比如对于以下 浮点数 的二进制表示：

$$d_m d_{m-1} \cdots d_1 d_0 \cdot d_{-1} d_{-2} \cdots d_{-n}$$

其中每一位对应的数值如下表所示：

上述二进制表示对应的数值为

$$b = \sum_{i=-n}^{m} {2^{i} \times b_{i}}$$

其中 $b_i = 0$ 或 $b_i = 1$，表示第 i 为是 0 还是 1。

举例说明如何使用上述表示法计算 实数：

• $101.11_{2}$ 对应的数值为 $1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 1 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} = 5.75$
• $1011.1_{2}$ 对应的数值为 $8 + 0 + 2 + 1 + \frac{1}{2} = 11.5$

字面值转二进制

举个实际的例子，将 1.2 转换为二进制表示。

整数部分 1 的二进制是 1。
小数部分 0.2 的二进制表示是一个无限循环小数。通过不断乘以 2，可以得到近似的二进制：

• 0.2 × 2 = 0.4 → 整数部分 0
• 0.4 × 2 = 0.8 → 整数部分 0
• 0.8 × 2 = 1.6 → 整数部分 1
• 0.6 × 2 = 1.2 → 整数部分 1
• 0.2 × 2 = 0.4 → 重复…

于是，1.2 在二进制中近似为 1.0011001100110011...。

IEEE 浮点数表示

上述 浮点数 存储方式的缺点在于如果要表示比较大的数，就需要比较多的二进制位数，比如对于 $5 \times 2^{100}$ 就需要 103 位。IEEE 表示 就解决了这个问题，在 IEEE 表示 中，浮点数 $V$ 被表示为 $V = (-1)^{s} \times M \times 2^{E}$，其中 $s, M, E$ 的含义如下：

• $s$ 为 符号位
• $M$ 为 乘法因子
• $E$ 为 指数部分

IEEE 754 标准 是定义浮点数表示和算术的国际标准，它定义了多种不同精度的浮点数格式，但最常见的是 单精度 single precesion（32 位）和 双精度 double precesion（64 位），浮点数分为 s（符号位）、exp（阶码）、frac（尾数）三个部分存储：

• $1$ 位的 $s$ 与上述计算公式中的 符号位 $s$ 相同，位于浮点数二进制表示的 最高位，标志了浮点数的正负，如果 $s = 1$ 的话 $V$ 是负数，如果 $s = 0$ 的话 $V$ 为正数

• $k$ 位的 $exp = e_{k-1} \cdots e_1 e_0$ 用于计算 指数部分 $E$（$exp$ 为 unsigned 值，但不能为全 0 或全 1），其中 $E = exp - Bias$，$Bias = 2^{k-1} - 1$

  • 对于 单精度 浮点数
    • $k = 8$，$Bias = 2^{8-1} - 1 = \textbf{127}$
    • $1 \le exp \le 254$
    • $-126 \le E \le 127$
  • 对于 双精度 浮点数
    • $k = 11$，$Bias = 2^{11-1} - 1 = \textbf{1023}$
    • $1 \le exp \le 1022$
    • $-1022 \le E \le 1023$

• $n$ 位的 $frac = 0 \cdot f_{n-1} \cdots f_1 f_0$ 用于计算 因子 $M$，其中 $M = 1 + frac$，$frac$ 表示的小数计算方式见 实数的二进制表示

  • 对于 单精度 浮点数，$n = 23$，$M$ 的最大值为 $2 - 2^{-23}$，$M$ 最小值为 $1$
  • 对于 双精度 浮点数，$n = 52$，$M$ 的最大值为 $2 - 2^{-52}$，$M$ 最小值为 $1$

总结 单精度 和 双精度 浮点数 表示如下：

单精度 浮点数表示为：

$$(-1)^s \times 1.\text{frac} \times 2^{\text{exp} - 127}$$

双精度 浮点数表示为：

$$(-1)^s \times 1.\text{frac} \times 2^{\text{exp} - 1023}$$

异常值

注意 IEEE 浮点数 表示分为 Normalized Values（正常值）和 Denormalized Values（非正常值）以及特殊值，上节中提到的 IEEE 浮点数 计算方法只适用于 正常值，
正常值 的 阶码（exp）不能为全 0 或全 1。

下图是 浮点数 各种类型的图示（以 单精度 为例）：

• 非正常值（Denormalized）的 阶码全为 0
• 无穷大（Infinity）的 阶码全为 1，尾数位为 0
• 非数字（NaN，Not a Number）的 阶码全为 1，尾数位不为 0

需要注意的是 非正常值 的 浮点数 计算公式 与 正常值 不同：

$$\text{value} = (-1)^{\text{sign}} \times 0.f \times 2^{1 - \text{bias}}$$

注意这里的：

• 没有隐含的 “1”，因为它是 非正规数。
• 指数固定为 $1 - \text{bias}$（而不是 $e - \text{bias}$，因为 阶码是全 0）
• 这是为了在非常接近 0 的地方保持精度连续性（即从最小正规数向 0 过渡的“填充区”）

