组成原理

• 1: 概述
• 1.1: 计算机系统层次结构
• 1.2: 计算机性能指标
• 2: 数据表示和计算
• 2.1: 整数的表示
• 2.2: 浮点数表示
• 2.3: 运算电路
• 2.4: 类型转换
• 3: 存储系统
• 3.1: 存储系统
• 3.2: 内存
• 3.3: 外存
• 3.4: Cache
• 3.5: 虚拟存储器
• 4: 指令系统
• 4.1: 格式和寻址方式
• 4.2: 数据对齐方式
• 4.3: 指令集种类
• 4.4: 高级语言和机器码
• 4.5: 指令操作码
• 5: 中央处理器
• 5.1: 功能和结构
• 5.2: 控制器
• 5.3: 异常与中断
• 5.4: 指令流水线
• 5.5: 多处理器
• 6: 总线和输入输出系统
• 6.1: 总线
• 6.2: I/O 系统

1 - 概述

# 计算机系统概述

## 计算机系统层次结构

- 计算机系统的基本组成
- 计算机硬件的基本结构
- 计算机软件和硬件的关系
- 计算机系统的工作原理

## 计算机性能指标

1.1 - 计算机系统层次结构

计算机系统的基本组成

硬件 系统和 软件 系统共同构成了一个完整的计算机系统。硬件指的是有形的物理设备，是计算机系统中实际物理装置的总称。软件指的是在硬件上运行的程序和相关的数据及文档。

硬件 和 软件 关系：硬件是计算机的物理部分，它提供了运行软件所需的基础设施，而软件则是 指令集，指导 硬件如何工作以执行特定的任务。

计算机硬件

冯诺依曼结构

冯·诺依曼提出的 “存储程序” 的思想奠定了当代计算机的基本结构，以此概念为基础的各类计算机通称为 冯·诺依曼机，其特点如下：

1. 计算机 硬件 系统由 运算器、存储器、控制器、输入设备 和 输出设备 5 大部件 组成。
2. 指令和数据 以同等地位存储在 存储器 中，形式上没有区别，但计算机应能区分它们。
3. 指令和数据均用 二进制代码 表示，指令包含操作码和地址码，操作码指出操作的类型，地址码指出操作数的地址。
4. 以 运算器 为中心，其他部件配合其工作。

其中 五大部件  的具体功能如下：

1. 运算器（ALU）：负责算术运算（加减乘除）和逻辑运算（与或非）。
2. 控制器（CU）：从 存储器 中读取指令，解码并控制其他部件协同工作。
3. 存储器（Memory）：存储程序指令和运算数据（如内存、硬盘）。
4. 输入设备（Input）：接收外部数据（如键盘、鼠标）。
5. 输出设备（Output）：将结果反馈给用户（如显示器、打印机）。

计算机软件

系统软件和应用软件

1. 系统软件 (System Software)
   • 定义：系统软件 是直接运行在 硬件 上的 软件，为其他 软件 提供一个运行和执行的平台。
   • 功能：
     • 管理和控制计算机 硬件，使其能够与 应用软件 进行交互。
     • 提供 应用软件 开发的基础服务和接口。
2. 应用软件（Application Software）
   • 定义：应用软件 是构建在 系统软件 之上，为用户提供特定功能或执行特定任务的 软件。
   • 功能：
     • 解决用户的具体问题或满足特定需求。
     • 提供与用户的直接交互界面。

三个级别的语言

1. 机器语言 (Machine Language):
   • 定义：这是 计算机硬件 直接理解和执行的语言，它是用 二进制代码 表示的（通常是 0 和 1）。
   • 特点：
     • 与特定计算机架构紧密相关。
     • 非常低级：每条机器代码对应 硬件 的一个操作。
     • 对于人类来说，阅读和编写是困难的。
2. 汇编语言 (Assembly Language):
   • 定义：这是一种低级编程语言，它使用符号和助记符（而非 二进制代码）来代表机器语言的指令。
   • 特点：
     • 与特定计算机架构紧密相关。
     • 比机器语言更容易理解和编写。
     • 需要一个汇编器来将汇编代码转换为机器代码。
3. 高级语言 (High-Level Language):
   • 定义：这是为了更方便地编写和理解计算机程序而设计的语言。它们与特定的 硬件平台 相对独立。
   • 特点：
     • 抽象度高，语法通常更接近自然语言或数学符号。
     • 可以在不同的 硬件平台 上运行，只需适当地 编译 或 解释。
     • 需要一个 编译器 或 解释器 来将高级语言代码转换为机器代码（或执行）。

三种语言的关系可以参照下图理解：

计算机系统的工作原理

从源程序到可执行程序

1. 预处理（Preprocessing）：预处理 器会执行诸如宏替换、文件包含、条件编译等任务，仅限于某些语言，比如 C 和 C++。
2. 编译（Compilation）：编译 器将源代码或 预处理 后的源代码转换为中间代码或目标代码，目标代码通常是特定平台的汇编语言代码或机器代码。
3. 汇编（Assembly）：汇编 器将汇编语言代码转换为机器代码。
4. 链接（Linking）：链接 器将一个或多个目标文件与所需的库文件链接在一起，生成一个可执行文件。这个步骤确保所有函数或方法的调用都能找到它们在内存中的正确位置。
5. 加载和执行（Execution）：当你运行可执行文件时，操作系统的 加载器 会将它加载到内存中。CPU 开始按照程序的指令执行任务。

# 预处理
gcc -E hello.c -o hello.i
# 编译
gcc -c hello.c -o hello.o
# 汇编
gcc -S hello.c
# 链接
gcc hello.o -o hello
# 加载和执行
./hello

1.2 - 计算机性能指标

CPU 指标

时钟周期

时钟周期（Clock Cycle）是计算机中 CPU 执行指令的基本时间单位，由系统时钟产生的一个“高低电平”变化（通常称为 脉冲）所定义。

计算机内部有一个 晶体振荡器，通常采用石英晶体，利用其压电效应产生规律的 脉冲信号 。石英晶体在施加电压时会发生机械振动，而机械振动反过来又会产生电压。通过在电路中合理配置电容和电感元件，晶体振荡器能够在特定频率上持续振荡，形成稳定的机器脉冲源。

原始的脉冲信号 是一个连续的 模拟信号，在计算机系统中，这个模拟信号通常不会直接使用。为了适配数字电路的需要，晶体振荡器 产生的 模拟信号 会经过整形和分频电路处理，转换为方波形式的 数字脉冲信号，用于同步计算机中各个硬件组件的操作。时钟脉冲信号 的宽度，即连续两个 脉冲 之间的时间间隔，称为 时钟周期。

主频

主频（CPU Frequency），是指中央处理器（CPU）的 时钟频率 （Clock Frequency），表示 CPU 每秒可以执行多少个基本 时钟周期。时钟周期 和 主频 互为倒数：

其单位通常是 MHz（兆赫）或 GHz（千兆赫）。它决定了 时钟振荡 的快慢：

• 1 Hz：每秒 $1$ 次 时钟振荡
• 1 MHz = $10^6$ 次/秒
• 1 GHz = $10^9$ 次/秒

比如，一个 3.0 GHz 的 CPU，主频是 3,000,000,000 Hz，意味着它每秒经历 30 亿 个 时钟周期。

指令执行指标

CPI（Cycle Per Instruction）：也称 指令周期，即一条指令所需要的平均 时钟周期。

下图展示了 指令周期、机器周期 和 时钟周期 三者的关联：

三者具有层级关系：时钟周期 < 机器周期 < 指令周期。

• 时钟周期 是硬件层面的最小时间单位。
• 机器周期 是由多个 时钟周期 组成，用于完成一个基本操作（如取指令、存储数据）。
• 指令周期 是由多个 机器周期 组成，用于完成一条指令的执行。

IPC（Instruction Per Cycle）：也称 每周期指令，即每个 时钟周期 执行的平均指令数，是 CPI 的 倒数。

IPS（Instruction Per Second）：也称 每秒指令数，即每秒平均能够执行多少条指令。

MIPS（Million Instructions Per Second）：也称 每秒百万指令数，即每秒能够执行 多少个 百万的指令。

浮点运算指标

FLOPS（Floating-point Operations Per Second，每秒浮点运算次数）是衡量计算机浮点运算性能的指标，它表示处理器每秒能执行的浮点运算次数，通常用来评估 GPU 或 AI 芯片 的性能。

• MFLOPS（Million FLOPS）: 百万（ $10^6$ ）次每秒
• GFLOPS（Giga FLOPS）: 十亿次（ $10^9$ ）每秒
• TFLOPS（Tera FLOPS）: 万亿次（ $10^{12}$ ）每秒
• PFLOPS（Peta FLOPS）: 千万亿次（ $10^{15}$ ）每秒
• EFLOPS（Exa FLOPS）: 百亿亿次（ $10^{18}$ ）每秒
• ZFLOPS（Zetta FLOPS）: 万亿亿次（ $10^{21}$ ）每秒