下表总结了给出了 浮点数 表示各种情况的有效值计算：

字面值转二进制

前文已经提到如果我们有 浮点数 的 IEEE 二进制表示，如何将其转化为实际的 浮点数，就是通过如下的公式：

$$(-1)^s \times 1.\text{frac} \times 2^{\text{exp} - \text{bias}} $$

还有一种常见的考题是给定我们一个 浮点数字面值，比如 2.25，然后让我们去反推它的二进制表示，这里有没有什么简便的解法呢？

最简便的方法还是反向转换，即将一个 浮点数 表示为 一点几几（$1.\text{frac}$）乘以二的多少次方（$2^{n}$）的格式，有这两部分可以分别计算出 阶码和尾数，然后符号位由数字的正负判断。

以 2.25 为例，如果我们想得到该 浮点数 的 单精度 表示：

$$2.25 = 1.125 \times 2^{1} = \frac{9}{8} \times 2^1 = (1 + \frac{1}{8}) \times 2^1 = (1 + 2^{-3}) \times 2^1$$

由此可以计算出 浮点数 的各个部分：

• 符号位 为 0
• 阶码 为 $1 + 127 = 128$，二进制表示为 1000 0000B
• 尾数 为 0010 0000 0000 ....

所以 浮点数 的二进制为 0100 0000 0001 0000 ...，十六进制为 40100000H。

一般而言，试题只会考察这种没有精度损失的 浮点数二进制转换，对于有精度损失的情况，由于比较繁琐，基本不会考察，其 尾数 部分的计算与 一般实数字面值转二进制 相同。

表示精度

上述的例子是一个比较理想的例子，2.25 可以精确地用 浮点数 表示。但在真实场景中，很多 实数 都是无法精确地用 浮点数 表示的。比如 1.2 这个数：

$$1.2 = (1 + \frac{1}{5}) \times 2^1$$

其中 $\frac{1}{5}$ 无法表示为若干个 $\frac{1}{2^n}$ 之和，所以对于这种情况，我们只能尽量地去接近这个数。

若要理解如何接近这个数，我们首先要理解 精度 的概念。这里我们首先从简单的例子出发，假设 阶码只有 3 位，那么这些 尾数可以被精确表示：

$$\sum_{i=0}^{3} f \times 2^i, f \in {0, 1}$$

在数轴中对应 [0, 1] 区间中的 8 个点：

如果一个尾数的大小与这些点都不相同的话，则需要找一个临近的点来近似，这也是导致 精度 丢失的原因：尾数的二进制表示法无法精确地表示 [0, 1] 中的每一个 实数，对于无法精确表示的，只能去近似。

但是这种误差可以随着 尾数 位数的增加而不断减小，比如对于 单精度浮点数 表示，尾数（frac）为 23 位，可以精确表示以下这些小数：

$$0, \frac{1}{2^{23}}, \frac{2}{2^{23}}, \frac{3}{2^{23}}, \cdots, \frac{2^{23} - 1}{2^{23}}, 1$$

双精度浮点数 表示，尾数为 52 位，可以精确表示以下这些小数：

$$0, \frac{1}{2^{52}}, \frac{2}{2^{52}}, \frac{3}{2^{52}}, \cdots, \frac{2^{52} - 1}{2^{52}}, 1$$

所以 尾数位数越多，精度越高，用以近似表示某些 实数 时，误差更小。

浮点数加减

浮点数 加减计算过程包含以下几个步骤：对阶、尾数加减、尾数规格化。

1. 对阶：为了进行加减运算，两个 浮点数 必须具有相同的指数，这里采用低阶向高阶对齐的原则，过程如下：
   • 比较两个浮点数的 指数。
   • 将较小指数的浮点数的 尾数右移，直到两个指数相等。
   • 右移过程中，需要注意尾数的 精度损失（尾数右移时可能会丢失低位精度）。
2. 尾数加减：在指数对齐后，直接对两个 浮点数的 尾数进行加减。
   • 由于尾数已经对齐，可以直接进行 加减操作。
   • 根据操作结果可能需要处理进位或借位。
3. 尾数规格化：确保结果符合标准化浮点数的格式，即尾数以 1 开头。
   • 如果结果尾数不符合 1.xxxx 格式，则需要进行 规格化调整。
   • 左移尾数并相应减少指数，或右移尾数并相应增加指数。
   • 规格化后，可能还需要进行 舍入，以符合尾数的位数限制。
     • 根据舍入模式（如“向偶数舍入”、“向零舍入”等）完成必要操作。

在 对阶 和 尾数规格化 的过程中，由于可能存在 尾数右移，所以可能会导致 精度缺失。
因为 IEEE 浮点数尾数的位数是有限的，如果右移的过程中尾数中最右边的 1 被清除，就会导致 精度缺失。

举一个实际的例子来说明一下，假设 $A = 1.625 × 2^3 = 1.101_{2} × 2^3$，$B = 1.75 × 2^1 = 1.11_{2} × 2^1$，在计算 $A+B$ 时，使用以下步骤：

1. 对阶：低位向高位，$B = 0.0111_{2} \times 2^3$。
2. 尾数相加：$A + B = (1.101_{2} + 0.0111_{2}) × 2^3 = 10.0001_{2} × 2^3$
3. 尾数规格化：$10.0001_{2} × 2^3 = 1.00001 × 2^4$