每次指标提升都是 $\times 10^3$ ，比如 $\text{GFLOPS}=10^3\text{MFLOPS}$ 。

计算机指标

字长

字长（Word Length）指的是计算机在内部一次操作中所能处理的 二进制数字位数。例如，一个 32 位 的 CPU 一次可以处理 32 位 的数据。

数据通路带宽（Data Bus Width） 是 CPU 和 内存 之间传输数据的宽度，通常以 位 为单位表示。比如，64 位 的数据总线意味着每个 时钟周期 内，可以传输 64 位 的数据。

主存容量

主存储器 能够存储信息的最大容量，通常用 字节 来衡量。

MAR 的 位数 反映了 可寻址范围 的最大值（不一定是存储器的实际容量），与 地址总线 的 位数 一致。

这里主要看清题目中的 按字节寻址 和 按字寻址，内存空间 / 寻址单位 = 可寻址范围，通过 可寻址范围 计算 MAR 的 位数。

比如主存地址空间大小为 128KB= $2^{17}$ B，字长16 位（2B），按字寻址，则 MAR 位数为16。

吞吐量

吞吐量（Throughput）表示在 单位时间 内，系统可以完成的 任务数量。在计算机网络中，它可能表示 数据的传输速率；在 计算 中，它可能表示 每秒执行的操作数。

2 - 数据表示和计算

# 数据的表示和运算

## 数制和编码

- 进位计数制及其数据之间的相互转换
- 定点数的编码表示

## 运算方法和运算电路

- 基本运算部件
- 加/减运算
- 乘/除运算

## 整数的表示和运算

- 无符号整数
- 带符号整数

## 浮点数的表示和运算

- IEEE 754标准
- 浮点数的加/减运算

2.1 - 整数的表示

BCD 码

BCD（Binary-Coded Decimal）码是一种 二进制编码方法，用于表示 十进制数字。每个十进制数字（0-9）都使用 四位二进制数字 表示。

BCD 码的基本思路是 单独表示每个十进制数字的二进制值，而不是像传统的二进制数系统那样对整个数字进行编码。例如，在传统的二进制编码中，数字"19"会表示为 10011，但在 BCD 中，它被表示为两个独立的数字：“0001”（对应于 1）和“1001”（对应于 9），因此整个表示为“0001 1001”。

0 - 0000    1 - 0001    2 - 0010
3 - 0011    4 - 0100    5 - 0101
6 - 0110    7 - 0111    8 - 1000
9 - 1001

BCD 编码在某些应用中是很有用的，特别是在需要与 十进制界面 进行交互的地方，如 数字显示 或某些早期的计算机系统。尽管它不如 纯二进制编码 效率高，但它简化了与十进制数据的转换过程。

整数的表示

在介绍整数的不同表示之前，我们首先要定义清楚不同的名词，否则会造成极大的概念混淆。

在日常生活中，我们使用十进制表示数字，并通过符号（如 + 和 -）表示正负。这种用十进制表达的数字也叫做 字面值。

而计算机以二进制形式存储数据，补码、原码、无符号数 等只是 对二进制位的一种解释方式，它们决定了同一组二进制位所代表的实际数值。

在实际的计算机中，没有采用 原码 存储数据的，具体原因后面会谈到到。对于计算机中存储的数字来说，它的二进制只可能是 有符号数（signed） 或者 无符号数（unsigned） 这两种情况。

无符号数

无符号数（unsigned number） 是计算机中一种整数类型，只能表示 非负数（包括 0 和正整数），不包含负数。

纯二进制表示

在非负数中，数字中的第 $n$ 位的大小就是 $2^n$ 。

对于一个 $n$ 位 无符号数 $U$ ，假设它的第 $i$ 位示为 $b_i$ ，则该数字的二进制表示为 $U_{\text{binary}}=b_{n-1}\cdots b_1{b}_0$ ，对应的十进制数为：

根据以上公式可知，一个 $n$ 位纯二进制表示的：

• 最小值： $0$
• 最大值： $2^n-1$
• 表示范围： $[0,2^n-1]$

二进制 → 十进制

这里为了方便说明如何将 unsigned 转化为 十进制字面值，采用 8 位 无符号数 进行说明，其中每一位表示的实际大小如下表所示：

• 10000001 对应的值为 $128+1=129$
• 10001001 对应的值为 $128+8+1=137$
• 01000001 对应的值为 $64+1=65$

在现代 64 位计算机中，unsigned 是 32 位非负数。也可以使用 uint16_t 表示 16 位非负数、uint32_t 表示 32 位非负数、uint64_t 表示 64 位非负数。

十进制 → 二进制

将 十进制字面值 转化为 无符号数 的方法就是使用 $U_{\text{decimal}}={\sum }_{i=0}^{n-1}{2}^i\cdot b_i$ 进行反向转换。

如果数字不太复杂，可以利用直觉直接观察，将一个数字转化为若干个 2 的 n 次方之和（1, 2, 4, 8 …）。比如 $73=64+8+1=2^6+2^3+2^0$ ，如果该数字为 8 位的话，那么该十进制对应的二进制就是 01001001。

第二种方法稍微麻烦点，就是充当人脑计算机，采用 除 2 取余法  逐步计算余数：

73 ÷ 2 = 36 ... 1
36 ÷ 2 = 18 ... 0
18 ÷ 2 = 9  ... 0
9 ÷ 2 = 4   ... 1
4 ÷ 2 = 2   ... 0
2 ÷ 2 = 1   ... 0
1 ÷ 2 = 0   ... 1

接下来将余数进行逆序重排得到二进制数：1001001，因为是 8 位数，所以在剩下的高位全部填上 0，得到结果 01001001。

总结两种转换方式如下图：

有符号数

在程序中使用 short、int、long 定义的整形变量就是 有符号数（signed），有符号数使用 补码（Two’s complement） 进行表示。

补码表示

有符号数 使用的 补码 与 无符号数 使用的 纯二进制 表示方式基本相同，除了最高位。对于一个 $n$ 位补码，其最高位为 $-2^{n-1}$ 是一个负数，而不是 $2^{n-1}$ 。

对于一个 $n$ 位 有符号数 $S$ ，假设它的第 $i$ 位表示为 $b_i$ ，则该数字的二进制表示为 $S_{\text{binary}}=b_{n-1}\cdots b_1{b}_0$ ，对应的十进制数为：

根据以上公式可知，一个 $n$ 位 补码 的：

• 最小值（最负数）： $-2^{n-1}$
• 最大值（最正数）： $2^{n-1}-1$
• 表示范围： $[-2^{n-1},2^{n-1}-1]$

那么 补码 的命名为什么叫 Two’s Complement 呢？

对于表示范围内的正数，补码 和 纯二进制表示 的二进制表示是相同的；但是对于负数，两者的二进制表示不同，这也是它名称的来源。

Two’s Complement 中的 Two 强调二进制系统；比如十进制中有 10’s complement（十的补码），那么在二进制中自然就是 2’s complement。

Complement 指 补数 的数学概念。在数学中，一个数 加上 它的补数 等于某个基数的幂。比如对于数字 $x$ ，其在二进制 $n$ 位补码表示中的补数定义如下：

所以如果给定了一个 十进制字面值，我们可以先计算其 纯二进制表示，再进行二进制减法，将 $2^n$ 减去这个数得到相应的 补码表示。

比如假设给定一个十进制 $D$ ，首先我们可以通过 除 2 取余法 计算其 纯二进制表示 $U_{binary}=u_{n-1}\cdots u_1{u}_0$ ，然后再用 $2^n$ 减去这个数：

以上二进制减法等同于对 $U$ 进行 取反加一  运算，即 $D$ 的 补码 $S$ 可以被表示为：

二进制 → 十进制

这里为了方便说明，以 8 位 补码 为例说一下如何将 补码表示的二进制 转化为实际十进制数字。

首先，8 位补码中的每一位的大小为：

例子：

• 10000001 对应的值为 $-128+1=-127$
• 10001001 对应的值为 $-128+8+1=-119$
• 01000001 对应的值为 $64+1=65$

以 8 位二进制数为例：

1. 对于正数，例如 +5，其二进制表示为 00000101，补码 也是 00000101。
2. 对于负数，例如 -5，首先写出 5 的二进制表示：00000101。
   • 按位取反得到：11111010
   • 加 1 得到：11111011
   • 所以，-5 的 补码 是 11111011。

十进制 → 二进制

这里仅讨论如何将一个 十进制负数 转化为 补码二进制，因为对于非负数，补码 的二进制表示和 纯二进制 相同。

一种比较简单的转换方法就是基于 $S_{\text{decimal}}={\sum }_{i=0}^{n-2}{2}^i\cdot b_i-2^{n-1}\cdot b_{n-1}$ 这个公式进行直接观察。

比如 $-73=-128+55=-128+32+16+4+2+1=-2^7+2^5+2^4+2^2+2^1+2^0$ ，对应的 补码 为 1011 0111。

另一种就是先计算该数字绝对值的 纯二进制表示，再将其通过 取反加一 的方式转化为 补码。

比如通过第二种方式将 -73 转为 补码：

1. -73 是负数，其绝对值为 73。
2. 通过 除 2 取余法 得到其 无符号表示 为 0100 1001。
3. 取反：1011 0110。
4. 加一：1011 0111。

结果为 1011 0111。

优点

使用 补码 可以使得 加法、减法和负数的表示 变得简单和统一。比如给定两个数字 A 和 B，我们想要计算 C = A + B。A + B 由硬件加法器得到的二进制结果可以直接作为 C 的二进制表示。

补码 的设计使得负数的加法变得简单。当使用 补码 表示时，可以直接将两个数相加，即使其中一个数是负数，而不需要进行任何特殊处理。这简化了计算机硬件的设计。

原码

原码（Sign-Magnitude） 是一种简单的方式来表示二进制中的 有符号整数。在这种表示法中，数字的 最高位（最左边的位）用于表示符号，其余的位表示数字的大小。通常，符号位为 0 表示正数，而 1 表示负数。

表示方法

原码的表示方法：

1. 正数的原码：最高位 为 0，其余位表示这个数的绝对值的二进制形式。
2. 负数的原码：最高位 为 1，其余位表示这个数的绝对值的二进制形式。
3. 零的原码：符号位可以是 0（表示 +0）或 1（表示 -0），但在实际应用中，通常只使用一个零，即符号位为 0。

举例（以 8 位二进制数为例）：

• +25 的原码是：0 0011001
• -25 的原码是：1 0011001

缺点

• 存在 正零 和 负零 的表示。
• 在进行算术运算时，正数和负数需要不同的处理，这使得硬件设计变得复杂。

由于上述的缺点，原码 并不是计算机中最常用的表示法。在现代计算机中，补码 是更常用的方式来表示 有符号整数，因为它简化了算术运算的处理，并且没有 +0 和 -0 的冗余表示。

2.2 - 浮点数表示

实数的二进制表示

实数在计算机中的存储遵循 IEEE 浮点数标准，但在这里为了方便理解 IEEE 标准，这里首先阐明一般 实数 在计算机中是如何存储的。

在这里 实数 分为两个部分存储：整数部分 和 小数部分，两个部分在逻辑上用 · 隔开。

比如对于以下 浮点数 的二进制表示：

其中每一位对应的数值如下表所示：

上述二进制表示对应的数值为

其中 $b_i=0$ 或 $b_i=1$ ，表示第 i 为是 0 还是 1。

举例说明如何使用上述表示法计算 实数：

• $101.11_2$ 对应的数值为 $1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0+1\times 2^{-1}+1\times 2^{-2}=5.75$
• $1011.1_2$ 对应的数值为 $8+0+2+1+\frac{1}{2}=11.5$

字面值转二进制

举个实际的例子，将 1.2 转换为二进制表示。

整数部分 1 的二进制是 1。
小数部分 0.2 的二进制表示是一个无限循环小数。通过不断乘以 2，可以得到近似的二进制：

• 0.2 × 2 = 0.4 → 整数部分 0
• 0.4 × 2 = 0.8 → 整数部分 0
• 0.8 × 2 = 1.6 → 整数部分 1
• 0.6 × 2 = 1.2 → 整数部分 1
• 0.2 × 2 = 0.4 → 重复…

于是，1.2 在二进制中近似为 1.0011001100110011...。

IEEE 浮点数表示

上述 浮点数 存储方式的缺点在于如果要表示比较大的数，就需要比较多的二进制位数，比如对于 $5\times 2^{100}$ 就需要 103 位。IEEE 表示 就解决了这个问题，在 IEEE 表示 中，浮点数 $V$ 被表示为 $V=(-1{)}^s\times M\times 2^E$ ，其中 $s,M,E$ 的含义如下：

• $s$ 为 符号位
• $M$ 为 乘法因子
• $E$ 为 指数部分

IEEE 754 标准 是定义浮点数表示和算术的国际标准，它定义了多种不同精度的浮点数格式，但最常见的是 单精度 single precesion（32 位）和 双精度 double precesion（64 位），浮点数分为 s（符号位）、exp（阶码）、frac（尾数）三个部分存储：

• $1$ 位的 $s$ 与上述计算公式中的 符号位 $s$ 相同，位于浮点数二进制表示的 最高位，标志了浮点数的正负，如果 $s=1$ 的话 $V$ 是负数，如果 $s=0$ 的话 $V$ 为正数

• $k$ 位的 $exp=e_{k-1}\cdots e_1{e}_0$ 用于计算 指数部分 $E$ （ $exp$ 为 unsigned 值，但不能为全 0 或全 1），其中 $E=exp-Bias$ ， $Bias=2^{k-1}-1$

  • 对于 单精度 浮点数
    • $k=8$ ， $Bias=2^{8-1}-1=\text{127}$
    • $1\le exp\le 254$
    • $-126\le E\le 127$
  • 对于 双精度 浮点数
    • $k=11$ ， $Bias=2^{11-1}-1=\text{1023}$
    • $1\le exp\le 2046$
    • $-1022\le E\le 1023$

• $n$ 位的 $frac=0\cdot f_{n-1}\cdots f_1{f}_0$ 用于计算 因子 $M$ ，其中 $M=1+frac$ ， $frac$ 表示的小数计算方式见 实数的二进制表示

  • 对于 单精度 浮点数， $n=23$ ， $M$ 的最大值为 $2-2^{-23}$ ， $M$ 最小值为 $1$
  • 对于 双精度 浮点数， $n=52$ ， $M$ 的最大值为 $2-2^{-52}$ ， $M$ 最小值为 $1$

总结 单精度 和 双精度 浮点数 表示如下：

单精度 浮点数表示为：

双精度 浮点数表示为：

总结 单精度 和 双精度 浮点数中各个字段的范围如下图所示：

异常值

注意 IEEE 浮点数 表示分为 Normalized Values（正常值）和 Denormalized Values（非正常值）以及特殊值，上节中提到的 IEEE 浮点数 计算方法只适用于 正常值，
正常值 的 阶码（exp）不能为全 0 或全 1。

下图是 浮点数 各种类型的图示（以 单精度 为例）：

• 非正常值（Denormalized）的 阶码全为 0
• 无穷大（Infinity）的 阶码全为 1，尾数位为 0
• 非数字（NaN，Not a Number）的 阶码全为 1，尾数位不为 0

需要注意的是 非正常值 的 浮点数 计算公式 与 正常值 不同：

注意这里的：

• 没有隐含的 “1”，因为它是 非正规数。
• 指数固定为 $1-\text{bias}$ （而不是 $e-\text{bias}$ ，因为 阶码是全 0）
• 这是为了在非常接近 0 的地方保持精度连续性（即从最小正规数向 0 过渡的“填充区”）

下表总结了给出了 浮点数 表示各种情况的有效值计算：

字面值转二进制

前文已经提到如果我们有 浮点数 的 IEEE 二进制表示，如何将其转化为实际的 浮点数，就是通过如下的公式：

还有一种常见的考题是给定我们一个 浮点数字面值，比如 2.25，然后让我们去反推它的二进制表示，这里有没有什么简便的解法呢？

最简便的方法还是反向转换，即将一个 浮点数 表示为 一点几几（ $1.\text{frac}$ ）乘以二的多少次方（ $2^n$ ）的格式，有这两部分可以分别计算出 阶码和尾数，然后符号位由数字的正负判断。

以 2.25 为例，如果我们想得到该 浮点数 的 单精度 表示：

由此可以计算出 浮点数 的各个部分：

• 符号位 为 0
• 阶码 为 $1+127=128$ ，二进制表示为 1000 0000B
• 尾数 为 0010 0000 0000 ....

所以 浮点数 的二进制为 0100 0000 0001 0000 ...，十六进制为 40100000H。

一般而言，试题只会考察这种没有精度损失的 浮点数二进制转换，对于有精度损失的情况，由于比较繁琐，基本不会考察，其 尾数 部分的计算与 一般实数字面值转二进制 相同。

表示精度

上述的例子是一个比较理想的例子，2.25 可以精确地用 浮点数 表示。但在真实场景中，很多 实数 都是无法精确地用 浮点数 表示的。比如 1.2 这个数：

其中 $\frac{1}{5}$ 无法表示为若干个 $\frac{1}{2^n}$ 之和，所以对于这种情况，我们只能尽量地去接近这个数。

若要理解如何接近这个数，我们首先要理解 精度 的概念。这里我们首先从简单的例子出发，假设 阶码只有 3 位，那么这些 尾数可以被精确表示：

在数轴中对应 [0, 1] 区间中的 8 个点：

如果一个尾数的大小与这些点都不相同的话，则需要找一个临近的点来近似，这也是导致 精度 丢失的原因：尾数的二进制表示法无法精确地表示 [0, 1] 中的每一个 实数，对于无法精确表示的，只能去近似。

但是这种误差可以随着 尾数 位数的增加而不断减小，比如对于 单精度浮点数 表示，尾数（frac）为 23 位，可以精确表示以下这些小数：

双精度浮点数 表示，尾数为 52 位，可以精确表示以下这些小数：

所以 尾数位数越多，精度越高，用以近似表示某些 实数 时，误差更小。

浮点数加减

浮点数 加减计算过程包含以下几个步骤：对阶、尾数加减、尾数规格化。

1. 对阶：为了进行加减运算，两个 浮点数 必须具有相同的指数，这里采用低阶向高阶对齐的原则，过程如下：
   • 比较两个浮点数的 指数。
   • 将较小指数的浮点数的 尾数右移，直到两个指数相等。
   • 右移过程中，需要注意尾数的 精度损失（尾数右移时可能会丢失低位精度）。
2. 尾数加减：在指数对齐后，直接对两个 浮点数的 尾数进行加减。
   • 由于尾数已经对齐，可以直接进行 加减操作。
   • 根据操作结果可能需要处理进位或借位。
3. 尾数规格化：确保结果符合标准化浮点数的格式，即尾数以 1 开头。
   • 如果结果尾数不符合 1.xxxx 格式，则需要进行 规格化调整。
   • 左移尾数并相应减少指数，或右移尾数并相应增加指数。
   • 规格化后，可能还需要进行 舍入，以符合尾数的位数限制。
     • 根据舍入模式（如“向偶数舍入”、“向零舍入”等）完成必要操作。

在 对阶 和 尾数规格化 的过程中，由于可能存在 尾数右移，所以可能会导致 精度缺失。
因为 IEEE 浮点数尾数的位数是有限的，如果右移的过程中尾数中最右边的 1 被清除，就会导致 精度缺失。

举一个实际的例子来说明一下，假设 $A=1.625\times 2^3=1.101_2\times 2^3$ ， $B=1.75\times 2^1=1.11_2\times 2^1$ ，在计算 $A+B$ 时，使用以下步骤：

1. 对阶：低位向高位， $B=0.0111_2\times 2^3$ 。
2. 尾数相加： $A+B=(1.101_2+0.0111_2)\times 2^3=10.0001_2\times 2^3$
3. 尾数规格化： $10.0001_2\times 2^3=1.00001\times 2^4$

2.3 - 运算电路

加法运算电路

半加器

最基本的加法单元是 半加器（Half Adder）。它有两个输入，一个是加数，一个是被加数，并有两个输出，一个是和，一个是进位。

如上图所示，通过对两个输入（A 和 B）进行 异或（XOR）计算，可以得到 和（S）。
通过对两个输入进行 与（AND）操作，可以得到 进位（C，即 Carry）。

半加器 的主要限制是它只能对两个位进行加法，并且不能处理来自低位的进位输入。

全加器

全加器（Full Adder）是 半加器 的扩展，它加上了前一位的 进位（Cin）作为第三个输入，并有两个输出，一个是 和（S），一个是 进位（C）。

半加器用于处理两个位的简单加法，而 全加器则可以处理包括 进位 在内的三位加法，是构建复杂加法电路的基础。

加法器

为了进行多位数的加法，全加器 可以串联起来形成一个 加法器，以处理多个位的二进制数加法。在这种安排中，每个 全加器 的 进位输出 连接到下一个 全加器 的 进位输入。这样，一个 n 位的 加法器 可以通过串联 n 个 全加器 来实现。

上述 加法器 既可以处理 无符号加法（unisnged），也可以处理 有符号加法（int），因为二进制加法与数据类型无关，从 加法器 来说，只是对 0 和 1 进行操作，数据类型是对于二进制的解释方式。

一般而言，对于 有符号加法，加法器还需要考虑 标志位，所以加法器也被扩展为如下结构：

值得一提的是带符号加法器电路是如何输出各个 标志位 的，简单而言，每个 标志位 都可以通过 加法器 电路中的位信息组合得到。

• ZF（zero flag）：当 A+B 的结果中的每一位都为 0 时，ZF 为 1，所以 $ZF=!(F_0{F}_1\cdots F_{n-1})$ 。
• SF（signed flag）：A+B 的结果的正负取决于输出结果的最高位，所以 $SF=F_{n-1}$ 。
• CF（carry flag）：
  • 对于 加法，进位即最高位， $CF=C_{out}$
  • 对于 减法， $CF=\neg C_{out}$
• OF（overflow flag）： $OF=C_{n-1}\oplus C_{out}$ ，
  • 如果 $C_{n-1}$ 和 $C_{out}$ 不同，则表示 符号位 的变化导致溢出，即：
    • 一个正数加上另一个正数，结果是负数。
    • 一个负数加上另一个负数，结果是正数。
  • 如果 Cin 和 Cout 相同，则没有溢出发生。

减法运算电路

计算机中没有专门的减法电路，因为 补码 的 减法 可以被转换为 加法 操作：

以下电路可以实现操作数 A 和操作数 B 的 加减法。

如果是计算 A+B 的话，将 Sub 设置为 0，直接对 A 和 B 进行 加法计算。

如果是计算 A-B 的话，将 Sub 设置为 1，会对 B 进行取反加一，得到 $-B_{\text{补}}=\overline{B_{\text{补}}}+1$ ，然后使用 加法器计算 A + (-B) 即可。

乘法运算电路

二进制乘法 与十进制乘法的手工计算方式类似：

       1011   (this is binary for decimal 11)
     × 1110   (this is binary for decimal 14)
     ======
       0000   (this is 1011 × 0)
      1011    (this is 1011 × 1, shifted one position to the left)
     1011     (this is 1011 × 1, shifted two positions to the left)
  + 1011      (this is 1011 × 1, shifted three positions to the left)
  =========
   10011010   (this is binary for decimal 154)

在计算机中实现 乘法指令可以通过如下几种方式模拟以上过程：

软件算法

如果没有专有硬件支持，可以通过一系列 加法和 位移操作来实现 乘法。编译器将 乘法运算转换为一个循环代码段，在循环代码段中通过比较、加法和移位等指令实现 乘法运算。

// 如何使用加法和位移来实现两个整数的乘法（了解即可）
unsigned int multiply(unsigned int a, unsigned int b) {
    unsigned int result = 0;  // 结果初始化为 0
    while (b > 0) {           // 当第二个操作数大于 0 时继续循环
        if (b & 1) {          // 检查 b 的最低位是否为 1
            result += a;      // 如果是，将 a 加到结果上
        }
        a <<= 1;              // 将 a 左移一位，相当于 a 乘以 2
        b >>= 1;              // 将 b 右移一位，去掉已经处理过的最低位
    }
    return result;            // 返回计算的乘积
}

顺序乘法器

通过硬件的方式串行地模拟手工计算的方式，无符号数的 乘法硬件电路 如下图所示（了解即可）：

其思路是通过 右移和 加法，每次输出 乘法结果中的一位，由于原理稍复杂，这里不阐述更多细节。

阵列乘法器

阵列乘法器（Array Multiplier）是一种用于执行 乘法运算的硬件电路，它通过布置一系列 全加器和 半加器在一个二维网格或阵列中来实现，它能够并行处理多个位的 乘法和 累加，可以在一个或多个时钟周期内完成 乘法操作。

除法运算电路

二进制 除法在计算机中的实现与我们在十进制中所执行的传统 除法类似。

          00111   商 = 0111 = 7
     ----------
0010 | 00001111   被除数 X = 15 = 1111 = 00001111
         0010     除数 Y = 2 = 0010
         -----
          0011
          0010
          -----
           0011
           0010
           ----
           0001   余数 = 0001 = 1

二进制 除法可以被总结为如下步骤：

1. 准备：
   • 将被除数和除数都转换为二进制形式。
   • 写下被除数和除数，类似于十进制除法的长除法形式。
2. 除法：
   • 从被除数的最高位开始，与除数进行比较。
   • 如果被除数当前部分大于或等于除数，则商为 1，否则商为 0。
   • 如果商为 1，则将被除数当前部分减去除数，并将差写在下面。
   • 将被除数的下一位数字移下来，与差组成新的被除数部分。
   • 重复上述步骤，直到被除数的每一位都被处理完毕。
3. 余数：
   • 最后一次减法运算得到的差即为余数。
   • 如果最后一次减法得到的差是 0，则表示整除，没有余数。